Chương 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

1: Thay x=-2 vào y=2x+5, ta được:

y=5-4=1

Vì (d) đi qua A(-2;1) và B(4;0) nên ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2a+b=1\\4a+b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{6}\\b=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

ta có : \(y=\dfrac{\left(m-1\right)x+m+2}{x+m+2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(m-1\right)x+m+2}{x+m+2}-y=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m-1\right)x+m+2-yx-ym-2y}{x+m+2}=0\)

\(\)\(\Leftrightarrow\left(-x+2-yx-2y\right)+\left(x+1-y\right)m=0\)

\(\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x+2-yx-2y=0\\x+1-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=x+1\\-x+2-x\left(x+1\right)-2\left(x+1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=x+1\\-x^2-4x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-4\end{matrix}\right.\\y=x+1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-4\\x=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

dó các điểm này không phụ thuộc vào \(m\)

\(\Rightarrow\) \(A\left(0;1\right)\) và \(B\left(-4;-3\right)\) là 2 điểm cố định của đồ thị hàm số .

(P') đi qua A(1;0) =>(P') <=> 0=a+b+c <=> a+b+c=0 (1)

(P')có đỉnh trùng với (P):y=x²+4x-15 => tọa độ đỉnh I(-2;-19)

I(-2;-19)\(\in\)(P')=>(P') <=> -19=4a-2b+c <=> 4a-2b+c=-19 (2)

tọa độ đỉnh I(-2;-19) có x=-2 <=> \(\dfrac{-b}{2a}\)=-2 <=> 4a-b=0 (3)

từ (1),(2) và (3) ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=0\\4a-2b+c=-19\\4a-b=0\end{matrix}\right.\)giải hệ ta được \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{19}{9}\\b=\dfrac{76}{9}\\c=\dfrac{-95}{9}\end{matrix}\right.\)

Vậy (P'):\(y=\dfrac{19}{9}x^2+\dfrac{76}{9}x-\dfrac{95}{9}\)

giả sử \(\left(P\right):y=ax^2+bx+c\)

khi đó \(\left(P\right)\cap\left(d\right)\) \(\Leftrightarrow ax^2+bx+c=\left(3-2m\right)x-m^2-2m\)

\(\Leftrightarrow ax^2+\left(b+2m-3\right)x+m^2+2m+c=0\)

để \(\left(P\right)\) tiếp xúc \(\left(d\right)\) \(\Leftrightarrow\left(b+2m-3\right)^2-4a\left(m^2+2m+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow b^2+4m^2+9+4mb-12m-6b-4am^2-8am-4ac=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b^2+9-6b-4ac\right)+\left(4b-12-8a\right)m+\left(4-4a\right)m^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+9-6b-4ac=0\\4b-12-8a=0\\4-4a=0\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b^2-6b+9-4c\\4b-20=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=5\\c=1\end{matrix}\right.\)

vậy tồn tại \(\left(P\right)y=x^2+5x+1\) \(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

Lời giải:

\(y=\frac{\sqrt{2x-5}}{|x|-3}\)

ĐK: \(\left\{\begin{matrix} 2x-5\geq 0\\ |x|-3\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{5}{2}\\ x\neq \pm 3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x\geq \frac{5}{2}; x\neq 3\)

Vậy TXĐ là \(x\in [\frac{5}{2}; +\infty)\setminus \left\{3\right\}\)

------------

\(y=\frac{|x|}{\sqrt{x-2}}+\frac{5x^2}{-x^2+6x-5}\)

ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x-2>0\\ -x^2+6x-5\neq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>2\\ (5-x)(x-1)\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>2\\ x\neq 1; x\neq 5\end{matrix}\right.\)

Vậy TXĐ: \(x\in (2;+\infty)\setminus \left\{1;5\right\}\)

-----------

\(y=\frac{2x}{\sqrt{x+1}}+\frac{3x}{x^2+1}\)

ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x+1>0\\ x^2+1\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>-1\)

Vậy TXĐ: \(x\in (-1;+\infty)\)

\(f\left(-x\right)=\dfrac{\left|-x+1\right|+\left|-x-1\right|}{\left|-x+1\right|-\left|-x-1\right|}\)

\(=\dfrac{\left|x-1\right|+\left|x+1\right|}{\left|x-1\right|-\left|x+1\right|}=-f\left(x\right)\)

=>f(x) là hàm số lẻ