Chương 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

|2x-1| = |2x+3|

<=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}2x-1=2x+3\\2x-1=-2x-3\end{array}\right.\)

<=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}0x=4\left(vl\right)\\4x=-2\end{array}\right.\)

<=> x = \(-\frac{1}{2}\)

Lời giải:

1)

PT hoành độ giao điểm:
\(x^2-3x+5-(x+b)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+(5-b)=0\)

Để 2 ĐTHS có một điểm chung thì pt hoành độ giao điểm có một nghiệm duy nhất

\(\Leftrightarrow \Delta'=2^2-(5-b)=0\)

\(\Leftrightarrow b=1\)

2)

\(M=|2x+3|+|x-1|\)

\(2M=2|2x+3|+|2x-2|=(|2x+3|+|2x-2|)+|2x+3|\)

\(=(|2x+3|+|2-2x|)+|2x+3|\)

\(\geq |2x+3+2-2x|+|2x+3|\)

\(\geq |3+2|+0=5\)

\(\Rightarrow M\geq \frac{5}{2}\). Vậy \(M_{\min}=\frac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (2x+3)(2-2x)\geq 0\\ 2x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\)

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=1\\-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=4\\9a+3b+c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-2a\\b^2-4ac=-16a\\9a+3b+c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-2a\\4a^2-4ac+16a=0\\9a+3b+c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-2a\\a-c=-4\\9a+3b+c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-2a\\c=a+4\\9a-6a+a+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-2a\\c=a+4\\a=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(a,b,c\right)=\left(-1;2;3\right)\)

\(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\dfrac{x_1^2+\left(m+1\right)x_1+3-x_2^2-\left(m+1\right)x_2-3}{x_1-x_2}\)

\(=\left(x_1+x_2\right)-\left(m+1\right)\)

Vì \(x_1;x_2>1\) nên \(x_1+x_2>2\)

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\) thì \(2-m-1>0\)

=>1-m>0

hay m<1

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a-b+c=5\\a-b+c=6\\-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=-1\end{matrix}\right.\)=>a,b,c không có giá trị

Thì khi thay x=0 vào (P) thì y=1 nên (P) đi qua (0;1) thôi bạn

Bài 2: 

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4-4(1-3m)>0

=>4(1-3m)<4

=>1-3m<1

=>3m>0

hay m>0

a: Ta có: \(\left(m-1\right)x^2-2x-m+1=0\)

a=m-1; b=-2; c=-m+1

\(ac=\left(m-1\right)\left(-m+1\right)=-\left(m-1\right)^2< 0\forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

b: \(x_1^2+x_2^2=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2}{m-1}\right)^2-2\cdot\dfrac{-m+1}{m-1}=6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{\left(m-1\right)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2=1\)

=>m-1=1 hoặc m-1=-1

=>m=2 hoặc m=0

Để (Pm) là đồ thị của hàm số bậc hai thì m-1<>0

hay m<>1

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\left(m-1\right)x^2+\left(2m-4\right)x-5-4x+m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x^2+\left(2m-8\right)x+m-5=0\)

\(\text{Δ}=\left(2m-8\right)^2-4\left(m^2-6m+5\right)\)

\(=4m^2-32m+64-4m^2+24m-20\)

\(=-8m+44\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -8m+44>0

=>-8m>-44

hay m<11/2

Theo đề, ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2m-8\right)^2}{\left(m-1\right)^2}-4\cdot\dfrac{m-5}{m-1}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-8\right)^2-4\left(m^2-6m+5\right)=4\left(m-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4m^2-32m+64-4m^2+24m-20=4\left(m^2-2m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-8m-44=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-16m-40=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m-10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=14\)

hay \(m\in\left\{\sqrt{14}+2;-\sqrt{14}+2\right\}\)