Chương 2: TỔ HỢP. XÁC SUẤT - Hỏi đáp

1. Đồng nghĩa chọn 3 bạn (có xếp thứ tự) từ 10 bạn

Có \(A_{10}^3=720\) cách

2. Từ 1 đến 6 có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau? Bạn đọc đề có thấy nó rất sai ko?

Bạn có thể ghi lại giống hệt như đề giáo viên cho, ko khác dù chỉ 1 chữ được không bạn?

3. Gọi số đó là \(\overline{abcedf}\)

- Với \(f=0\) thì 5 số đầu có \(A_9^5=15120\) cách chọn và hoán vị

- Với \(f=5\) thì 5 số đầu có \(A_9^5-A_8^4=13440\) cách chọn và hoán vị

Vậy có: \(15120+13440=...\) số thỏa mãn

Chọn 3 tấm thẻ sao cho có ít nhất 2 tấm có số thứ tự liền nhau: có \(24+2.23+23.22=576\) cách

Chọn ra 3 tấm bất kì: có \(C_{26}^3\) cách

Vậy có tổng cộng \(C_{26}^3-576=2024\) cách rút thỏa mãn

1.

Nếu mình hiểu ko sai ý bạn nghĩa là "lập số tự nhiên có 3 chữ số sao cho 3 chữ số giống nhau"?

Vậy thì có 5 số thỏa mãn (222; 333; 444; 555; 666)

2.

a/ Gọi số đó là \(\overline{26abc}\)

\(\Rightarrow\) có \(3!=6\) chữ số thỏa mãn (hoán vị 3 chữ số 1;8;9)

b/ Số có 5 chữ số đôi một khác nhau bất kì được lập từ các chữ số nói trên: \(5!=120\) số

Số có 5 chữ số mà bắt đầu bằng 168, nghĩa là ta còn 2 chữ số 2; 9 cho 2 vị trí còn lại \(\Rightarrow2!=2\) số

Vậy có: \(120-2=118\) số thỏa mãn

3.

Chọn 2 chữ số từ 5 chữ số còn lại: \(C_5^2=10\) cách

Hoán vị 3 chữ số: \(3!=6\) cách

Vậy có: \(10.6=60\) số thỏa mãn

`x=10`

a/ Gọi số đó là \(\overline{abcde}\)

a có 3 cách chọn (1;3;5), e có 4 cách chọn (0;2;4;6), bộ ba bcd có \(A_5^3=60\) cách chọn và hoán vị

\(\Rightarrow3.4.60=720\) số thỏa mãn

b/ Gọi số đó là \(\overline{abcd}\)

Chọn ra 3 chữ số từ 6 chữ số còn lại (0;2;3;4;5;6) để kết hợp với 1: có \(C_6^3=20\) cách

Hoán vị 4 chữ số: \(4!=24\) cách

\(\Rightarrow20.24=480\) số (trong đó bao gồm cả trường hợp 0 đứng đầu)

Chọn 3 chữ số từ 6 chữ số trong đó có mặt số 0: \(C_5^2=10\) cách

Hoán vị các chữ số khi số 0 đứng đầu: \(3!=6\) cách

\(\Rightarrow10.6=60\) số có số 0 đứng đầu

Vậy có: \(480-60=420\) số thỏa mãn yêu cầu

Bài 1:

Câu hỏi của Julian Edward - Toán lớp 11 | Học trực tuyến

Bài 2:

Chữ số hàng đơn vị có 2 cách chọn (1;3)

Trong 5 vị trí còn lại, do số 2 có mặt 2 lần nên còn lại 3 vị trí cho 2 số 1 và 3:

- Một số xuất hiện 3 lần, số kia ko xuất hiện lần nào: \(\frac{5!}{2!.3!}.2=20\) cách

- Một số xuất hiện 2 lần, số kia xuất hiện 1 lần: \(\frac{5!}{2!.2!}.2=60\) cách

Vậy có tổng cộng: \(2\left(20+60\right)=160\) số thỏa mãn

Gọi 2 dãy ghế là dãy 1 và dãy 2

Chọn ra 2 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp B xếp vào dãy 1: có \(C_4^2.C_4^2=36\) cách

Còn lại 2 học sinh lớp A xếp vào dãy 2 và ngồi đối diện học sinh lớp A ở dãy 1: có 2 cách

Tương tự, 2 học sinh còn lại của lớp B cũng có 2 cách

Hoán vị 4 cặp này: có \(4!=24\) cách

Tổng cộng có: \(36.2.2.24=...\) cách xếp thỏa mãn

Số cách ghép là:

\(C^3_{10}.C_{12}^3=26400\)

TH1: các bộ số phân biệt tổng bằng 10 có chứa số 0 là: \(\left(0;1;9\right);\left(0;2;8\right);\left(0;3;7\right);\left(0;4;6\right)\)

