Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 4 lúc 23:31

Gọi số điểm cực trị dương của \(f\left(x\right)\) là k thì số cực trị của \(f\left(\left|x\right|\right)\) là \(2k+1\)

Do đó để \(g\left(x\right)\) có 5 cực trị thì \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm dương

\(\Rightarrow x^2+2mx+5=0\) có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-5>0\\x_1+x_2=-2m>0\\x_1x_2=5>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow m=\left\{-3;-4;-5;...;-9\right\}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
29 tháng 3 lúc 11:57

\(y'=\dfrac{-3}{\left(x-2\right)^2}\)

d. Phương trình hoành độ giao điểm

\(\dfrac{x+1}{x-2}=x-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow2x^2-7x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

Tại \(x=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y'=-\dfrac{3}{4}\\y=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) 

Pttt: \(y=-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}\)

Tại \(x=\dfrac{7}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y'=-\dfrac{4}{3}\\y=3\end{matrix}\right.\) tiếp tuyến: \(y=-\dfrac{4}{3}\left(x-\dfrac{7}{2}\right)+3\)

e.

Tam giác ABC là tam giác nào nhỉ? Có lẽ đó là tam giác OAB?

Bình luận (1)
Nguyễn Việt Lâm
29 tháng 3 lúc 11:59

g.

Giao điểm (C) với Ox có tọa độ \(\left(-1;0\right)\)

\(\Rightarrow y'\left(-1\right)=-\dfrac{1}{3}\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=-\dfrac{1}{3}\left(x+1\right)\)

h.

Giao điểm (C) với Oy có tọa độ \(\left(0;-\dfrac{1}{2}\right)\)

Chính là trường hợp đầu của câu d, phương trình: \(y=-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
29 tháng 3 lúc 13:10

e.

Gọi tọa độ M có dạng: \(M\left(m;\dfrac{m+1}{m-2}\right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại M: \(y=-\dfrac{3}{\left(m-2\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{m+1}{m-2}=-\dfrac{3}{\left(m-2\right)^2}x+\dfrac{m^2+2m-2}{\left(m-2\right)^2}\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{m^2+2m-2}{3};0\right)\) ; \(B\left(0;\dfrac{m^2+2m-2}{\left(m-2\right)^2}\right)\) 

\(\Rightarrow OA=\left|\dfrac{m^2+2m-2}{3}\right|;OB=\left|\dfrac{m^2+2m-2}{\left(m-2\right)^2}\right|\)

\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{3}\Rightarrow OA.OB=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(m^2+2m-2\right)^2}{3\left(m-2\right)^2}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m^2+2m-2}{m-2}=\sqrt{2}\\\dfrac{m^2+2m-2}{m-2}=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)  (1)

Chà, nghiệm quá xấu. Bạn kiểm tra lại đề hoặc nhờ giáo viên kiểm tra lại đề coi \(S_{OAB}=\dfrac{1}{6}\) hay \(\dfrac{1}{3}\) nhé. Số liệu \(S_{OAB}=\dfrac{1}{6}\) sẽ hợp lý hơn, còn số liệu đúng như bài toán thì nhân chéo (1) lên giải pt bậc 2 cũng ra nghiệm thôi nhưng nghiệm cực kì xấu

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 lúc 5:34

Đặt \(log_2x=t\Rightarrow t\ge4\)

Phương trình trở thành: \(\sqrt{t^2-2t-3}=m\left(t-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(t+1\right)\left(t-3\right)}=m\left(t-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{t+1}=m\sqrt{t-3}\)

\(\Leftrightarrow m=\sqrt{\dfrac{t+1}{t-3}}\)

Hàm \(f\left(t\right)=\sqrt{\dfrac{t+1}{t-3}}\) nghịch biến khi \(t\ge4\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\sqrt{\dfrac{t+1}{t-3}}=1\) ; \(f\left(4\right)=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow1< f\left(t\right)\le\sqrt{5}\Rightarrow1< m\le\sqrt{5}\)

Đáp án D

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
1 tháng 3 lúc 18:25

Do \(1\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\le3x\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(y^2+2\le3y\)

Do đó: \(P\ge\dfrac{x+2y}{3x+3y+3}+\dfrac{2x+y}{3x+3y+3}+\dfrac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

\(P\ge\dfrac{x+y}{x+y+1}+\dfrac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

Đặt \(a=x+y-1\Rightarrow1\le a\le3\)

\(\Rightarrow P\ge f\left(a\right)=\dfrac{a+1}{a+2}+\dfrac{1}{4a}\)

\(f'\left(a\right)=\dfrac{3a^2-4a-4}{4a^2\left(a+2\right)^2}=\dfrac{\left(a-2\right)\left(3a+2\right)}{4a^2\left(a+2\right)^2}=0\Rightarrow a=2\)

