Chương 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG - Hỏi đáp

a/ Trong mặt phẳng (BCD), nối BO kéo dài cắt CD tại E

Trong mặt phẳng (ACD), nối AE cắt MN tại F

\(\Rightarrow F=MN\cap\left(ABO\right)\)

b/ Trong mặt phẳng (ABE), nối BF cắt AO tại P

\(\Rightarrow P=AO\cap\left(MNB\right)\)

Nối AM cắt BD tại E \(\Rightarrow\) E là trung điểm BD

Nối AN cắt CD tại F \(\Rightarrow\) F là trung điểm CD

\(EF=\left(AMN\right)\cap\left(BCD\right)\)

Tương tự câu a, gọi P và Q lần lượt là trung điểm AB và AC thì \(PQ=\left(DMN\right)\cap\left(ACB\right)\)

Gọi Q là trung điểm AB, trong mặt phẳng (SNQ) nối SQ cắt NP tại E

Nối MN cắt AB kéo dài tại F

Trong mặt phẳng (SAB), nối EF cắt SA và SB lần lượt tại G và H

\(\Rightarrow GH=\left(MNP\right)\cap\left(SAB\right)\)

NM cắt AD kéo dài tại I

Trong mặt phẳng (SAD) nối IG cắt SD tại J

\(\Rightarrow GJ=\left(MNP\right)\cap\left(SAD\right)\)

\(NJ=\left(MNP\right)\cap\left(SCD\right)\)

\(MH=\left(MNP\right)\cap\left(SBC\right)\)

\(\frac{SM}{MC}=\frac{SN}{ND}\Rightarrow MN//CD\) theo Talet đảo

Lời giải:

Giả sử $PQ, SA$ đồng phẳng. Khi đó tồn tại $(a)$ sao cho $PQ\(P,Q,S,A\in (a)\)

$\Rightarrow M\in (a)$ do $M\in SA$

$\Rightarrow B\in (d)$ do $B\in MP$

$\Rightarrow (BSA)$ chính là mp $(a)$

Mà $Q\not\in (a)$ nên điều giả sử là sai. Tức lả $PQ,SA$ không đồng phẳng.

Hoàn toàn tương tự ta cũng cm được $(PQ, SB); (PQ, SC); (PQ, SD); (PQ, AB); (PQ, CD)$ không đồng phẳng.

$PQ$ đồng phẳng với các đường thẳng $MN, BC, AD$ theo tính song song

$PQ$ đồng phẳng với $BM, CN$ theo tính chất 3 điểm luôn tạo ra 1 mp.

Ba mặt phẳng phân biệt (SAB), (SCD) và (ABCD) cắt nhau theo 3 giao tuyến lần lượt là d, AB, CD

\(\Rightarrow\) Ba đường thẳng d, AB, CD sẽ song song hoặc đồng quy

Mà \(AB//CD\Rightarrow\) 3 đường thẳng song song \(\Rightarrow d//AB\)

Trong mặt phẳng (ABD) nối MN cắt AD kéo dài tại P

Trong mặt phẳng (ACD) nối PG kéo dài cắt AC tại Q

MQ chính là giao tuyến của (GMN) và (ABC)

Gọi P là trung điểm SD

Do G là trọng tâm SAD nên AP đi qua G

Do E là trọng tâm SCD nên CP đi qua E

\(\Rightarrow\left(ACP\right)\) là mặt phẳng (ACG) mở rộng hay \(E\in\left(ACG\right)\)

Gọi H, K lần lượt là trung điểm AD và DC

\(\Rightarrow\frac{SG}{SH}=\frac{SE}{SK}=\frac{2}{3}\) (t/c trọng tâm)

\(\Rightarrow HK//GE\) (Talet đảo)

Mà HK là đường trung bình tam giác ADC

\(\Rightarrow HK//AC\Rightarrow GE//AC\)

Cũng có MN là đtb tam giác ABC \(\Rightarrow MN//AC\Rightarrow MN//GE\)

\(\Rightarrow G\in\left(MNE\right)\)

\(\Rightarrow GE\) là giao tuyến của (ACG) và (MNE)

Hai mặt phẳng này cắt nhau

Nối CM kéo dài cắt AB tại E \(\Rightarrow\) E là trung điểm AB

Mà N là trọng tâm tam giác ABD \(\Rightarrow\) DN đi qua E

\(\Rightarrow\) DE là giao tuyến (CMN) và (ABD)

b/ Gọi F là trung điểm CD \(\Rightarrow\) EF là giao tuyến của (CMN) và (ABF)

Mà K thuộc BF \(\Rightarrow\) \(AK\in\left(ABF\right)\)

Trong mặt phẳng (ABF), nối EF cắt AK tại I \(\Rightarrow I=AK\cap\left(CMN\right)\)

c/ Trong tam giác ABK, áp dụng định lý Menelaus ta có:

\(\frac{AE}{BE}.\frac{BF}{FK}.\frac{KI}{IA}=1\Leftrightarrow\frac{IA}{IK}=1.3=3\)

Hình như bạn ghi sai đề bài, chỗ này nè: "gọi M, N là trung điểm của AN, CD..."

\(MP=\left(MNP\right)\cap\left(SAC\right)\)

Qua P kẻ đường thẳng song song BC cắt SB tại Q

\(\Rightarrow MQ=\left(MNP\right)\cap\left(SAB\right)\)

\(MN=\left(MNP\right)\cap\left(SAD\right)\)