Chương 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG - Hỏi đáp

a/ Kẻ BO cắt CD tại E

Trong mặt phẳng (ACD), nối AE cắt MN tại F

\(\Rightarrow\) F là giao điểm MN và (ABO)

b/ Trong mặt phẳng (ABE) (cũng chính là mặt phẳng (ABO)), nối BF cắt AO tại P

\(\left\{{}\begin{matrix}P\in BF\\BF\in\left(BMN\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P\in\left(BMN\right)\)

Mà \(P\in AO\Rightarrow AO\cap\left(BMN\right)=P\)

Kéo dài NP và CD cắt nhau tại E

\(\Rightarrow\) E là giao điểm (NMP) và CD

Trong mặt phẳng (ACD), nối ME cắt AD tại F

\(\Rightarrow\) F là giao điểm (MNP) và AD

b/

TH1: nếu Q là trung điểm AB \(\Rightarrow MQ//BC\)

Qua P kẻ đường thẳng song song BC cắt CD tại I

\(\Rightarrow\) IP là giao tuyến (MPQ) và (BCD) và I là giao điểm của (MNP) và CD

Trong mặt phẳng (ABD), nối PQ cắt AD kéo dài tại J \(\Rightarrow\) J là giao điểm (MNP) và AD

TH2: nếu Q không là trung điểm AB

Trong mặt phẳng (ABC), nối MQ kéo dài cắt BC kéo dài tại I

Trong mặt phẳng (BCD), nối IP cắt CD tại J

\(\Rightarrow\) JP là giao tuyến (MNP) và (BCD), J là giao điểm (MNP) và CD

- Nếu \(BQ=2AQ\Rightarrow PQ//AD\Rightarrow\) không tồn tại giao điểm (MNP) và AD

- Nếu \(BQ\ne2AQ\) nối PQ cắt AD kéo dài tại K thì K là giao điểm (MNP) và AD

Lời giải:
Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $a$ với $AB$ thì $A'K\subset (A',a)$

Ta thấy: $K\in AB; A'\in SA\Rightarrow A'K\subset (SAB)$

Do đó $A'K$ là giao tuyến của $(A',a)$ và $(SAB)$

Giao tuyến với các mặt phẳng $(SAC,SBC)$ bạn thực hiện tương tự.

Gọi O là giao điểm AC và BD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SO\in\left(SAC\right)\\SO\in\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)=SO\)

Trong mặt phẳng (SAC), gọi N là giao điểm SO và AM

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}N\in\left(AMD\right)\\N\in\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(AMD\right)\cap\left(SBD\right)=DN\)

Trong mặt phẳng (SBD), nối DN kéo dài cắt SB tại P

\(\Rightarrow P\in\left(SBC\right)\Rightarrow\left(AMD\right)\cap\left(SBC\right)=MP\)

\(DN\in\left(AMD\right)\Rightarrow P\in\left(AMD\right)\Rightarrow P=SB\cap\left(AMD\right)\)

Lời giải:

$D'M$ cắt $BC$ tại $T$ thì $AT$ chính là giao tuyến của $(ABC)$ và $(AMD')$

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\\\left(SAD\right)\perp\left(ABCD\right)\\\left(SAB\right)\cap\left(SAD\right)=SA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SA\perp\left(ABCD\right)\)

\(OM\) cắt (SCD) tại S, mà \(OS=2MS\Rightarrow d\left(M;\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)

\(AO\) cắt (SCD) tại C, mà \(AC=2OC\Rightarrow d\left(O;\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A;\left(SCD\right)\right)\)

\(\Rightarrow d\left(M;\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{4}d\left(A;\left(SCD\right)\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)

Trong mặt phẳng (SAD), từ A kẻ \(AH\perp SD\Rightarrow AH\perp\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SCD\right)\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{5}{16a^2}\Rightarrow AH=\frac{4a\sqrt{5}}{5}\)

\(\Rightarrow d\left(M;\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{4}AH=\frac{a\sqrt{5}}{5}\)

\(\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AM\perp BC\) (1)

Mà \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAM\right)\)

b/ \(BC\perp\left(SAM\right)\) mà BC là giao tuyến của (SBC) và (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SMA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)

\(AM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow tan\widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=2\)

\(\Rightarrow\widehat{SMA}\approx63^026'\)

c/ Từ A kẻ \(AH\perp SM\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{SA^2}\Rightarrow AH=\frac{AM.SA}{\sqrt{AM^2+SA^2}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}\)

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow SM\perp AB\)

Mà \(SO\perp\left(OAB\right)\Rightarrow SO\perp AB\)

\(\Rightarrow AB\perp\left(SOM\right)\) \(\Rightarrow\widehat{MSO}\) là góc giữa SO và (SAB)

\(\Rightarrow\widehat{MSO}=30^0\)

SAB vuông cân tại S \(\Rightarrow S_{\Delta SAB}=\frac{1}{2}SA.SB=\frac{1}{2}SA^2=4a^2\Rightarrow SA=l=2a\sqrt{2}\)

\(SM=SA.sin45^0=2a\) \(\Rightarrow OM=SM.sin30^0=a\)

\(AB=SA\sqrt{2}=4a\Rightarrow BM=\frac{1}{2}AB=2a\)

\(\Rightarrow R=OB=\sqrt{OM^2+BM^2}=a\sqrt{5}\)