\(f\left(1\right)=\dfrac{11}{12}\) ; \(f\left(2\right)=\dfrac{7}{8}\) ; \(f\left(3\right)=\dfrac{53}{60}\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\ge\dfrac{7}{8}\Rightarrow P_{min}=\dfrac{7}{8}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)

Bình luận (0)
gãi hộ cái đít
27 tháng 2 lúc 12:38

Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y}\). khi đó gt trở thành:

\(a+b=a^2+b^2-ab\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow o\le a+b\le4\);

\(A=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)=\left(a+b\right)^2\le16\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=2 <=> x=y=1/2

Vậy Max A = 16

Bình luận (0)
Akai Haruma
25 tháng 2 lúc 13:20

Lời giải:

a) Để hàm số có 1 cực đại, 1 cực tiểu thì:

$y'=-3x^2+6x+3(m^2-1)=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow x^2-2x-(m^2-1)=0$ có 2 nghiệm pb

$\Leftrightarrow (x-1-m)(x-1+m)=0$ có 2 nghiệm phân biệt

Điều này xảy ra khi $m+1\neq 1-m\Leftrightarrow m\neq 0$

b) 

Hai cực trị là $x_1=m+1; x_2=1-m$

Tương ứng $y_1=2m^3-2; y_2=-2m^3-2$

Để 2 điểm cực trị cách đều gốc tọa độ

$\Leftrightarrow x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2$$\Leftrightarrow (m+1)^2+(2m^3-2)^2=(1-m)^2+(-2m^3-2)^2$

$\Leftrightarrow 4m-16m^3=0$

$\Rightarrow m=\pm \frac{1}{2}$

 

Bình luận (0)
Hoàng Hải Yến
18 tháng 2 lúc 21:29

Câu này giống câu bên dưới bạn hỏi, bạn tham khảo cách mình làm ạ !

Bình luận (0)
Hoàng Hải Yến
18 tháng 2 lúc 21:27

Em chỉ thử thôi, giáo viên nào đi qua check hộ em với ạ!

\(y'=3-\dfrac{4}{x^3}\)

\(y'=0\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\dfrac{4}{3}}\notin[2;+\infty)\)

\(\Rightarrow y_{min}=f\left(2\right)=3.6+\dfrac{2}{2^2}=\dfrac{13}{2}\)

b/ \(y'=2-\dfrac{2}{x^3}\)

\(y'=0\Leftrightarrow x=1\notin(0;\dfrac{2}{3}]\)

\(f\left(0,4\right)=7,05;f\left(0,5\right)=5\Rightarrow ham-nghich-bien-trong-nua-khoang-(0;\dfrac{2}{3}]\)

\(\Rightarrow y_{min}=f\left(\dfrac{2}{3}\right)=2.\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}=\dfrac{43}{12}\)

c/ \(y=x+\dfrac{1}{x-1}\Rightarrow y'=1-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\)

\(y'=0\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\notin\left(1;+\infty\right)\\x=2\in\left(1;+\infty\right)\end{matrix}\right.\)

\(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}-1}=\dfrac{7}{2};f\left(2\right)=3;f\left(3\right)=\dfrac{7}{2}\)

=> ham nghich bien tren \(\left(1;2\right)\) va dong bien tren \([2;+\infty)\)

\(\Rightarrow y_{min}=f\left(2\right)=3\)

d/ \(y=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{1-x}\Rightarrow y'=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{\left(1-x\right)^2}\)

\(y'=0\Leftrightarrow-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{\left(1-x\right)^2}=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}-1\in\left(0;1\right)\\x=-1-\sqrt{2}\notin\left(0;1\right)\end{matrix}\right.\)

\(f\left(0,2\right)=\dfrac{15}{2};f\left(\sqrt{2}-1\right)=3+2\sqrt{2};f\left(0,5\right)=6\)

=> f(x) nghich bien tren \(\left(0;\sqrt{2}-1\right)\)

dong bien tren \([\sqrt{2}-1;1)\)

\(\Rightarrow y_{min}=f\left(\sqrt{2}-1\right)=3+2\sqrt{2}\)

e/ \(y=\dfrac{x^2+2x+2}{x+1}\Rightarrow y'=\dfrac{\left(x^2+2x+2\right)'\left(x+1\right)-\left(x+1\right)'\left(x^2+2x+2\right)}{\left(x+1\right)^2}\)

\(y'=\dfrac{\left(x+1\right).\left(2x+2\right)-x^2-2x-2}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{2x^2+4x+2-x^2-2x-2}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{x^2+2x}{x^2+2x+1}\)

\(y'=0\Leftrightarrow x^2+2x=0\Leftrightarrow x=0\in\left(-1;+\infty\right)\)

\(f\left(-0,5\right)=\dfrac{5}{2};f\left(0\right)=2;f\left(1\right)=\dfrac{5}{2}\)

=> f(x) nghich bien tren \(\left(-1;0\right)\)

dong bien tren \([0;+\infty)\)

\(\Rightarrow y_{min}=f\left(0\right)=2\)

 

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN