Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - Hỏi đáp

\(x\ne1\)

X\(\ne\)1

\(x^3+x^2+x=m\left(x^2+1\right)^2\Leftrightarrow\dfrac{x^3+x^2+x}{\left(x^2+1\right)^2}=m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{x^3+x^2+x}{\left(x^2+1\right)^2}\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{\left(3x^2+2x+1\right)\left(x^2+1\right)^2-4x\left(x^2+1\right)\left(x^3+x^2+x\right)}{\left(x^2+1\right)^4}\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{\left(x^2+1\right)\left(3x^2+2x+1\right)-4x\left(x^3+x^2+x\right)}{\left(x^2+1\right)^3}\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{-x^4-2x^3+2x+1}{\left(x^2+1\right)^3}=\dfrac{\left(1-x\right)\left(x+1\right)^3}{\left(x^2+1\right)^3}\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 2 cực trị

\(\Rightarrow\) Đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) tại tối đa 3 điểm hay phương trình \(f\left(x\right)=m\) có tối đa 3 nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow\) Không tồn tại m để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

đặt t = \(\sqrt{-x^2+2x+15}\) ( đk t >= 0 )

xét hàm f(t) = t^2 - 4t -28 

....tự làm ... 

Đặt \(\left|sinx-cosx\right|=t\) (\(0\le t\le\sqrt{2}\)) \(\Rightarrow1-2sinx.cosx=t^2\Rightarrow sin2x=1-t^2\)

Pt trở thành:

\(t+1-t^2=m\Leftrightarrow f\left(t\right)=-t^2+t+1=m\)

\(f'\left(t\right)=-2t+1=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(0\right)=1;f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{4};f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}-1\le f\left(t\right)\le\dfrac{5}{4}\Rightarrow\sqrt{2}-1\le m\le\dfrac{5}{4}\)

Vậy pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\sqrt{2}-1\le m\le\dfrac{5}{4}\)

0

hs có 3 cực trị tạo thành đỉnh của một tam giác đều là

ta có b\(^3\)+24a=0

\(m=0\) hàm số không xác định

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+1}{\sqrt{m^2x^2+m-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{m^2+\dfrac{m-1}{x^2}}}=\dfrac{-1}{\left|m\right|}\)

\(\)\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x+1}{\sqrt{m^2x^2+m-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{m^2-\dfrac{m-1}{x^2}}}=\dfrac{1}{\left|m\right|}\)

\(\Rightarrow\) đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang

Để đồ thị hàm số có 4 tiệm cận thì cần có thêm 2 tiệm cận đứng

\(\Rightarrow m^2x^2+m-1=0\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow x^2=\dfrac{1-m}{m^2}\) . Do \(x^2>0\Rightarrow1-m>0\Rightarrow m< 1\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m\ne0\end{matrix}\right.\) thì đồ thị hàm số có 4 tiệm cận

Hàm trùng phương \(y=ax^4+bx^2+c\) có hệ số \(a>0\) đạt cực tiểu tại \(x=0\) khi và chỉ khi \(a.b\ge0\)

\(\Rightarrow1.\left(-2\left(m+1\right)\right)\ge0\Rightarrow m+1\le0\Rightarrow m\le-1\)

Để đồ thị hàm trùng phương \(y=ax^4+bx^2+c\) có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân thì các hệ số a, b, c cần thỏa điều kiện:

\(\left\{{}\begin{matrix}a.b< 0\\b^3=-8a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m< 0\\\left(2m\right)^3=-8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-1\)