Chương 2: TỔ HỢP. XÁC SUẤT

Chọn D

Chọn B

Gọi : số tự nhiên có 5 chữ số : abcde

a có 9 cách chọn

b có 9 cách chọn 

c có 8 cách chọn 

d có 7 cách chọn 

e có 6 cách chọn 

Có thể lập được : \(9\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6=27216\left(số\right)\)

Lời giải:

Gọi số thỏa mãn là $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$

Nếu $a_5=0$ thì bộ $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ có $6.5.4.3=360$ cách chọn

Nếu $a_5\neq 0$ thì:

$a_5$ có 3 cách chọn 

$a_1$ có 5 cách chọn 

$(a_2,a_3,a_4)$ có $5.4.3=60$ cách chọn. 

$\Rightarrow$ trường hợp này có $3.5.60=900$ cách chọn 

Tổng cộng: $900+360=1260$ cách chọn.

TH1: 1 người có 3 món quà, 2 người mỗi người 1 món quà

Chọn 3 món quà từ 5 món: \(C_5^3=10\) cách

Chọn 1 người trong 3 người để nhận 3 món quà này: 3 cách

Còn 2 món tặng cho 2 người: 2!=2 cách

Có: \(10.3.2=60\) cách

TH2: 1 người nhận 1 món, 2 người mỗi người nhận 2 món

Chọn 1 món quà từ 5 món quà: 5 cách

Chọn 1 người trong 3 người để nhận món quà này: 3 cách

Chọn 2 món quà từ 4 món còn lại: \(C_4^2=6\) cách

Còn lại 2 món quà, có 1 cách tặng người còn lại

Có: \(5.3.6=90\) cách

Tổng 2 trường hợp: \(60+90=150\) cách

a. Có \(9!=...\) cách xếp 9 quả cầu

b. Ta chỉ có thể xếp: TXTXTXTXT

Hoán vị 5 quả cầu trắng: \(5!\) cách

Hoán vị 4 quả cầu xanh: \(4!\) cách

Tổng cộng: \(5!.4!=...\) cách

c. Xếp 5 quả trắng cạnh nhau: \(5!\) cách

Coi 5 quả trắng là 1 quả, kết hợp với 4 quả xanh và xếp thứ tự cho chúng: \(5!\) cách

Tổng cộng: \(\left(5!\right)^2=...\) cách

19.

Gọi số cần lập là \(\overline{abcde}\) \(\Rightarrow a\le2\)

TH1: \(e=\left\{0;4\right\}\) có 2 cách chọn e

- Nếu \(a=1\Rightarrow\) chọn b,c,d tùy ý từ 5 chữ số còn lại: \(A_5^3=60\) cách

- Nếu \(a=2\Rightarrow b< 5\Rightarrow\) có 3 cách chọn b; c và d có \(4.3=12\) cách \(\Rightarrow3.12=36\) cách

\(\Rightarrow2\left(60+36\right)=192\) số

TH2: \(e=2\)

\(\Rightarrow\) có đúng 1 cách chọn \(a=1\) ; b c d chọn tùy ý từ 5 chữ số còn lại: \(A_5^3=60\) cách

TH3: \(e=6\)

- Nếu \(a=1\) \(\Rightarrow\) chọn bcd tùy ý từ 5 chữ số: 60 cách

- Nếu \(a=2\Rightarrow\) có 4 cách chọn b; cd có \(A_4^2=12\) cách  \(\Rightarrow12.4=48\)

\(\Rightarrow60+48=108\) số

Tổng cộng 3 trường hợp:  \(192+60+108=360\) số

20.

Theo giả thiết ta có: \(C_n^4=20C_n^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{n!}{\left(n-4\right)!.4!}=\dfrac{20.n!}{\left(n-2\right)!.2!}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{12}=\dfrac{20}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}\)

\(\Leftrightarrow n^2-5n-234=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=18\\n=-13\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(C_n^k=\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!}=\dfrac{18!}{\left(18-k\right)!}\)

\(C_n^k\) lớn nhất khi \(\left(18-k\right)!\) nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow18-k=1\)

\(\Leftrightarrow k=17\)

20.

Số tập con chứa 4 phần tử của A là \(C_n^4\)

Số tập con chứa 2 phần tử: \(C_n^2\)

Ta có: \(C_n^4=20C_n^2\Leftrightarrow\dfrac{n!}{4!.\left(n-4\right)!}=\dfrac{20n!}{2!\left(n-2\right)!}\)

\(\Leftrightarrow\left(n-2\right)\left(n-3\right)=240\)

\(\Leftrightarrow n^2-5n-234=0\)

\(\Rightarrow n=18\)

Số tập con chứa k phần tử: \(C_{18}^k\)

Số tập con đó là lớn nhất khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}C_{18}^k\ge C_{18}^{k+1}\\C_{18}^k\ge C_{18}^{k-1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{18!}{k!\left(18-k\right)!}\ge\dfrac{18!}{\left(k+1\right)!\left(18-k-1\right)!}\\\dfrac{18!}{k!\left(18-k\right)!}\ge\dfrac{18!}{\left(k-1\right)!\left(18-k+1\right)!}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k+1\ge18-k\\19-k\ge k\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{17}{2}\le k\le\dfrac{19}{2}\Rightarrow k=9\)

Số tập con cần tìm bằng số tập con của tập: \(A=\left\{2;3;4;5;6\right\}\) (là tập hợp có 5 phần tử)

Do đó số tập thỏa mãn: \(2^5=32\) tập