Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - Hỏi đáp

Ý bạn là tìm m để \(x_A+x_B=1\)? Đây là 1 bài Viet của lớp 9 mà.

Pt hoành độ giao điểm: \(-x+m=\dfrac{x-1}{x}\Leftrightarrow x^2-\left(m-1\right)x-1=0\)(1)

\(\Delta=\left(m-1\right)^2+4>0\Rightarrow\) d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là nghiệm của (1)

Theo Viet: \(x_A+x_B=m-1=1\Rightarrow m=2\)

\(2cos3x\left(2-4sin^2x+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow2cos3x\left(3-4sin^2x\right)=1\)

Nhận thấy \(sinx=0\Leftrightarrow x=k\pi\) không phải nghiệm, nhân 2 vế của pt với \(sinx:\)

\(2cos3x\left(3sinx-4sin^3x\right)=sinx\)

\(\Leftrightarrow2cos3x.sin3x=sinx\)

\(\Leftrightarrow sin6x=sinx\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}6x=x+k2\pi\\6x=\pi-x+l2\pi\end{matrix}\right.\) (chú ý \(x\ne m.\pi\))

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{k2\pi}{5}\\x=\dfrac{\pi}{7}+\dfrac{l2\pi}{7}\end{matrix}\right.\) ; \(x\ne m.\pi\)

Xét trên \(\left[-4\pi;6\pi\right]\): \(\left\{{}\begin{matrix}-4\pi\le\dfrac{k2\pi}{5}\le6\pi\\-4\pi\le\dfrac{\pi+l2\pi}{7}\le6\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-10\pi\le k\le15\pi\\-13\le l\le20\pi\end{matrix}\right.\)

Vậy tổng các nghiệm:

\(S=\pi\left(\sum\limits^{15}_{k=-10}\dfrac{2k}{5}+\sum\limits^{20}_{l=-13}\dfrac{2l+1}{7}-\sum\limits^6_{m=-4}m\right)=\dfrac{377.\pi}{7}\)

Đặt \(cotx=t\Rightarrow\) khi x chạy từ \(\dfrac{\pi}{4}\rightarrow\dfrac{\pi}{2}\) thì \(t\) chạy từ 1 về 0

Do đó, nếu \(f\left(x\right)\) đồng biến thì \(f\left(t\right)=\dfrac{2t+1}{t+m}\) nghịch biến trên \(\left(0;1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-1< 0\\\left[{}\begin{matrix}-m< 0\\-m>1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}0< m< \dfrac{1}{2}\\m< -1\end{matrix}\right.\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow\pm3}\dfrac{x+2}{\sqrt{9-x^2}}=\infty\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\x=-3\end{matrix}\right.\) là 2 TCĐ

Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Tiếp tuyến \(y=kx+b\) qua 1 điểm \(A\left(x_0;y_0\right)\) bất kì thuộc (C) có hệ số góc

\(k=f'\left(x_0\right)=3x_0^2-6x_0\)

Để tiếp tuyến song song với \(y=9x-25\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}k=9\\b\ne-25\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_0^2-6x_0=9\\x_0^3-3x_0^2+2\ne25\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\x_0=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) có 2 tiếp tuyến thỏa mãn

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x+m=\dfrac{2x}{x+1}\Leftrightarrow\left(x+m\right)\left(x+1\right)-2x=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(m-1\right)x+m=0\)

\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4m=m^2-6m+1>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 3-2\sqrt{2}\\m>3+2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Phương trình đã cho tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2\ge0\\2x^2+mx+3=\left(x+2\right)^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\x^2+\left(m-4\right)x-1=0\end{matrix}\right.\)

Do \(a.c=1.\left(-1\right)=-1< 0\Rightarrow\) pt đã cho luôn có hai nghiệm \(x_1;x_2\). Ta tìm điều kiện m để \(-2\le x_1< x_2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1.f\left(-2\right)\ge0\\\dfrac{S}{2}=\dfrac{4-m}{2}>-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-2\left(m-4\right)-1\ge0\\\dfrac{8-m}{2}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le\dfrac{11}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=11\\b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-b^3=121-8=113\)

1/ \(y=x^3+3x^2+mx+m-2\)

\(y'=3x^2+6x+m\)

Chia đa thức \(y\) cho \(y'\) được phần dư là \(\left(\dfrac{2m}{3}-2\right)x+\dfrac{2m}{3}-2\)

\(\Rightarrow\)Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua 2 cực trị có dạng:

\(y=\left(\dfrac{2m}{3}-2\right)x+\dfrac{2m}{3}-2\)

Gọi A là giao điểm của \(d\) với \(Ox\Rightarrow A\left(-1;0\right)\)

Đồ thị hàm số có 2 cực trị B, C nằm về 2 phía trục hoành khi và chỉ khi A nằm giữa B và C

\(\Rightarrow x_B< -1< x_C\) với \(x_B;x_C\) là nghiệm của pt \(f\left(x\right)=3x^2+6x+m=0\)

\(\Rightarrow3.f\left(-1\right)< 0\Leftrightarrow3\left(3-6+m\right)< 0\Rightarrow m< 3\)

Vậy với \(m< 3\) thì đồ thị hs có 2 cực trị nằm về 2 phía trục hoành

2/

\(y=x^3+3mx^2+m+1\Rightarrow y'=3x^2+6mx\)

Để hàm số có 2 cực trị \(\Rightarrow m\ne0\)

Chia đa thức \(y\) cho \(y'\) được phân dư \(-2m^2x+m+1\)

\(\Rightarrow\) phương trình đường thẳng \(d\) qua 2 cực trị có dạng:

\(y=-2m^2x+m+1\)

Để \(d\) song song đường thẳng \(y=-x+2017\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2m^2=-1\\m+1\ne2017\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)