Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hs \(f(x)=\frac{x^2-3x+1}{2-x}\) là \(x_1,x_2\)

Ta thấy rằng \(f(x)=\frac{u}{v}\Rightarrow f'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}\)

Tại hai điểm cực trị:

\(\left\{\begin{matrix} f'(x_1)=0\Rightarrow \frac{u_1'}{v_1'}=\frac{u_1}{v_1}\\ f'(x_2)=0\Rightarrow \frac{u_2'}{v_2'}=\frac{u_2}{v_2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} f(x_1)=\frac{u_1}{v_1}=\frac{u_1'}{v_1'}=\frac{2x_1-3}{-1}\\ f(x_2)=\frac{u_2}{v_2}=\frac{u_2'}{v_2'}=\frac{2x_2-3}{-1}\end{matrix}\right.\Rightarrow \text{PTĐT}:y=-2x+3\)

Đáp án C.

P.s: Làm như thế này nhưng lạ một điều là \(y'=\frac{-(x-2)^2-1}{(2-x)^2}\) luôn âm với mọi \(x\in\mathbb{R}\mid \left\{2\right\}\), theo lý thì không có cực trị chứ nhỉ ~~~ Chả hiểu sao nữa :|

Lời giải:

\(I=\int ^{e}_{1}\frac{1-\ln x}{x^2}dx=\int ^{e}_{1}\frac{dx}{x^2}-\int ^{e}_{1}\frac{\ln x}{x^2}dx\)

Ta có \(\int ^{e}_{1}\frac{dx}{x^2}=\left.\begin{matrix} e\\ 1\end{matrix}\right|\frac{-1}{x}=\frac{-1}{e}+1\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln x\\ dv=\frac{dx}{x^2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ v=\frac{-1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int ^{e}_{1}\frac{\ln xdx}{x^2}=\frac{-\ln x}{x}+\int ^{e}_{1}\frac{dx}{x^2}=\left.\begin{matrix} e\\ 1\end{matrix}\right|\left ( \frac{-\ln x}{x}-\frac{1}{x} \right )=1-\frac{2}{e}\)

Do đó mà \(I=1-\frac{1}{e}-(1-\frac{2}{e})=\frac{1}{e}\)

Lời giải:

Điều kiện để tồn tại hàm số trên là:

\(\left\{\begin{matrix} 3x+2>0\\ 1-4x^2\geq 0\\ 1-\sqrt{1-4x^2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>\frac{-2}{3}\\ \frac{-1}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}\\ 4x^2>0\end{matrix}\right.\)

Do đó tập xác định là:\(x\in \left [ \frac{-1}{2};\frac{1}{2} \right ]\setminus \left \{ 0 \right \}\)

Mình không biết bạn lấy nguồn ở đâu nhưng thử \(x=\frac{-3}{5}\) là thấy cả 4 đáp án đều sai.

Giữa đồ thị \(y=-x^2+2\) và \(y=\sqrt{1-x^2}\) không có giao điểm chung thì tính diện tích hình giới hạn làm sao được bạn?

Lời giải:

Sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến tại \(x_0\) là:

\(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)

Ta có phương trình hai đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị \(y=x^2-4x+5\) tại \(A,B\) là:\(\left\{\begin{matrix}y=-2x+4\\y=4x-11\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x^2-4x+5-(-2x+4)=x^2-2x+1=(x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

\(x^2-4x+5-(4x-11)=(x-4)^2=0\Leftrightarrow x=4\)

\((-2x+4)-(4x-11)=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\)

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho là:

\(\int ^{4}_{\frac{5}{2}}|(x-4)^2|dx+\int ^{\frac{5}{2}}_{1}|(x-1)^2|dx=\frac{9}{8}+\frac{9}{8}=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow a+b=9+4=13\)

1)

Dễ thấy \(f(x)=\sqrt{2}-\sqrt{x-1}\leq \sqrt{2}\) nên chỉ cần $0<k<\sqrt{2}$ là bất phương trình có nghiệm

2)

Xét \(y=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x+1}; y'=0\Leftrightarrow x=-1\)

Do đó $y_{min}=0$, hàm số không tồn tại max. Với đk $m$ để phương trình có nghiệm thì chỉ cần $m\geq 0$ (PT luôn có nghiệm khi $m$ nằm trong khoảng max, min)