Chương 2: TỔ HỢP. XÁC SUẤT - Hỏi đáp

Ta có:

\(\left(1+1\right)^{40}=C_{40}^0+C_{40}^1+...+C_{40}^{39}+C_{40}^{40}\)

\(\left(1-1\right)^{40}=C_{40}^0-C_{40}^1+...-C_{40}^{39}+C_{40}^{40}\)

Trừ vế cho vế:

\(2^{40}=2\left(C_{40}^1+C_{40}^3+...+C_{40}^{39}\right)\)

\(\Rightarrow S=2^{39}\)

Số hạng tổng quát trong khai triển: \(C_n^k2^kx^{n-k}\) với \(n=1000\)

Hệ số của số hạng thứ k là: \(C_n^k2^k\)

Hệ số này là lớn nhất khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}C_n^k2^k\ge C_n^{k+1}2^{k+1}\\C_n^k2^k\ge C_n^{k-1}2^{k-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\ge\frac{n!.2}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}\\\frac{n!.2}{k!\left(n-k\right)!}\ge\frac{n!}{\left(k-1\right)!\left(n-k+1\right)!}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k+1\ge2\left(n-k\right)\\2\left(n-k+1\right)\ge k\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k\ge\frac{2n-1}{3}=\frac{1999}{3}\\k\le\frac{2n+2}{3}=\frac{2002}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow k=667\)

Vậy hệ số lớn nhất là \(C_{100}^{667}2^{667}\)

Gặp dạng hệ số đằng trước giống chỉ số của số hạng thế này thì cứ đạo hàm

\(\left(1+x+x^2\right)^{20}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{40}x^{40}\)

Đạo hàm 2 vế:

\(\Rightarrow20\left(1+x+x^2\right)^{19}\left(1+2x\right)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+40a_{40}x^{39}\)

Cho \(x=1\) ta được:

\(20.3^{19}.3=a_1+2a_2+3a_3+...+40a_{40}\)

\(\Rightarrow T=20.3^{20}\)

Lời giải:

Gieo đồng thời 2 con xúc xắc, mỗi con 6 mặt thì có $6.6=36$ kết quả (không gian mẫu)

a) Có 3 khả năng để $x$ lẻ (1, 3, 5) và 3 khả năng để $y$ chẵn (2,4,6)

Do đó số khả năng để $x$ lẻ và $y$ chẵn là $3.3=9$

Xác suất xảy ra biến cố A là: $\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$

b)

Để $x+y=7$ thì có các khả năng là $(x,y)=(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5, 2), (6,1)$, tức là có 6 khả năng xảy ra

Do đó xác suất để xảy ra biến cố B là: $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
c)

$x>y$ có các khả năng là:

$(2,1); (3,1); (3,2); (4,1); (4,2); (4,3); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5)$, tức là có $15$ khả năng xảy ra

Xác suất biến cố C: $\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

Lời giải:

Bạn cứ thử vẽ hình ra cho dễ tưởng tượng:

Xếp 12 học sinh vào 12 ghế, có $12!$ cách xếp

Đầu tiên, sắp xếp 5 học sinh lớp C vào vị trí

Học sinh đầu tiên có 12 cách xếp chỗ ngồi

Học sinh tiếp theo có 10 cách xếp chỗ ngồi (trừ chỗ của hs 1 và chỗ đối diện hs 1)

HS tiếp nữa có 8 cách xếp chỗ ngồi

HS tiếp nữa có 6 cách xếp chỗ ngồi

HS cuối cùng có 4 cách xếp chỗ ngồi

--------------------------

Với mỗi cách sắp xếp HS lớp C ở trên. Tiếp theo, sắp xếp cho 4 học sinh lớp A. Vì 5 HS lớp C không có học sinh nào đối diện nhau nên sau khi sắp xếp thì chỉ còn dư 1 cặp ghế đối diện. Nếu không có HS A nào ngồi ở đó thì hiển nhiên vô lý vì 2 HS B khi đó sẽ phải ngồi đối diện nhau.

