Chương 2: TỔ HỢP. XÁC SUẤT

Chia 3 tập theo số dư như bình thường, lưu ý duy nhất là các số được chọn không cần phân biệt

TH1 : 2 bạn chọn số chia hết cho 3; 1 bạn chọn số chia 3 dư 1 

\(C_7^2.C_8^1\)

TH2 : 2 bạn chọn số chia hết cho 3; 1 bạn chọn số chia 3 dư 2

\(C_7^2.C_7^1\)

TH3 : 2 bạn chọn số chia 3 dư 1 ; 1 bạn chọn số chia 3 dư 2 

\(C_8^2.C_7^1\)

TH4 : 2 bạn chọn số chia 3 dư 2 ; 1 bạn chọn số chia 3 dư 1 

\(C_7^2.C_8^1\)

=> Xác suất : \(\dfrac{97}{220}\)

Ủa câu này đề thật như vậy luôn hả? Tích là số chính phương nghĩa là sao? Tích các chữ số của chúng là 1 số chính phương?

Chữ số hàng đơn vị bằng 0 và tổng 12 chữ số còn lại chia hết cho 3

Nên có các trường hợp: 3 số 1 và 9 số 0, 6 số 1 và 6 số 0, 9 số 1 và 3 số 0, 12 số 1.

Số đứng đầu luôn phải khác 0 nên là 1

Vậy bây giờ chỉ cần xếp thứ tự bất kì cho 11 chữ số còn lại theo quy tắc hoán vị lặp là được.

Tính toán không gian mẫu:

Chữ số đúng đầu luôn phải là 1, nên thực tế ta chỉ cần lập số có 12 chữ số, trong đó có x chữ số 0 (với \(0\le x\le12\)) và \(12-x\) chữ số 1

Theo quy tắc hoán vị lặp, có \(\dfrac{12!}{x!.\left(12-x\right)!}=C_{12}^x\) số

Lấy tổng các trường hợp x từ 0 đến 12, ta được không gian mẫu:

\(C_{12}^0+C_{12}^1+...+C_{12}^{12}=2^{12}\)

\(a_1\le a_2+1\le a_3-3< a_4\le a_5+2\)

\(\Rightarrow1\le a_1< a_2+2< a_3-1< a_4+2< a_5+5\le14\)

\(\Rightarrow\) Có \(C_{14}^5\) số thỏa mãn

Xác suất để người ta mua cả sách A và B là 

\(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)=0,3\)

Gọi 3 phần tử là \(2^x< 2^y< 2^z\Rightarrow1\le x< y< z\le2020\)

3 phần tử lập thành CSN \(\Rightarrow2^{2y}=2^x.2^z=2^{x+z}\Rightarrow2y=x+z\)

\(\Rightarrow x+z\) chẵn

\(\Rightarrow x;z\) cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Từ 1 đến 2020 có 1010 số lẻ và 1010 số chẵn

\(\Rightarrow C_{1010}^2+C_{1010}^2=2.C_{1010}^2\) tập con thỏa mãn

Đa giác đều (H) nội tiếp đường tròn có đường kính là các cặp đỉnh đối diện của (H)

Do đó ta có các đường kính là: \(A_1A_{11};A_2A_{12};...;A_{10}A_{20}\) có 10 đường kính

- Chọn 2 điểm tạo thành đường kính có 10 cách

- Chọn điểm bất kì khác 2 điểm nói trên (sẽ tạo ra 1 tam giác nội tiếp chắn nửa đường tròn => tam giác vuông). 

+ Điểm còn lại liên tiếp 1 trong 2 điểm nói trên: có 4 cách (tam giác vuông tạo ra sẽ có 1 cạnh là cạnh đa giác)

+ Điểm còn lại ko liên tiếp 2 điểm nói trên: có \(20-\left(2+4\right)=14\) cách (tam giác vuông tạo ra ko có cạnh nào là cạnh của (H)

Chữ số đầu có 7 cách chọn.

Chữ số thứ 2 có 8 cách chọn.

Chữ số thứ 3 có 8 cách chọn.

Chữ số thứ 4 có 4 cách chọn.

Vậy có 7.8.8.4=1792 số.

Bổ sung thêm là 4 chữ số khác nhau ạ, mình ghi thiếu 

Chắc đề bài yêu cầu các chữ số phân biệt?

TH1: chữ số hàng đơn vị là 0: chọn 3 vị trí còn lại có \(A_7^3\) cách

TH2: chữ số hàng đơn vị khác 0 \(\Rightarrow\) hàng đơn vị có 3 cách chọn, 3 chữ số còn lại có \(A_7^3-A_6^2\) cách

\(\Rightarrow A_7^3+3\left(A_7^3-A_6^2\right)\) cách

Đã thử theo kiểu cố tình ko chia nhưng nó rất dài

\(\overline{abc}\le789\Rightarrow a\le7\)

TH1: \(a=7\)

c có 5 cách chọn, b có 7 cách chọn (khác a;c;9) \(\Rightarrow5.7=35\) cách

TH2: \(a< 7\) và lẻ \(\Rightarrow\) a có 3 cách chọn

c có 5 cách chọn, b có 8 cách chọn \(\Rightarrow3.5.8=120\) cách

TH3: \(a< 7\) và chẵn \(\Rightarrow\) a có 3 cách chọn

c có 4 cách chọn, b có 8 cách \(\Rightarrow3.4.8=96\) số

Tổng 3 TH lại

Không gian mẫu: \(C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^5\)

Chọn nhóm cho An và Bình: 3 cách

Chọn 2 bạn còn lại xếp vào nhóm A-B: \(C_{13}^2\) cách

Chọn 2 nhóm còn lại: \(C_{10}^5.C_5^5\)

Xác suất: \(\dfrac{3.C_{13}^2.C_{10}^5.C_5^5}{C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^5}\)