Chương 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

Trong mp (SAB) nối MN kéo dài cắt AB tại E

Trong mp (ABCD), nối EQ cắt AD tại F và cắt BC tại G

Trong mp (SBC), nối GN cắt SC tại H

\(\Rightarrow\) Đa giác MNHQF là thiết diện của chóp và (MNQ)

Hình vẽ bài 3:

4.

a.

Gọi O là giao điểm AC và BD

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}O\in AC\in\left(SAC\right)\\O\in BD\in\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow SO=\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

b.

Qua S kẻ đường thẳng d song song AD

Do \(\left\{{}\begin{matrix}AD\in\left(SAD\right)\\BC\in\left(SBC\right)\\AD||BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) giao tuyến của (SAD) và (SBD) song song AD và BC

Mà giao tuyến đó qua S \(\Rightarrow d=\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)

c.

Do I là trung điểm SM \(\Rightarrow IC=\dfrac{3}{4}SC\)

Do J là trung điểm AO \(\Rightarrow JC=\dfrac{3}{4}AC\)

\(\Rightarrow\dfrac{IC}{SC}=\dfrac{JC}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow IJ||SC\) (Talet đảo)

d.

Ta có \(ND=3NA\Rightarrow NA=\dfrac{1}{4}AD\)

\(\Rightarrow\dfrac{ND}{AD}=\dfrac{AJ}{AC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow NJ||CD\) (Talet đảo)

Mà \(CD||AB\Rightarrow NJ||AB\)

Bài 5:

a.

Ta có S là 1 giao điểm của (SAB) và (SCD)

Qua S kẻ đường thẳng d song song AB

Do \(\left\{{}\begin{matrix}AB\in\left(SAB\right)\\CD\in\left(SCD\right)\\AB||CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d=\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\)

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}SC\in\left(SAC\right)\\SC\in\left(SBC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SC=\left(SAC\right)\in\left(SBC\right)\)

c.

Qua G kẻ đường thẳng d' song song BC (đồng thời song song AD) cắt SB tại P

\(\Rightarrow d'\in\left(ADG\right)\Rightarrow P\in\left(ADG\right)\)

\(\Rightarrow P=SB\cap\left(ADG\right)\)

d.

Gọi O là giao điểm AC và BD, M là trung điểm AD

Do G là trọng tâm SBC \(\Rightarrow\dfrac{GM}{SM}=\dfrac{1}{3}\) (1)

Lại có \(BE=\dfrac{1}{3}BD=\dfrac{1}{3}.2OB=\dfrac{2}{3}OB\) và BE đi qua trung điểm O của AC

\(\Rightarrow E\) là trọng tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow\dfrac{EM}{AM}=\dfrac{1}{3}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\dfrac{GM}{SM}=\dfrac{EM}{AM}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow GE||SA\) (Talet đảo)

a, (SAB) và (SCD) có chung điểm S. Mà AB \(\subset\) (SAB) ; CD \(\subset\) (SCD) và ta có AB // CD

⇒ (SAB) \(\cap\) (SCD) = Sx. Với Sx là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD

b, M ∈ SC nên M ∈ (SAC)

Trong (ABCD) gọi O = AC \(\cap\) BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD

Trong (SAC) gọi E = AM \(\cap\) SO

Do N = SD \(\cap\) (BMN) nên N nằm trên giao tuyến của (SBD) và (BMN)

⇒ N nằm trên BE do BE = (SBD) \(\cap\) (BMN)

⇒ N = BE \(\cap\) SD

Ta có 3 mặt phẳng : (SAB); (SCD) ; (BMN) phân biệt và

(SAB) \(\cap\) (SCD) = Sx

(SAB) \(\cap\) (BMN) = AB

(BMN) \(\cap\) (SCD) = MN. Mà Sx // AB

=> AB // Sx // MN

⇒ Tứ giác ABMN là hình thang

c, Do I = AN \(\cap\) BM. Mà AN \(\subset\) (SAD) và BM \(\subset\) (SBC)

⇒ I nằm trên giao tuyến của (SAD) và (SBC)

=> I nằm trên đường thẳng Sy đi qua S và Sy // AD // BC

a) xét tam giác SAC

gọi \(SO\cap MP=\left\{E\right\}\)\(\left(SO,MP\subset\left(SAC\right)\right)\)

ta có \(MP\subset\left(MNP\right)\)

vậy \(SO\cap\left(MNP\right)=\left\{E\right\}\)

b) xét tam giác SAC

ta có \(MC\cap SO=\left\{F\right\}\left(SO,MC\subset\left(SAC\right)\right)\)

mà \(SO\subset\left(SBD\right)\)

=>\(MC\cap\left(SBC\right)=\left\{F\right\}\)

Chứng minh C thuộc (GME) là được