Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - Hỏi đáp

Xét \(y=8x^4+ax^2+b\Rightarrow y'=32x^3+2ax\)

\(y'=0\Rightarrow2x\left(16x^2+a\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2=-\frac{a}{16}\end{matrix}\right.\)

- Nếu \(a>0\Rightarrow y'=0\) có đúng 1 nghiệm \(x=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{max}=f\left(-1\right)=f\left(1\right)=\left|a+b+8\right|=1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=-7\\a+b=-9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-7-a< 0\\b=-9-a< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\b< 0\end{matrix}\right.\)

Đáp án A đúng luôn, ko cần xét \(a< 0\) nữa

Đặt \(\sqrt{x^2-2x+3}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+2}=t\ge\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow2x-x^2=3-t^2\)

\(\Rightarrow y=-t^2+4t+3=-\left(t-2\right)^2+7\le7\)

\(y_{max}=7\) khi \(t=2\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x+3}=2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-1=0\Rightarrow x_1x_2=-1\)

\(y'=\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2\sqrt{x+\frac{1}{x}}}=0\Rightarrow x=1\)

\(f\left(1\right)=\sqrt{2}\Rightarrow y_{min}=\sqrt{2}\)

2.

\(y'=1+\left(m+1\right)cosx\le0;\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)cosx\le-1\) ; \(\forall x\in R\)

- Với \(m=-1\) không thỏa mãn

- Với \(m>-1\Leftrightarrow cosx\le-\frac{1}{m+1}\)

\(\Rightarrow-\frac{1}{m+1}\ge1\Leftrightarrow m+1\le-1\Rightarrow m\le-2\) (ktm)

- Với \(m< -1\Leftrightarrow cosx\ge-\frac{1}{m+1}\Rightarrow-\frac{1}{m+1}\le-1\)

\(\Leftrightarrow m+1\ge1\Rightarrow m\ge0\) (ktm)

Vậy không tồn tại m để hàm đồng biến trên TXĐ

1.

\(y'=\left(2m+3\right)cosx+2-m\ge0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+3\right)cosx\ge m-2\)

- Với \(m=-\frac{3}{2}\) thỏa mãn

- Với \(m>-\frac{3}{2}\Rightarrow cosx\ge\frac{m-2}{2m+3}\)

\(\Rightarrow\frac{m-2}{2m+3}\le\min\limits_Rcosx=-1\) \(\Leftrightarrow3m\le-1\Rightarrow m\le-\frac{1}{3}\Rightarrow-\frac{3}{2}< m\le-\frac{1}{3}\)

- Với \(m< -\frac{3}{2}\Rightarrow cosx\le\frac{m-2}{2m+3}\Rightarrow\frac{m-2}{2m+3}\ge\max\limits_Rcosx=1\)

\(\Leftrightarrow m-2\le2m+3\Rightarrow m\ge-5\)

Kết hợp lai ta được \(-5\le m\le-\frac{1}{3}\)

ĐKXĐ: \(1\le x\le3\)

Đặt \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=a\Rightarrow\sqrt{2}\le a\le2\)

\(a^2=2+2\sqrt{4x-x^2-3}\Rightarrow\sqrt{4x-x^2-3}=\frac{a^2-2}{2}\)

Pt trở thành: \(a-\frac{a^2-2}{2}=m\) có nghiệm

\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}a^2+a+1=m\) có nghiệm

Xét \(f\left(a\right)=-\frac{1}{2}a^2+a+1\) trên \(\left[\sqrt{2};2\right]\)

\(f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\) ; \(f\left(2\right)=1\Rightarrow1\le f\left(a\right)\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow1\le m\le\sqrt{2}\)

- Với \(a=b=0\) thỏa mãn

- Với \(a=0;b\ne0\) hàm bậc 3 ko tồn tại min max (ko thỏa mãn)

- Với \(a< 0\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow\) ko tồn tại min f(x) (loại)