\(S_{xq}=\pi Rl=2\pi\sqrt{10}.a^2\)

\(y=\frac{2x+3}{x-2}\Rightarrow y'=\frac{-7}{\left(x-2\right)^2}\)

Tiếp tuyến song song với d nên có hệ số góc \(k=-\frac{1}{7}\)

\(\Rightarrow\frac{-7}{\left(x_0-2\right)^2}=-\frac{1}{7}\Rightarrow\left(x_0-2\right)^2=49\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=9\Rightarrow y_0=3\\x_0=-5\Rightarrow y_0=1\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=-\frac{1}{7}\left(x-9\right)+3\\y=-\frac{1}{7}\left(x+5\right)+1\end{matrix}\right.\)

Chắc MNPQ là hình thoi, ABCD ko liên quan gì ở đây cả.

H là tâm hình thoi \(\Rightarrow\) H là trung điểm MP và NQ

\(SM=SP\Rightarrow\Delta SMP\) cân tại \(S\) \(\Rightarrow SH\perp MP\) (1)

\(SN=SQ\Rightarrow\Delta SNQ\) cân tại S \(\Rightarrow SH\perp NQ\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow SH\perp\left(MNPQ\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SH\perp\left(MNPQ\right)\Rightarrow SH\perp MP\\MP\perp NQ\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MP\perp\left(SNQ\right)\)

I là trung điểm MN, J là trung điểm NP

\(\Rightarrow\) IJ là đường trung bình tam giác MNP \(\Rightarrow IJ//MP\)

Mà \(MP\perp\left(SNQ\right)\Rightarrow IJ\perp\left(SNQ\right)\Rightarrow IJ\perp SQ\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(ABD\right)\perp\left(BCD\right)\\\left(ABC\right)\perp\left(BCD\right)\\\left(ABC\right)\cap\left(ABD\right)=AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(BCD\right)\)

b/ \(AB\perp\left(BCD\right)\Rightarrow AB\perp CD\)

Mà \(BE\perp CD\Rightarrow CD\perp\left(ABE\right)\)

\(CD\in\left(ACD\right)\Rightarrow\left(ACD\right)\perp\left(ABE\right)\)

*/ \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp\left(BCD\right)\Rightarrow AB\perp DF\\DF\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow DF\perp\left(ABC\right)\Rightarrow DF\perp AC\)

Mà \(DK\perp AC\Rightarrow AC\perp\left(DFK\right)\)

\(AC\in\left(ACD\right)\Rightarrow\left(ACD\right)\perp\left(DFK\right)\)

Gọi N là trung điểm AC \(\Rightarrow BN\perp AC\)

\(AM=3MC\Rightarrow AM=\frac{3}{4}AC\Rightarrow M\) là trung điểm CN

Trong mp (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song BN cắt BC tại P \(\Rightarrow\) P là trung điểm BC (đường trung bình) và \(MP\perp AC\)

Trong mp (SAC), qua M kẻ đường thẳng song song SA cắt SC tại Q \(\Rightarrow MQ\perp AC\)

\(\Rightarrow AC\perp\left(MPQ\right)\Rightarrow\) tam giác vuông MPQ là thiết diện của (a) và chóp

\(\frac{MQ}{SA}=\frac{CM}{AC}=\frac{1}{4}\Rightarrow MQ=\frac{SA}{4}=\frac{a}{4}\)

\(BN=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều) \(\Rightarrow MP=\frac{1}{2}BN=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

\(S_{\Delta MNP}=\frac{1}{2}MP.MQ=\frac{a^2\sqrt{3}}{32}\)

Nối MN cắt CB kéo dài tại E

Nối EP kéo dài cắt B'C' tại F

Nối NP cắt A'B' kéo dài tại G

Nối GF kéo dài cắt C'D' tại H và A'D' kéo dài tại K

Nối MK cắt DD' tại Q

Thiết diện là lục giác MNPFHQ (lục giác này 6 cạnh dài bằng nhau và bằng 1 nửa đường chéo các mặt bên)

Đề bài thiếu, chắc phải có thêm dữ kiện \(SO\perp\left(ABCD\right)\), lại ko cho đáy ABCD là hình gì? Chắc là hình vuông?

a/ \(\left\{{}\begin{matrix}SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp AC\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AC\perp\left(SBD\right)\)

Mà \(AC\in\left(SAC\right)\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(SBD\right)\)

b/ Câu này đề sai, I; J là trung điểm AB; CD thì \(BC//IJ\) , làm sao \(BC\perp\left(SIJ\right)\) được, \(BC//\left(SIJ\right)\) còn nghe được.

Đề toàn sai chán ko muốn làm nữa :(

\(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình vuông) (1)

\(SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp AC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AC\perp\left(SBD\right)\)

Mà \(AC\in\left(SAC\right)\Rightarrow\left(SBD\right)\perp\left(SAC\right)\)

b/ Gọi giao điểm của MN và BD là H

\(MN\) là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN//AC\)

\(\Rightarrow MN\perp\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SHO}\) là góc giữa (SMN) và (ABCD)

\(BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=a\sqrt{2}\)

\(OH=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}BD=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

\(SO=\sqrt{SD^2-OD^2}=\sqrt{SD^2-\left(\frac{BD}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SHO}=\frac{SO}{OH}=2\sqrt{3}\)