Chương 2: TỔ HỢP. XÁC SUẤT - Hỏi đáp

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si liên tục 2 lần ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)}{2}}=\frac{2}{\frac{2b}{2}}=\frac{2}{b}\)

Chứng minh tương tự ta cũng có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a};\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :

\(2\cdot\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Hay ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác ABC đều

Biến cố A giao B là "cả 2 quả cùng có màu vàng"

Xác suất: \(P=\frac{5}{10}.\frac{6}{10}=\frac{3}{10}\)

Không gian mẫu là: \(C^3_5=455\)

Học sinh bốc được đúng 1 câu hỏi hình và 2 câu đại số có số cách là:

\(C^1_5.C^2_{10}=225\) (cách)

Vậy xác suất cần tìm là: \(P=\frac{225}{455}=\frac{45}{91}\)

Không gian mẫu: \(C_{11}^3\)

Số cách lấy 3 viên bi toàn màu đỏ \(C_6^3\)

Xác suất để lấy được ít nhất 1 viên xanh:

\(P=1-\frac{C_6^3}{C_{11}^3}=\frac{29}{33}\)

Nếu số cuối bằng 0 \(\Rightarrow\) 5 chữ số còn lại có \(A_6^5\) cách chọn và hoán vị

Nếu số cuối khác 0 \(\Rightarrow\) số cuối có 3 cách chọn, số đầu có 5 cách, 4 số còn lại có \(A_5^4\) cách \(\Rightarrow\) có \(3.5.A_5^4\) cách

Tổng cộng có \(A_6^5+3.5.A_5^4\) số thỏa mãn

Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ 7 viên trong hộp A có:
C1/7 = 7
Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ 6 viên trong hộp B có:
C6/7 = 6
Vậy lấy ngẩu nhiên mỗi hộp 1 viên có: 7.6=42 cách
Trường hợp 1:
Lấy 1 bi đỏ hộp A và 1 bi đỏ hộp B có:
C1/4 . C2 = 4.2 = 8
Trường hợp 2:
Lấy 1 bi trắng hộp A và 1 bi trắng hộp B có:
C1/3 . C1/4 = 3.4 = 12
Vậy có: 8+12=20 viên bi lấy ra cùng màu
Xác suất cần tìm là:
20/42 = 10/21

Sai thí thôi nha

Gọi số học sinh nam là x \(\Rightarrow\) nữ là \(30-x\) (\(2\le x< 30\))

Không gian mẫu: \(C_{30}^3\)

Số cách chọn ra 2 nam và 1 nữ: \(C_x^2.C_{30-x}^1\)

Xác suất: \(\frac{C_x^2C_{30-x}^1}{C_{30}^3}=\frac{12}{29}\)

\(\Rightarrow x=16\)

Vậy có 16 nam và 14 nữ

Không gian mẫu \(20.20=400\)

TH1: quả ở hộp 1 chia hết cho 6 hoặc quả hộp 2 chia hết cho 6, có \(2.3.20-3=117\) cách

TH2: quả ở một hộp chia hết cho 3 (nhưng ko chia hết cho 6), quả ở hộp còn lại là số chẵn (và cũng ko chia hết cho 6), có \(2.3.7=42\) cách

\(\Rightarrow\) Có \(117+42=159\) cách

Xác suất: \(P=\frac{159}{400}\)

Không biết có đếm thừa thiếu chỗ nào không :(

Có 6 cách chọn 1 quần và 5 cách chọn 1 áo

\(\Rightarrow6.5=30\) cách chọn 1 bộ quần áo

Không gian mẫu: \(C_{55}^8\)

Số cách lấy ra 8 viên trong đó có đúng viên xanh (nghĩa là 7 viên còn lại sẽ được lấy trong 40 viên trắng + đỏ): \(C_{15}^1.C_{40}^7\)

Xác suất: \(P=\frac{C_{15}^1.C_{40}^7}{C_{55}^8}\)

Câu 1:

Khong gian mẫu: \(C_{11}^3\)

Có 5 cặp bi cùng số, do đó có \(5\) cách chọn ra 1 cặp cùng số, viên còn lại có 9 cách chọn \(\Rightarrow\) có 45 cách chọn 3 viên có 2 viên cùng số (tất nhiên là ko thể 3 viên cùng số được)

Xác suất: \(P=\frac{C_{11}^3-45}{C_{11}^3}=\frac{8}{11}\)

Câu 2:

Không gian mẫu: \(9!\)

Xếp 4 bạn nam cạnh nhau và hoán vị, có \(4!\) cách

Coi 4 bạn nam này là 1 người, xếp hàng cùng 5 bạn nữ \(\Rightarrow\) có \(6!\) cách hoán vị

Vậy có \(4!.6!\) cách

Xác suất: \(P=\frac{4!.6!}{9!}=\frac{1}{21}\)

Câu 1: Chữ số cuối có 3 cách chọn

5 chữ số còn lại có \(5!\) hoán vị

Tổng cộng có \(5!.3=360\) số

Hoặc làm thế này: gọi số đó là abcdef

Do số chẵn nên f có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn, b có 4 cách chọn, c có 3 cách chọn, d có 2 cách chọn, e có 1 cách chọn

Vậy có\(3.5.4.3.2.1=360\) số

Câu 2:

Gọi số đó là abcde

e có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn (khác e và khác 0), b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn, d có 3 cách chọn

Tổng cộng có \(3.5.5.4.3=900\) số

đổi đề bài thành dấu cộng hộ mình nha