\(\Rightarrow a>0\)

\(f\left(0\right)=-3\Rightarrow\) để hàm thỏa mãn yêu cầu thì \(f\left(x\right)\ge-3;\forall x\ne0\)

\(\Leftrightarrow ax^4+bx^3+x^2\ge0\Leftrightarrow x^2\left(ax^2+bx+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ax^2+bx+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Delta=b^2-4a\le0\Leftrightarrow b^2\le4a\)

- Với \(a=1\Rightarrow-2\le b\le2\) có 5 cặp

- Với \(a=2\Rightarrow-2\le b\le2\) có 5 cặp

- Với \(a=3\Rightarrow-3\le b\le3\) có 7 cặp

- Với \(a=4\Rightarrow-4\le b\le4\) có 9 cặp

Vậy tổng cộng có 27 cặp a;b thỏa mãn

\(y'=-\frac{4}{x^3}+\frac{1}{2\left(x-1\right)^2}=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-8\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-8x^2+16x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-6x+4\right)=0\)

\(\Rightarrow x=3-\sqrt{5}\)

\(f\left(x\right)_{min}=f\left(3-\sqrt{5}\right)=\frac{11+5\sqrt{5}}{4}\)

ĐKXĐ: \(0\le x\le64\)

\(y'=\frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}}-\frac{1}{6}\left(64-x\right)^{-\frac{5}{6}}=0\)

\(\Leftrightarrow x^{-\frac{5}{6}}=\left(64-x\right)^{-\frac{5}{6}}\Leftrightarrow x=64-x\Leftrightarrow x=32\)

\(y\left(0\right)=2\) ; \(y\left(32\right)=2\sqrt[6]{32}\) ; \(y\left(64\right)=2\)

\(\Rightarrow y_{min}=2\)

\(y'=\frac{x^2-2x+m}{\left(x-1\right)^2}\)

Để (C) cắt Ox tại 2 điểm pb \(\Leftrightarrow x^2-2mx+m=0\) có 2 nghiệm pb khác 1

\(\Leftrightarrow m^2-m>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\)

Gọi hoành độ 2 giao điểm là a và b \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2m\\ab=m\end{matrix}\right.\)

Do tiếp tuyến tại 2 điểm vuông góc nhau

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2-2a+m\right)}{\left(a-1\right)^2}=-\frac{\left(b-1\right)^2}{b^2-2b+m}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+m\right)\left(b^2-2b+m\right)=-\left(a-1\right)^2\left(b-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2-2ab\left(a+b\right)+m\left(a^2+b^2\right)+4ab-2m\left(a+b\right)+m^2=-\left(ab-a-b+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4m^3-8m^2+4m=-\left(m-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4m\left(m-1\right)^2+\left(m-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(l\right)\\m=-\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

\(y'=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{x+1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}=0\Rightarrow x=-1\)

\(y_{min}=y\left(-1\right)=-\sqrt{2}\)

\(y=2017x+x\sqrt{2019-x^2}\)

\(y'=2017+\sqrt{2019-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{2019-x^2}}\)

Xét pt \(y'=0\)

Đặt \(\sqrt{2019-x^2}=t>0\Rightarrow x^2=2019-t^2\)

\(\Rightarrow2017+t-\frac{2019-t^2}{t}=0\)

\(\Leftrightarrow2t^2+2017t-2019=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-\frac{2019}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{2019-x^2}=t\Rightarrow x=\pm\sqrt{2018}\)

\(y\left(-\sqrt{2019}\right)=-2017\sqrt{2019}\) ; \(y\left(\sqrt{2019}\right)=2017\sqrt{2019}\)

\(y\left(-\sqrt{2018}\right)=-2018\sqrt{2018}\) ; \(y\left(\sqrt{2018}\right)=2018\sqrt{2018}\)

So sánh 4 giá trị trên ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}M=2018\sqrt{2018}\\m=-2018\sqrt{2018}\end{matrix}\right.\)

4.

