Tìm m để phương trình \(log_5\left(x^2+1\right)+1\ge log_5\left(mx^2+4x+m\right)\) tìm m để bpt nghiệm đúng \(\forall x\in R\)
Tìm m để phương trình \(log_5\left(x^2+1\right)+1\ge log_5\left(mx^2+4x+m\right)\) tìm m để bpt nghiệm đúng \(\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow log_5\left(5x^2+5\right)\ge log_5\left(mx^2+4x+m\right)\)
BPT nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}5x^2+5\ge mx^2+4x+m\\mx^2+4x+m>0\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x^2-4x+5\ge m\left(x^2+1\right)\\m\left(x^2+1\right)>-4x\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\dfrac{5x^2-4x+5}{x^2+1}\\m>-\dfrac{4x}{x^2+1}\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\min\limits_{x\in R}\left(\dfrac{x^2-4x+1}{x^2+1}\right)\\m>\max\limits_{x\in R}\left(-\dfrac{4x}{x^2+1}\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\dfrac{5x^2-4x+5}{x^2+1}=\dfrac{3\left(x^2+1\right)+2\left(x-1\right)^2}{x^2+1}=3+\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\ge3\)
\(\Rightarrow\min\limits_{x\in R}\left(\dfrac{5x^2-4x+5}{x^2+1}\right)=3\)
\(-\dfrac{4x}{x^2+1}=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-2\left(x+1\right)^2}{x^2+1}=2-\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\le2\)
\(\Rightarrow\max\limits_{x\in R}\left(\dfrac{-4x}{x^2+1}\right)=2\)
\(\Rightarrow2< m\le3\)
Tìm m để phương trình \(log_{\sqrt{2}}\left(mx-6x^3\right)+2log_{\dfrac{1}{2}}\left(-14x^2+29x-2\right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt
Tìm m để phương trình \(\log_{\sqrt{2}}\left(mx-6x^3\right)+2\log_{\dfrac{1}{2}}\left(-14x^2+29x-2\right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt
Tìm m để phương trình \(\log_5\left(x^2+1\right)+1\ge\log_5\left(mx^2+4x+m\right)\) nghiệm đúng với mọi x thuộc R
\(\Leftrightarrow log_5\left(5x^2+5\right)\ge log_5\left(mx^2+4x+m\right)\) ; \(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx^2+4x+m>0\\5x^2+5\ge mx^2+4x+m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{-4x}{x^2+1}=f\left(x\right)\\m\le\dfrac{5x^2-4x+5}{x^2+1}=g\left(x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\max\limits_{x\in R}f\left(x\right)=2\\m\le\min\limits_{x\in R}g\left(x\right)=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2< m\le3\)
Tìm m để phương trình \(5^{mx^2+2x+3+2m}=5^{m+x}\) có hai nghiệm trái dấu
\(5^{mx^2+2x+3+2m}=5^{m+x}\)
\(\Leftrightarrow mx^2+2x+3+2m=m+x\)
\(\Leftrightarrow mx^2+x+m+3=0\)
Pt có 2 nghiệm trái dấu khi \(ac< 0\)
\(\Rightarrow m\left(m+3\right)< 0\)
\(\Rightarrow-3< m< 0\)
Giải pt sau :
\(pt\Leftrightarrow\log_2\left(2^x-1\right)\left[\log_22\left(2^x-1\right)\right]=12\)
\(\Leftrightarrow\log_2\left(2^x-1\right)\left[1+\log_2\left(2^x-1\right)\right]=12\)
\(\Leftrightarrow\log_2\left(2^x-1\right)+\left[\log_2\left(2^x-1\right)\right]^2=12\)
\(t=\log_2\left(2^x-1\right)>0\Leftrightarrow pt\Leftrightarrow t^2+t=12\Leftrightarrow t=3\)
\(\Leftrightarrow\log_2\left(2^x-1\right)=3\Leftrightarrow2^x=9\Leftrightarrow x=\log_29\left(tm\right)\)
Giải pt sau
ĐK: \(x\ge0\)
pt \(\Leftrightarrow\) \(\log_2^2x-\log_2\left(4x\right)-4=0\)
\(\log_2^2x-\log_2\left(x\right)-6=0\)
Đặt \(t=\log_2\left(x\right)\), ta giải phương trình bậc 2 ẩn $t$, sau đó đổi biến tìm $x$
Cho x,y là các số thực thỏa mãn x2 + y2 -x -y =xy . Tìm min của biểu thức
\(P=x^2+y^2-\dfrac{8}{3}\sqrt{x+y}\)
Số nghiệm nguyên của bất phương trình:
\(2log_3\left(4x-3\right)+log_{\dfrac{1}{3}}\left(2x+3\right)\le2\)
ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{3}{4}\)
\(2log_3\left(4x-3\right)+log_{3^{-1}}\left(2x+3\right)\le2\)
\(\Leftrightarrow log_3\left(4x-3\right)^2-log_3\left(2x+3\right)\le2\)
\(\Leftrightarrow log_3\dfrac{\left(4x-3\right)^2}{2x+3}\le2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(4x-3\right)^2}{2x+3}\le9\)
\(\Leftrightarrow\left(4x-3\right)^2\le9\left(2x+3\right)\)
\(\Leftrightarrow8x^2-21x-9\le0\)
\(\Rightarrow-\dfrac{3}{8}\le x\le3\)
Nghiệm của bất phương trình:
\(2^{x+2}+5^{x+1}< 2^x+5^{x+2}\) là
\(\Leftrightarrow4.2^x+5.5^x< 2^x+25.5^x\)
\(\Leftrightarrow3.2^x< 20.5^x\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{5}{2}\right)^x>\dfrac{3}{20}\)
\(\Rightarrow x>log_{\frac{5}{2}}\dfrac{3}{20} \)