Cho học sinh A thứ nhất ngồi vào vị trí có cặp ghế trống. Có 2 cách chọn

Học sinh A thứ hai có 5 cách chọn ghế (trừ ghế đối diện học sinh 1)

Học sinh A thứ 3 có 4 cách chọn ghế

Học sinh A thứ 4 có 3 cách chọn ghế

Tương tự cho học sinh A thứ 2,3,4 ngồi vào vị trí cặp ghế trống. Như vậy có $2.5.4.3.4$ cách xếp ghế cho học sinh lớp A.

Cuối cùng, sắp xếp 3 học sinh lớp B vào 3 vị trí còn lại, có 3! cách xếp

Như vậy, xác suất để đạt được yêu cầu đề bài là:

$P=\frac{12.10.8.6.4.2.5.4.3.4.3!}{12!}=\frac{32}{231}$
Đáp án C

Chọn ra 5 học sinh xếp vào nhóm thứ nhất có: C⁵₁₅ = 3003 cách

Chọn ra 5 học sinh xếp vào nhóm thứ 2 có C⁵₁₀ = 252 cách

Số học sinh còn lại xếp vào nhóm thứ 3 có 1 cách

Vậy tổng cả có: 3003.252.1 = 756756 cách

5C2* 4C2= 60 (số)

Số đó có dạng 2ab ; a2b hoặc ab2

Xét 2ab

Có 6 cách chọn a ; 6 cách chọn b => Có 36 số

Xét a2b

Có 6 cách chọn a ; 6 cách chọn b => Có 36 số

Xét ab2 

Có 6 cách chọn a ; 6 cách chọn b => Có 36 số

Vậy lập được: 36 x 3 = 108 (số)

Lời giải:

Gọi $Q$ là tập hợp tất cả các cách lấy ra $6$ tấm thẻ trong số $20$ tấm thẻ. Ta có: $|Q|=C^6_{20}$

Gọi $A$ là biến cố  trong 6 tấm thẻ có 2 tấm thẻ có tổng bằng $21$. 

Các cặp số có tổng là $21$ là: $(1,20); (2,19); (3,18);...; (10;11)$  (10 cặp). 4 số còn lại ta có $C^4_{18}$ cách chọn.

Do đó số khả năng để trong 6 số có 2 số có tổng bằng $21$ là: $10.C^4_{18}$ 

Do đó xác suất để xảy ra biến cố A là: $\frac{10.C^4_{18}}{C^6_{20}}=\frac{15}{19}$

Không gian mẫu: \(C_{18}^2.C_{12}^2\)

Ta sẽ tính số trường hợp mà cả 2 đoàn có nhiều nhất 1 người VN nhận thưởng

TH1: đoàn 1 có 1 người VN nhận thưởng, đoàn 2 ko có người VN nào nhận thưởng: có \(C_6^1C_{12}^1C_9^2\) cách

TH2: đoàn 1 ko có người VN nào nhận thưởng, đoàn 2 có 1 người VN nhận thưởng, có \(C_{12}^2C_3^1C_9^1\)

TH3: cả 2 đoàn ko có người VN nào nhận thưởng, có: \(C_{12}^2C_9^2\) cách

Xác suất: \(P=1-\frac{C_6^1C^1_{12}C_9^2+C_{12}^2C_3^1C_9^1+C_{12}^2C_9^2}{C_{18}^2C_{12}^2}\)

Tổng cách hệ số của đa thức chính là \(f\left(1\right)\)

\(=\left(1+1-2\right)^{2010}+\left(1-1+1\right)^{2011}=1\)

Không gian mẫu: \(C_{52}^3\)

Có 11 bộ 3 lá liên tiếp, trong mỗi bộ, mỗi lá có 4 cách chọn (từ 4 chất khác nhau) \(\Rightarrow\) có \(11.4^3=704\) cách chọn

Xác xuất: \(P=\frac{704}{C_{52}^3}\)

