Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

\(\left[f\left(x\right)-4x\right].f\left(x\right)=9x^4+2x^2+1\)

\(\Leftrightarrow f^2\left(x\right)-4x.f\left(x\right)+4x^2=9x^4+6x^2+1\)

\(\Leftrightarrow\left[f\left(x\right)-2x\right]^2=\left(3x^2+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(x\right)-2x=3x^2+1\\f\left(x\right)-2x=-3x^2-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(x\right)=3x^2+2x+1\left(ktm\right)\\f\left(x\right)=-3x^2+2x-1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\) (so với điều kiện \(f\left(0\right)< 0\))

\(\Rightarrow g\left(x\right)=-3x^2+2x-1+4x+2020=-3x^2+6x+2019\)

Hàm đồng biến trên \(\left(-\infty;1\right)\)

\(4f\left(cosx\right)+5=0\Rightarrow f\left(cosx\right)=-\dfrac{5}{4}\) (1)

Từ đồ thị ta thấy (1) có 4 nghiệm, trong đó có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}cosx=t_1\\cosx=t_2\end{matrix}\right.\) trong đó \(\left\{{}\begin{matrix}t_1\in\left(-1;0\right)\\t_2\in\left(0;1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow cosx=t_1\) có 3 nghiệm thuộc \(\left[-\pi;2\pi\right]\) và \(cosx=t_2\) cũng có 3 nghiệm thuộc \(\left[-\pi;2\pi\right]\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có 6 nghiệm trên đoạn đã cho

a. Để hàm số đã cho có một cực trị thì -m(2m-1)>0 \(\Rightarrow\) 0<m<1/2.

b. Để hàm số đã cho có ba cực trị thì -m(2m-1)<0 \(\Rightarrow\) m<0 hoặc m>1/2.

c. Để hàm số đã cho có một cực trị là cực đại thì m<0 và -(2m-1)<0, suy ra không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu của bài toán.

a. Đề bài em ghi sai thì phải

Vì:

\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)

b.

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)

Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R

Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm

\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)

\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)

Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn  có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb

\(y'=4x^3=0\Rightarrow x=0\)

Hàm luôn có đúng 1 cực trị với mọi m

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-1+1}{1-x}=-\left(x+1\right)-\dfrac{1}{x-1}\)

Sau 2 lần đạo hàm thì \(-\left(x+1\right)\) sẽ về 0 nên ta có:

\(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\dfrac{\left(-1\right)^{n+1}.n!}{\left(x-1\right)^{n+1}}\) với \(n\ge3\)

\(y'=x^2-2mx+m^2-1=\left(x-m\right)^2-1=\left(x-m+1\right)\left(x-m-1\right)\)

\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=m-1\\x=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y\left(m-1\right)+y\left(m+1\right)< 2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m-1\right)^3}{3}-m\left(m-1\right)^2+\left(m-1\right)\left(m^2-1\right)+1+\dfrac{\left(m+1\right)^3}{3}-m\left(m+1\right)^2+\left(m+1\right)\left(m^2-1\right)\le2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m}{3}\left(m^2-3\right)< 0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -\sqrt{3}\\0< m< \sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Có 23 giá trị (ko đáp án nào đúng?)