Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

1.

\(y'=6x^2+6\left(m-1\right)x+6\left(m-2\right)=6\left(x+1\right)\left(x+m-2\right)\)

\(y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-m+2\end{matrix}\right.\)

Phương trình nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 3 khi:

\(\left|-1-\left(-m+2\right)\right|>3\)

\(\Leftrightarrow\left|m-3\right|>3\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>6\\m< 0\end{matrix}\right.\)

2.

\(y'=-3x^2+6x+m-1\)

\(\Delta'=9+3\left(m-1\right)>0\Rightarrow m>-2\)

Gọi \(x_1;x_2\) là 1 nghiệm của pt \(-3x^2+6x+m-1=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=\dfrac{-m+1}{3}\end{matrix}\right.\)

Hàm đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1 khi:

\(\left|x_1-x_2\right|>1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2>1\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2>1\)

\(\Leftrightarrow4-\dfrac{-4m+4}{3}>1\)

\(\Rightarrow m>-\dfrac{5}{4}\) \(\Rightarrow m=-1\)

Có đúng 1 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn

3.

\(y'=x^2+6\left(m-1\right)x+9\)

\(\Delta'=9\left(m-1\right)^2-9>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\)

Khi đó theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-6\left(m-1\right)\\x_1x_2=9\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1-x_2\right|=6\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=108\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=108\)

\(\Leftrightarrow36\left(m-1\right)^2-36=108\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-1\end{matrix}\right.\)

Có 1 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn

4.

Bài toán thỏa mãn khi \(\forall x\in\left(3;5\right)\) ta có:

\(y'\ge0\Leftrightarrow x^2-3x+m^2+5m+6\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2+5m+6\ge-x^2+3x\)

\(\Leftrightarrow m^2+5m+6\ge\max\limits_{\left(3;5\right)}\left(-x^2+3x\right)\)

Xét hàm \(g\left(x\right)=-x^2+3x\) trên \(\left(3;5\right)\)

\(g'\left(x\right)=-2x+3< 0\) ; \(\forall x\in\left(3;5\right)\Rightarrow g\left(x\right)\) nghịch biến trên (3;5)

\(\Rightarrow g\left(x\right)< g\left(3\right)=0\)

\(\Rightarrow m^2+5m+6\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge-2\\m\le-3\end{matrix}\right.\) (B)

31.

\(y'=\dfrac{1+m}{\left(x+1\right)^2}\)

Hàm đồng biến trên các khoảng xác định khi:

\(\dfrac{1+m}{\left(x+1\right)^2}>0\Rightarrow m>-1\) (C)

32.

\(y'=\dfrac{4-m^2}{\left(x+4\right)^2}\)

Hàm đồng biến trên các khoảng xác định khi:

\(4-m^2>0\Rightarrow-2< m< 2\)

\(\Rightarrow m=\left\{-1;0;1\right\}\)

Có 3 giá trị nguyên của m

33.

\(y'=\dfrac{m-1}{\left(x+1\right)^2}\)

Hàm đồng biến trên từng khoảng xác định khi:

\(m-1>0\Rightarrow m>1\)

34.

\(y'=\dfrac{2m-1}{\left(x+2m\right)^2}\)

Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m-1>0\\-2m>-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}< m< \dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow m=1\)

Có 1 giá trị nguyên của m

35.

\(y'=4x^3-4mx\ge0\) ; \(\forall x\in\left(1;2\right)\)

\(\Rightarrow4x^3\ge4mx\)

\(\Rightarrow m\le x^2\)

\(\Rightarrow m\le\min\limits_{\left(1;2\right)}\left(x^2\right)=1\)

Vậy \(m\le1\)

Kếp hợp \(m>-2019\Rightarrow-2018\le m\le1\)

Có \(1-\left(-2018\right)+1=2020\) giá trị nguyên của m

Em chỉ cần đáp án hay cần giải luôn nhỉ?

Đề chụp bị mất 2 bên rồi em, thiếu dữ kiện

Công thức tính nhanh phương trình đường thẳng qua 2 cực trị của hàm bậc 3 dạng: \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) là: \(y=\left(\dfrac{2c}{3}-\dfrac{2b^2}{9a}\right)x+\left(d-\dfrac{bc}{9a}\right)\)

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ (2 cực trị thẳng hàng O) khi tung độ gốc bằng 0

\(\Rightarrow d-\dfrac{bc}{9a}=0\)

Áp dụng cho bài này: 

\(3-\dfrac{\left(-2\right).m}{9.\dfrac{1}{3}}=0\Rightarrow-2m=9\Rightarrow m=-\dfrac{9}{2}\in\left(-5;-3\right)\)

C

Chọn C

TXĐ: \(D=R\)

\(y'=\dfrac{-x^2+2x+2}{\left(x^2-2x+4\right)^2}=0\Rightarrow x=1\pm\sqrt{3}\)

Dấu của y' trên trục số:

Hàm đồng biến trên \(\left(1-\sqrt{3};1+\sqrt{3}\right)\)

Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;1-\sqrt{3}\right)\) và \(\left(1+\sqrt{3};+\infty\right)\)

Đề là gì bn nhỉ

a. \(y'=x^2+4x-1\)

b. \(y'=-4x^3+4x\)

c. \(y'=\dfrac{\left(2x+3\right)\left(x-2\right)-\left(x^2+3x-1\right)}{\left(x-2\right)^2}=\dfrac{x^2-4x-5}{\left(x-2\right)^2}\)

d. \(y'=\dfrac{-\left(2x+3\right)-2\left(-x+1\right)}{\left(2x+3\right)^2}=\dfrac{-5}{\left(2x+3\right)^2}\)

e. \(y'=\dfrac{\left(x^2+3\right)'}{2\sqrt{x^2+3}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}\)

f. \(y'=6cos3x+2tanx.\left(tanx\right)'=6cos3x+\dfrac{2tanx}{cos^2x}\)

\(y'=4x\left(x^2-4\right)\left(1-2x\right)^3-6\left(1-2x\right)^2\left(x^2-4\right)^2\)

\(=2\left(x^2-4\right)\left(1-2x\right)^2\left[2x\left(1-2x\right)-3\left(x^2-4\right)\right]\)

\(=2\left(x^2-4\right)\left(1-2x\right)^2\left(-7x^2+2x+12\right)\)

\(y'=0\) có 4 nghiệm bội lẻ \(\Rightarrow\) hàm có 4 cực trị