Chương 2: HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT - Hỏi đáp

\(y'=x^2+4x+m-1\)

Để hàm số đồng biến trên R \(\Rightarrow y'\ge0\) \(\forall x\in R\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow4-\left(m-1\right)=5-m\le0\Rightarrow m\ge5\)

Vậy với \(m\ge5\) thì hàm số đồng biến trên R

\(y'=\left(m^2-2\right)cosx-\dfrac{1}{cos^2x}\)

Để hàm số nghịch biến trên \(\left(\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\Rightarrow y'\le0\) \(\forall x\in\left(\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\)

Đặt \(cosx=t\Rightarrow0< t\le1\) \(\forall x\in\left(\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(y'=\left(m^2-2\right)t-\dfrac{1}{t^2}\le0\) \(\Leftrightarrow m^2-2\le\dfrac{1}{t^3}\Leftrightarrow m^2\le\dfrac{1}{t^3}+2\) \(\forall t\in\text{(0;1]}\)

Đặt \(f\left(t\right)=\dfrac{1}{t^3}+2\Rightarrow m^2\le\min\limits_{\text{(0;1]}}f\left(t\right)\)

\(f'\left(t\right)=-\dfrac{3}{t^4}< 0\) \(\forall t\in\text{(0;1]}\) \(\Rightarrow f\left(t\right)\) nghịch biến \(\Rightarrow\min\limits_{\text{(0;1]}}f\left(t\right)=f\left(1\right)=3\)

\(\Rightarrow m^2\le3\Rightarrow-\sqrt{3}\le m\le\sqrt{3}\) \(\Rightarrow m=\left\{-1;0;1\right\}\)

\(\Rightarrow\) có 3 giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên \(\left(\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(P=\sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}\)

Ta áp dụng hằng đẳng thức : 

\(\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow P^3=6+\sqrt{\frac{847}{27}}+6-\sqrt{\frac{847}{27}}+3\sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}.\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}\left(3\sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}.\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}\right)\)

\(\Leftrightarrow P^3=12+3.\sqrt[3]{36-\frac{847}{27}}.P=12+5P\)

\(\Leftrightarrow P^3-5P-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(P-3\right)\left(P^2+3P+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow P=3\) hoặc \(P^3+3P+4=0\) vô nghiệm

Vậy \(P=3\)

dấu cộng nhá các bạn! mình gõ quên sửa dấu lại...

Thanks so much!

\(P=\left(2+\sqrt{3}\right)^{-2017}.\left(2+\sqrt{3}\right)^{2018} \)
\(P=\left(2+\sqrt{3}\right)^{-2017+2018}\)
\(P=2+\sqrt{3}\)

Đặt \(4^x=t>0\) pt trở thành:

\(f\left(t\right)=\left(m+1\right)t^2-2\left(2m-3\right)t+6m+5=0\) (1)

Để pt đã cho có 2 nghiệm trái dấu thì (1) cần có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:

\(0< t_1< 1< t_2\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.f\left(0\right)>0\\a.f\left(1\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+1\right)\left(6m+5\right)>0\\\left(m+1\right)\left(3m+12\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-4< m< -1\) \(\Rightarrow a.b=\left(-1\right).\left(-4\right)=4\)

Đặt \(3^x=t>0\) pt trở thành \(t^2-\left(m-1\right)t+2m=0\) (1)

Ta nhận thấy với mỗi giá trị dương của t sẽ cho 1 giá trị x tương ứng, do đó để pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\Rightarrow\left(1\right)\) có nghiệm kép dương hoặc có 1 nghiệm dương, 1 nghiệm không dương

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\Delta=0\\-\dfrac{b}{2a}>0\end{matrix}\right.\\a.c< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m^2-10m+1=0\\m>1\end{matrix}\right.\\2m< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5+2\sqrt{6}\\m< 0\end{matrix}\right.\)

1/Lấy logarit cơ số tự nhiên 2 vế:

\(ln\left(4^{3^x}\right)< ln\left(3^{4^x}\right)\Leftrightarrow3^x.ln4< 4^x.ln3\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^x< \dfrac{ln3}{ln4}=log_43\)