Hoán vị chúng, có tất cả: \(3!.4=24\) cách

Chọn 2 số còn lại từ 7 số: \(A_7^2=42\) cách

Vậy có \(24.42=1008\) số

TH2: các bộ 3 số phân biệt tổng bằng 10 ko chứa số 0 là: \(\left(1;2;7\right);\left(1;3;6\right);\left(1;4;5\right);\left(2;3;5\right)\)

Hoán vị chúng, có tất cả \(3!.4=24\) cách

Chọn 2 chữ số còn lại từ 7 chữ số còn lại (và loại trừ trường hợp 0 đứng đầu) có: \(A_7^2-A_6^1=36\) cách

Có: \(36.24=864\) số

Vậy có: \(1008+864=...\)

Xếp 1 và 2 cạnh nhau: \(2!=2\) cách

Chọn ra 3 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại: \(C_6^3=20\)

Chọn ra 3 chữ số trong đó có chứa số 0: \(C_5^2=10\)

Coi cặp 12 như 1 số, kết hợp 3 số còn lại được 4 số, hoán vị chúng và loại trừ trường hợp 0 đứng đầu:

\(2.\left(20.4!-10.3!\right)=840\) số

Do 2 số chẵn ko đứng cạnh nhau nên trong 6 chữ số phải có ít nhất 3 chữ số lẻ

Chọn 3 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ và hoán vị chúng: \(A_5^3=60\) cách

Chọn ra 3 chữ số bất kì từ 7 chữ số còn lại: \(C_7^3=35\) cách

3 chữ số lẻ ban đầu tại ra 4 khe trống, xếp 3 chữ số bất kì được chọn bên trên vào 4 khe trống đó, có \(A_4^3=24\) cách

Chọn ra 3 chữ số từ 7 chữ số còn lại, trong đó có chứa số 0: \(C_6^2=15\) cách

Xếp 3 bộ chữ số (chứa số 0) kia vào 4 khe trống sao cho số 0 đứng đầu: \(A_3^2=6\) cách

Vậy có: \(60.\left(35.24-15.6\right)=...\) số thỏa mãn

Chọn ra 2 số chẵn từ 4 số chẵn: có \(C_4^2=6\) cách

Chọn ra 2 số chẵn từ 4 số trong đó có mặt số 0: có 3 cách

Số có 5 chữ số bất kì có mặt 3 chữ số lẻ: \(6.5!-3.4!=648\) số (đã loại trừ trường hợp số 0 đứng đầu)

Xếp 3 số lẻ đứng cạnh nhau và hoán vị chúng: \(3!=6\) cách

Kết hợp với 2 số chẵn (đã loại trừ số 0 đứng đầu): \(6.\left(6.3!-3.2!\right)=180\) số

Vậy có: \(648-180=468\) số thỏa mãn yêu cầu

Gọi số đó là \(\overline{abcde}\)

e có 3 cách chọn, bộ abcd có \(A_6^4-A_5^3=300\) cách chọn và hoán vị

\(\Rightarrow3.300=900\) số lẻ có 5 chữ số khác nhau từ tập trên

Bây giờ ta đi tìm số lẻ nhỏ hơn 25000:

- Nếu \(a=2\) \(\Rightarrow b< 5\)

+ Với \(e=5\Rightarrow b\) có 4 cách chọn, cd có \(A_4^2=12\) cách \(\Rightarrow4.12=48\) số

+ Với \(e=\left\{1;3\right\}\) có 2 cách chọn \(\Rightarrow\) b có 3 cách, cd có 12 cách \(\Rightarrow2.3.12=72\) số

- Nếu \(a=1\Rightarrow e\) có 2 cách chọn, bộ bcd vẫn có 60 cách chọn và hoán vị \(\Rightarrow2.60=120\) số

Vậy có: \(900-\left(48+72+120\right)=660\) số

Lời giải:

Ký hiệu $M$ là tập hợp các số nguyên dương trong 2010 số đầu tiên mà chia hết cho ít nhất 1 trong 3 số $2,3,5$

$A,B.C$ lần lượt là tập hợp các số nguyên dương trong 2010 số đầu tiên chia hết cho $2,3,5$

Dễ thấy:

$|A|=1005$

$|B|=670$

$|C|=402$

$|A\cap B|=335$

$|B\cap C|=134$

$|C\cap A|=201$

$|A\cap B\cap C|=67$

$M=A\cup B\cup C$

$\Rightarrow |M|=|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C|$

$=1005+670+402-335-134-201+67=1474$

Số các số nguyên dương trong 2010 số đầu mà không chia hết cho ít nhất 1 trong 3 số $2,3,5$ là:

$2010-|M|=2010-1474=536$