Chương 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

- Xét phương trình hoành độ giao điểm :

\(x^2-3mx+m^2+1=mx+m^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-4mx+1=0\) ( 1 )

Có : \(\Delta^,=4m^2-1\)

- Để (d) cắt ( P ) tại 2 điểm phân biệt trên trục hoành 

<=> Phương trình ( 1 ) có 2 nghiệm phân biệt .

<=> \(\Delta^,=4m^2-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-\dfrac{1}{2}\\m\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

- Theo viets : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4m\\x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)

( đến đây giải nốt nhá hình như thiếu đề đoạn thỏa mãn :vvv )

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2+2mx-3m=-2x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\left(m+1\right)x-3m-3=0\)

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình \(\Leftrightarrow x^2+2\left(m+1\right)x-3m-3=0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2+5m+4>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -4\end{matrix}\right.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=-m-1\pm\sqrt{m^2+5m+4}\)

\(x=-m-1+\sqrt{m^2+5m+4}\Rightarrow y=2m+5-2\sqrt{m^2+5m+4}\)

\(\Rightarrow A\left(-m-1+\sqrt{m^2+5m+4};2m+5-2\sqrt{m^2+5m+4}\right)\)

\(x=-m-1-\sqrt{m^2+5m+4}\Rightarrow y=2m+5+2\sqrt{m^2+5m+4}\)

\(\Rightarrow B\left(-m-1-\sqrt{m^2+5m+4};2m+5+2\sqrt{m^2+5m+4}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(-2\sqrt{m^2+5m+4};4\sqrt{m^2+5m+4}\right)\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{4\left(m^2+5m+4\right)+16\left(m^2+5m+4\right)}=2\sqrt{5\left(m^2+5m+4\right)}=4\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{m^2+5m+4}=2\)

\(\Leftrightarrow m^2+5m=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(tm\right)\\m=-5\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d): y = -2x + 3 và 

(P) : x² + 2mx - 3m = 0

x² + 2mx - 3m = -2x + 3 

⇔ x² + 2(m+1) - 3(m+1) = 0 (*)

Để (d) cắt (P) taị 2 điểm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó Δ' > 0 

⇔ (m+1)² + 3(m+1) > 0

⇔ (m+1)(m+4) > 0

⇔ m ∈ R \ (-4 ; -1) (!)

Do A,B là giao điểm của (d) và (P) nên hoành độ của chúng là nghiệm của (*)

Theo định lí Viet : \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-2m-2=-2\left(m+1\right)\\x_A.x_B=-3m-3=-3\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\) 

Do A,B ∈ d nên hoành độ và tung độ của chúng thỏa mãn

y = -2x + 3 hay \(\left\{{}\begin{matrix}y_A=-2x_A+3\\y_B=-2x_B+3\end{matrix}\right.\)

Để giải được bài này thì mình sẽ sử dụng công thức tính độ dài của vecto AB (nếu bạn chưa học đến thì xin lỗi)

AB = |\(\overrightarrow{AB}\)| = 4\(\sqrt{5}\)

⇒ (x_A - x_B)² + (y_A - y_B)² = 80

⇒ (x_A - x_B)² + (-2x_A + 2x_B)² = 80

Sau đó bạn thay m vào rồi biến đổi, kết quả ta được

(m+1)(m+4) = 4 \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-5\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn (!) )

Vậy tập hợp các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 

M = {0 ; -5}

không gõ công thức được, mọi người thông cảm

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-3\right)x=\left(m-1\right)\left(m-2\right)\)

Pt có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(\left(m-1\right)\left(m-3\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne3\end{matrix}\right.\)

Gọi \(D\left(x;y\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)\\\overrightarrow{AD}=\left(x-1;y+1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{5}\\AD=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2}\end{matrix}\right.\)

Do ABCD là hình vuông nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\\AB=AD\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x-1\right)+y+1=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+4\left(x-1\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=1\\x=2\Rightarrow y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}D\left(0;1\right)\\D\left(2;-3\right)\end{matrix}\right.\)

Với \(D\left(0;1\right)\Rightarrow\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\Rightarrow C\left(2;2\right)\)

Cả 4 đáp án đều sai

\(\Leftrightarrow\left(m^2-2m-3\right)x=3-m\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)\left(m+1\right)x=-\left(m-3\right)\)

- Với \(m=3\) pt vô số nghiệm

- Với \(m=-1\) pt vô nghiệm

- Với \(m\ne\left\{-1;3\right\}\) pt có nghiệm duy nhất

\(x=\dfrac{-\left(m-3\right)}{\left(m-3\right)\left(m+1\right)}=\dfrac{-1}{m+1}\)

Để pt có nghiệm dương \(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{m+1}>0\Leftrightarrow m+1< 0\Leftrightarrow m< -1\)

ĐK: \(0\le x\le9\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{9-x}+\sqrt{x}=\sqrt{3m-x^2+9x}\)

\(\Leftrightarrow9+2\sqrt{9x-x^2}=3m-x^2+9x\)

\(\Leftrightarrow3m=x^2-9x+2\sqrt{9x-x^2}+9\left(1\right)\)

Đặt \(\sqrt{9x-x^2}=t\left(0\le t\le\dfrac{9}{2}\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow3m=f\left(t\right)=-t^2+2t+9\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi 

\(minf\left(t\right)\le3m\le maxf\left(t\right)\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{9}{4}\le3m\le10\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{3}{4}\le m\le\dfrac{10}{3}\)