Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

TXĐ: D=R

\(y'=-x^3+4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}y=-\infty\)

BBT:

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(0;2\right)\)

Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-2;0\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\)

Đồ thị bạn tự vẽ

b.

\(x^4-8x^2+m=0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}x^4+2x^2=\dfrac{m}{4}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}x^4+2x^2+\dfrac{9}{4}=\dfrac{m+9}{4}\)

Từ đồ thị ta thấy \(y=\dfrac{m+9}{4}\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\dfrac{9}{4}< \dfrac{m+9}{4}< \dfrac{25}{4}\)

\(\Rightarrow0< m< 16\)

c.

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(-\dfrac{1}{4}x^4+2x^2+\dfrac{9}{4}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=9\\x^2=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Tại \(x=3\Rightarrow y'\left(3\right)=-15\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y=-15\left(x-3\right)\Leftrightarrow y=-15x+45\)

Tại \(x=-3\Rightarrow y'\left(-3\right)=15\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y=15\left(x+3\right)=15x+45\)

Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=-15x+45\\y=15x+45\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
$f(x)=2x^3+6x^2-18x-k$

$f'(x)=6x^2+12x-18=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-3$

Để pt $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt thì:

$f(1)f(-3)<0$

$\Leftrightarrow (-10-k)(54-k)<0$

$\Leftrightarrow (k+10)(k-54)< 0$

$\Leftrightarrow -10< k< 54$

\(f'\left(x\right)=3x^2-m=0\Rightarrow x^2=\dfrac{m}{3}\)

TH1: \(m\le0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R \(\Rightarrow\min\limits_{\left[1;3\right]}f\left(x\right)=f\left(1\right)=19-m\)

\(\Rightarrow19-m\le2\Rightarrow m\ge17\) (ktm)

TH2: \(m\in\left[3;27\right]\)

\(\Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{m}{3}}\in\left[1;3\right]\) là nghiệm lớn hơn \(\Rightarrow\) luôn là điểm cực tiểu

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[1;3\right]}f\left(x\right)=f\left(\sqrt{\dfrac{m}{3}}\right)=\dfrac{m}{3}\sqrt{\dfrac{m}{3}}-m\sqrt{\dfrac{m}{3}}+18=-\dfrac{2m}{3}\sqrt{\dfrac{m}{3}}+18\)

\(\Rightarrow-\dfrac{2m}{3}\sqrt{\dfrac{m}{3}}+18\le2\Rightarrow m\ge12\)

\(\Rightarrow12\le m\le27\)

TH3: \(0< m< 3\Rightarrow\sqrt{\dfrac{m}{3}}< 1\Rightarrow\) hàm đồng biến trên \(\left[1;3\right]\) quay về TH1 (ktm)

TH4: \(m>27\Rightarrow\left[1;3\right]\subset\left(-\sqrt{\dfrac{m}{3}};\sqrt{\dfrac{m}{3}}\right)\Rightarrow\) hàm nghịch biến trên \(\left[1;3\right]\)

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[1;3\right]}f\left(x\right)=f\left(3\right)=45-3m\le2\Rightarrow m\ge\dfrac{43}{3}\)

\(\Rightarrow m>27\)

Vậy \(m\ge12\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{mx+n}{x-1}=m\Rightarrow y=m\) là tiệm cận ngang

Mà tiệm cận ngang đi qua A \(\Rightarrow m=2\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{2x+n}{x-1}\)

Khi đó thay tọa độ I ta được: \(1=\dfrac{2.2+n}{2-1}\Rightarrow n=-3\)

\(\Rightarrow m+n=-1\)