\(xy+y=2\Leftrightarrow xy=2-y\Rightarrow x=\frac{2-y}{y}=\frac{2}{y}-1\)

\(\Rightarrow P=x+y^2=y^2+\frac{2}{y}-1\)

\(\Rightarrow P=y^2+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}-1\ge3\sqrt[3]{\frac{y^2}{y.y}}-1=2\)

\(\Rightarrow P_{min}=2\) khi \(x=y=1\)

3.

\(y'=\frac{m-6}{\left(x-3\right)^2}\)

Hàm đã cho xác định liên tục trên \(\left[0;2\right]\)

Hàm bậc nhất trên bậc nhất nên đơn điệu trên mọi khoảng xác định

- Nếu \(m>6\Rightarrow\) hàm đồng biến

\(\Rightarrow y_{max}=y\left(2\right)=\frac{4-m}{-1}=3\Rightarrow m=7\) (thỏa mãn)

- Nếu \(m< 6\Rightarrow\) hàm nghịch biến

\(\Rightarrow y_{max}=y\left(0\right)=\frac{m}{3}=3\Rightarrow m=9>6\left(ktm\right)\)

- Nếu \(m=6\Rightarrow y=2\) ; \(\forall x\Rightarrow y_{max}=2\ne3\left(ktm\right)\)

Vậy \(m=7\)

1.

\(y'=3x^2-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

\(y\left(0\right)=5;\) \(y\left(1\right)=3;\) \(y\left(2\right)=7\)

\(\Rightarrow y_{min}=3\)

2.

\(y'=4x^3-8x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(f\left(-2\right)=-3\) ; \(y\left(0\right)=-3\) ; \(y\left(-\sqrt{2}\right)=-7\) ; \(y\left(1\right)=-6\)

\(\Rightarrow y_{max}=-3\)

3.

\(y'=\frac{\left(2x+3\right)\left(x-1\right)-x^2-3x}{\left(x-1\right)^2}=\frac{x^2-2x-3}{\left(x-1\right)^2}=0\Rightarrow x=-1\)

\(y_{max}=y\left(-1\right)=1\)

4.

\(y'=\frac{2\left(x^2+2\right)-2x\left(2x+1\right)}{\left(x^2+2\right)^2}=\frac{-2x^2-2x+4}{\left(x^2+2\right)^2}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(y\left(1\right)=1\) ; \(y\left(-2\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_{min}+y_{max}=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\)

3.

- Với \(m=1\Rightarrow f\left(x\right)=-9x\) nghịch biến trên R (ko thỏa mãn)

- Với \(m=-1\Rightarrow f\left(x\right)=9x\) đồng biến trên R (thỏa mãn)

- Với \(m\ne\pm1\)

\(f'\left(x\right)=6\left(m^2-1\right)x^2-9m\ge0;\forall x>1\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\m\left(m^2-1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -1\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\m\left(m^2-1\right)>0\\x_1< x_2\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\m\left(m^2-1\right)>0\\\sqrt{\frac{3m}{2\left(m^2-1\right)}}\le1\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\3m\le2m^2-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\2m^2-3m-2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m\ge2\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\m\ge2\end{matrix}\right.\)

2.

\(\Leftrightarrow y'=2m-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+11}}\ge0;\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow2m\ge\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+11}}\)

\(\Leftrightarrow m\ge\frac{x+1}{2\sqrt{x^2+2x+11}}\)

\(\Leftrightarrow m\ge\max\limits_Rf\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{2\sqrt{x^2+2x+11}}\)

Ta có: \(f'\left(x\right)=\frac{5}{\sqrt{\left(x^2+2x+11\right)^3}}>0;\forall x\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+1}{2\sqrt{x^2+2x+11}}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)< \frac{1}{2};\forall x\in R\)

\(\Rightarrow m\ge\frac{1}{2}\)