\(\Rightarrow x>log_{\dfrac{3}{4}}\left(log_43\right)\)

2/ Đề là thế này hả bạn? Đột nhiên con \(x^3\) chui vào trong ngoặc đứng 1 mình làm ko hiểu gì hết \(\sqrt{log_x\left(x^3+1\right).log_{x+1}\left(x+2\right)}\)

Đầu tiên là điều kiện để logarit xác định: \(x>0\)

Ta tìm điều kiện để căn thức xác định: \(log_x\left(x^3+1\right).log_{x+1}\left(x+2\right)\ge0\)

Do \(x>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1>1\\x+2>2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow log_{x+1}\left(x+2\right)>0\)

\(\Rightarrow log_x\left(x^3+1\right)\ge0\Rightarrow\dfrac{ln\left(x^3+1\right)}{lnx}\ge0\)

Lại có \(x>0\Rightarrow x^3+1>1\Rightarrow ln\left(x^3+1\right)>0\)

\(\Rightarrow lnx>0\Rightarrow x>1\)

Vậy TXĐ của pt là \(x>1\)

cho mình xin lỗi, bài thứ 2 là tìm tập xác định của phương trình. Mọi người giúp 2 bài này, mình sắp thi r!

\(log_2x-log_2x.log_3x+log_3x-1>0\)

\(\Leftrightarrow log_2x\left(1-log_3x\right)-\left(1-log_3x\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(log_2x-1\right)\left(1-log_3x\right)>0\)

\(\Rightarrow2< x< 3\)

\(log_2\left(1+log_{3^{-2}}x-log_{3^2}x\right)< 1\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(1-\dfrac{1}{2}log_3x-\dfrac{1}{2}log_3x\right)< 1\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(1-log_3x\right)< 1\)

\(\Leftrightarrow0< 1-log_3x< 2\)

\(\Leftrightarrow-1< log_3x< 1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}< x< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b\)

Câu a đúng là cú lừa, biến đổi logarit thì dễ, đến lúc nó ra pt vô tỉ theo x mới thấy vấn đề :D

a/ĐK: \(0< x< 1\)

\(2log_2x-log_2\left(1-\sqrt{x}\right)=log_2\left(x-2\sqrt{x}+2\right)\)

\(\Leftrightarrow log_2x^2-log_2\left(1-\sqrt{x}\right)=log_2\left(x-2\sqrt{x}+2\right)\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(\dfrac{x^2}{1-\sqrt{x}}\right)=log_2\left(x-2\sqrt{x}+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{1-\sqrt{x}}=x-2\sqrt{x}+2=x+2\left(1-\sqrt{x}\right)\)

Đặt \(1-\sqrt{x}=t\) (\(0< t< 1\)) \(\Rightarrow\dfrac{x^2}{t}=x+2t\)

\(\Leftrightarrow x^2-t.x-2t^2=0\) \(\Rightarrow\Delta=t^2+8t^2=9t^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{t+3t}{2}=2t\\x=\dfrac{t-3t}{2}=-t< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=2\left(1-\sqrt{x}\right)\Rightarrow x+2\sqrt{x}-2=0\) \(\Rightarrow x=4-2\sqrt{3}\)

b/ĐK \(x>0\)

\(log_3\left(x-1\right)^2-log_3x+\left(x-1\right)^2=x\)

\(\Leftrightarrow log_3\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)^2=log_3x+x\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=log_3t+t\) \(\left(t>0\right)\Rightarrow f'\left(t\right)=\dfrac{1}{t.ln3}+1>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)

\(\Rightarrow log_3\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)^2=log_3x+x\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=x\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(x>0;x\ne1\)

\(log_3\left(x^2-2x+1\right)+\left(x^2-2x+1\right)=log_3x+x\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=log_3t+t\) với \(t>0\)

\(\Rightarrow f'\left(t\right)=\dfrac{1}{t.ln3}+1>0\) \(\forall t>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)

\(\Rightarrow x^2-2x+1=x\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\)

Phương trình này có tổng 2 nghiệm \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=3\)