Nhầm

Hỏi đáp 24/7 – Giải bài tập cùng Thủ Khoa | Zuni.vn

Tham khảo

Xét sơ đô mạng điện, trong đó mỗi công tắc có 2 trạng thái đóng và mở .Hỏi mạng điện có bao nhiêu cách đóng - mở 9 công tắc trên để thông mạch từ A đến B ( tức là có dòng điện đi từ A đến B ) ? - Tìm với Google

Ủa đề bài ko yêu cầu 3 chữ số khác nhau à? Thế thì dài lắm, rất phức tạp :(

Cách suy nghĩ về cơ bản như sau: gọi số A viết là \(\overline{abc}\), như vậy với mỗi số A viết B có 6 cách viết tương ứng (hoán vị 3 chữ số của A). Nhưng có 2 vấn đề rắc rối: 1/ trong các số a;b;c có mặt số 0, do đó khi hoán vị có khả năng 0 sẽ bị đẩy ra đứng đầu (không phù hợp). 2/ Trong có các a;b;c có ít nhất 2 chữ số giống nhau =>khi hoán vị sẽ bị lặp lại kết quả => thừa nghiệm. Do đó cần chia ra rất nhiều trường hợp và trong mỗi trường hợp lại chia nhỏ các trường hợp bên trong:

TH1: \(\overline{abc}\) chứa 2 số 0 \(\Rightarrow b=c=0\Rightarrow a\) có 3 cách chọn \(\Rightarrow\) có 3 số. Với mỗi số A viết, B có đúng 1 cách viết thỏa mãn (giống hệt A)

TH2: \(\overrightarrow{abc}\) chứa 1 số 0 tại vị trí b hoặc c. Giả sử \(c=0;b\ne0\)

\(\Rightarrow\)có \(3.3+3.3+3.3=27\) số. Hoán vị b và c có 2 cách \(\Rightarrow\) có \(27.2=54\) số, trong đó có 3 trường hợp một cặp số giống nhau (33;66;99) và 51 trường hợp 3 số đôi một khác nhau

- Nếu 3 chữ số A viết có 1 cặp giống nhau, tương ứng B sẽ có 2 cách viết \(\Rightarrow\) có \(3.2=6\) cách

- Nếu 3 chữ số A viết đôi một khác nhau, ứng với mỗi số B có 4 cách viết \(\Rightarrow51.4=204\) cách

\(\Rightarrow\) Ở trường hợp này có \(204+6=210\) cách

TH3: \(\overline{abc}\) không chứa số 0 nào

TH3.1: 3 chữ số a;b;c giống nhau \(\Rightarrow\) A có 9 cách viết, ứng với 1 số B cũng chỉ có 1 cách duy nhất \(\Rightarrow\) có 9 cách

TH3.2: 3 chữ số a;b;c có đúng 1 cặp giống nhau \(\Rightarrow\) a;b;c cùng số dư khi chia cho 3.

Có 9 cách chọn 1 cặp số giống nhau, với mỗi cặp sẽ có 2 cách chọn số còn lại \(\Rightarrow\) 18 cách chọn. Với mỗi số lại có 3 cách hoán vị \(\Rightarrow18.3=54\) cách để A viết

Với mỗi số A viết, B có 3 cách viết tương ứng

\(\Rightarrow\) có \(54.3=162\) cách

TH3.3: 3 chữ số a;b;c đôi một khác nhau:

- Cả 3 số đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) \(1.3!=6\) cách

- Cả 3 số chia 3 cùng số dư: \(2.3!=12\) cách

- 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2, 1 số chia hết cho 3: có \(3.3.3.3!=162\) cách

\(\Rightarrow\) có \(6+12+162=180\) cách để A viết

Với mỗi số A viết, B có \(3!=6\) cách viết tương ứng

\(\Rightarrow\) Có \(180.6=1080\) cách

Vậy tổng cộng có: \(3+210+9+162+1080=1464\) cách viết

Phức tạp quá nên chẳng biết có thiếu chỗ nào ko :D