Chương 2: HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT - Hỏi đáp

Đề bài là \(2^{x+\frac{1}{2}}\) hả bạn? Với đề này thì ko giải được

goij x là số lần tăng thêm giá.. số tiền tăng thêm là x.100000 tương ướng số căn hộ bỏ trống là 2x
khi đó số thu nhập thu về là (50-2x).(2000000 + x.100000)
= (50-2x)(2.106 + x.105)
= -2.x2 . 105 + x( 50.105 -4.106) +100.106
= -2.x2 .105 + x.106 + 100.106
= -2.105 ( x2 -5x+25/4) + 101,25.106
= -2.105( x-5/2)2 +101,25.106
vậy muốn thu nhập cao công ty cần chi thuê với giá 2tr250k

Đặt \(7^x=a>0\) BPT trở thành: \(a^2-5a+m\le0\Leftrightarrow m\le-a^2+5a\)

BPT có nghiệm khi và chỉ khi \(m\le\max\limits_{\left(0;+\infty\right)}f\left(a\right)\) với \(f\left(a\right)=-a^2+5a\)

\(f'\left(a\right)=-2a+5=0\Rightarrow a=\frac{5}{2}\) \(\Rightarrow\max\limits_{\left(0;+\infty\right)}f\left(a\right)=f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{25}{4}\)

\(\Rightarrow m\le\frac{25}{4}\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3-3x+2\Rightarrow f'\left(x\right)=3x^2-3\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=\pm1\) ; \(f\left(-1\right)=4>log_210\) ; \(f\left(1\right)=0< log_210\)

\(\Rightarrow\) Dựa vào BBT, ta thấy đường thẳng \(y=log_210\) cắt \(y=\left|f\left(x\right)\right|\) tại 4 điểm

\(\Rightarrow\) Pt có 4 nghiệm

ĐKXĐ: \(x>0\)

\(log_{a^4}x-log_{a^2}x+log_ax=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}log_ax-\frac{1}{2}log_ax+log_ax=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}log_ax=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow log_ax=1\)

\(\Rightarrow x=a\)

Ta có \(y'=e^{\sqrt[3]{x^2+1}-x}\left(\sqrt[3]{x^2+1}-x\right)+3^{3x-1}\left(3x-1\right)'\ln3\)

             \(=e^{\sqrt[3]{x^2+1}-x}\left(\frac{2x}{3\sqrt[3]{\left(x^2+1\right)^2}}-1\right)+3^{3x}\ln3\)

Câu 2:

ĐKXĐ: \(1\le x\le3\)

Đặt \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=a\ge0\)

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki:

\(\Rightarrow a\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(x-1+3-x\right)}=2\sqrt{2}\)

Mặt khác

\(a^2=x-1+3-x+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\ge2\)

\(\Rightarrow2\le a\le3\)

Cũng từ trên ta có:

\(a^2=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}=\frac{a^2-2}{2}=\frac{1}{2}a^2-1\)

Phương trình trở thành:

\(a-\left(\frac{1}{2}a^2-1\right)=m\)

\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}a^2+a+1=m\)

Xét hàm \(f\left(a\right)=-\frac{1}{2}a^2+a+1\) trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(f'\left(a\right)=-a+1< 0\) \(\forall a\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\) nghịch biến trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(\Rightarrow f\left(2\sqrt{2}\right)\le f\left(a\right)\le f\left(2\right)\Rightarrow-3+2\sqrt{2}\le f\left(a\right)\le1\)

Vậy:

- Nếu \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -3+2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) thì phương trình vô nghiệm

- Nếu \(-3+2\sqrt{2}\le m\le1\) pt có nghiệm

Câu 1:

\(f\left(x\right)=\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}-\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}=m\)

Tọa độ hóa bài toán bằng cách gọi \(A\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) và \(B\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) là hai điểm cố định trên mặt phẳng tọa độ Oxy, M là điểm di động có tọa độ \(M\left(x;0\right)\)

\(\Rightarrow AM=\left|\overrightarrow{AM}\right|=\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(0-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\)

\(BM=\left|\overrightarrow{BM}\right|=\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=AM-BM\)

Mặt khác, theo BĐT tam giác ta luôn có

\(\left|AM-BM\right|< AB=\sqrt{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=1\)

\(\Rightarrow\left|f\left(x\right)\right|< 1\Rightarrow\left|m\right|< 1\Rightarrow-1< m< 1\)

Lấy logarit cơ số 4 hai vế:

\(log_44^{log_57}=log_47^{log_54}\)

\(\Leftrightarrow log_57=log_54.log_47\)

\(\Leftrightarrow log_57=\frac{log_47}{log_45}\)

\(\Leftrightarrow log_57=log_57\)

Đẳng thức cuối cùng đúng, vậy ta có đpcm

\(y=e^{x^2+1}\)

\(y'=2x.e^{x^2+1}\)

\(y'=0\Rightarrow x=0\)

Với \(\left\{{}\begin{matrix}x< 0\Rightarrow y'< 0\\x>0\Rightarrow y'>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=0\) là điểm cực tiểu của hàm số

\(\Rightarrow y_{min}=y\left(0\right)=e\)

//Hoặc là 1 cách ngắn gọn:

\(x^2+1\ge1\Rightarrow e^{x^2+1}\ge e^1=e\Rightarrow y_{min}=e\)

Trên đoạn nào bạn? Chứ trên toàn miền R thì đương nhiên là hàm này ko có GTLN rồi

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2^x=a\\3^y=b\\4^z=c\end{matrix}\right.\) (với \(a;b;c>0\)) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\)

Gọi \(M\left(a;b;c\right)\) thì M thuộc mặt cầu tâm \(I\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) bán kính \(R=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(T=2^{x+1}+3^{y+1}+4^{z+1}=2.2^x+3.3^y+4.4^z=2a+3b+4c\)

\(\Rightarrow2a+3b+4c-T=0\)

Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi có phương trình \(2x+3y+4z-T=0\)

\(\Rightarrow M\in\left(P\right)\Rightarrow M\) thuộc giao của mặt cầu và (P)

Mà mặt cầu giao với (P) khi và chỉ khi:

\(d\left(I;\left(P\right)\right)\le R\Leftrightarrow\frac{\left|2.\frac{1}{2}+3.\frac{1}{2}+4.\frac{1}{2}-T\right|}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|T-\frac{9}{2}\right|\le\frac{\sqrt{87}}{2}\) \(\Rightarrow\frac{-\sqrt{87}}{2}\le T-\frac{9}{2}\le\frac{\sqrt{87}}{2}\)

\(\Rightarrow T\le\frac{9+\sqrt{87}}{2}\)

Gọi phương trình d có dạng \(y=kx+b\), do d qua A

\(\Rightarrow5=-k+b\Rightarrow b=k+5\)

\(\Rightarrow\) Phương trình d: \(y=kx+k+5\)

Phương trình hoành độ giao điểm d và (C):

\(-x^3+3x^2+1=kx+k+5\Leftrightarrow x^3-3x^2+4+k\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2+k\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left[\left(x-2\right)^2+k\right]=0\) (1)

Do (1) luôn có nghiệm \(x=-1\Rightarrow\) để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \(\left(x-2\right)^2+k=0\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-1-2\right)^2+k\ne0\\\left(x-2\right)^2=-k\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k\ne-9\\-k>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k\ne-9\\k< 0\end{matrix}\right.\)