Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - Hỏi đáp

Câu 1:

\(y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-m\ge0\) \(\forall x\) \(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\ge m\) \(\forall x\)

Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\Rightarrow m\le\min\limits_{x\in R}f\left(x\right)\)

\(f'\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}>0\) \(\forall x\in R\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R

Xét \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)>-1\) \(\forall x\Rightarrow\) để hàm số đã cho đồng biến trên R thì \(m\le-1\)

Câu 2:

\(y'=m+\left(m+1\right)sinx\ge0\) \(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow m\left(1+sinx\right)\ge-sinx\) \(\Leftrightarrow m\ge\frac{-sinx}{1+sinx}\) \(\forall x\in R\)

Đặt \(f\left(t\right)=\frac{-t}{1+t}\Rightarrow m\ge\max\limits_{t\in\left[-1;1\right]}f\left(t\right)\)

\(f'\left(t\right)=\frac{-1}{\left(t+1\right)^2}< 0\Rightarrow f\left(t\right)\) nghịch biến trên \(\left[-1;1\right]\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow-1}\frac{-t}{1+t}=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại \(\max\limits_{t\in\left[-1;1\right]}f\left(t\right)\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

Đáp án B là đáp án đúng:

Đặt \(h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\Rightarrow h'\left(x\right)=\frac{f'\left(x\right).g\left(x\right)-g'\left(x\right).f\left(x\right)}{g^2\left(x\right)}\)

\(f'\left(x\right)>0;g\left(x\right)>0\Rightarrow f'\left(x\right).g\left(x\right)>0\)

\(g'\left(x\right)< 0;f\left(x\right)>0\Rightarrow g'\left(x\right).f\left(x\right)< 0\Rightarrow-g'\left(x\right).f\left(x\right)>0\)

\(\Rightarrow h'\left(x\right)>0\Rightarrow h\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(a;b\right)\)

\(y'=3\left(m-1\right)x^2+6mx+4m+4\)

Để hàm số đã cho đồng biến trên R \(\Leftrightarrow y'\ge0\) \(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(m-1\right)>0\\\Delta'=\left(3m\right)^2-3\left(m-1\right)\left(4m+4\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\-3m^2+12\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge2\)

\(\Rightarrow m=\left\{2;3;4...2019\right\}\Rightarrow\) có \(2019-2+1=2018\) giá trị nguyên

Lời giải:
\(\frac{3x^3f(x)}{f'(x)^2+xf'(x)+x^2}=f'(x)-x\)

\(\Rightarrow 3x^3f(x)=[f'(x)-x][f'(x)^2+xf'(x)+x^2]=f'(x)^3-x^3\)

\(\Rightarrow 3f(x)=\left(\frac{f'(x)}{x}\right)^3-1\)

Đặt \(\frac{f'(x)}{x}=g(x)\Rightarrow f'(x)=xg(x)(1)\) .

Vì \(f(1)=\frac{7}{3}\Rightarrow f'(1)=2\Rightarrow g(1)=2\)

Ta có: \(3f(x)=g(x)^3-1\)

\(\Rightarrow 3f'(x)=3g'(x)g(x)^2\)

\(\Rightarrow f'(x)=g'(x)g(x)^2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow xg(x)=g'(x)g(x)^2\)

\(\Rightarrow x=g'(x)g(x)=\frac{1}{2}[g(x)^2]'\) \(\Rightarrow 2x=[g(x)^2]'\Rightarrow g(x)^2=\int 2xdx=x^2+c\)

Kết hợp với $g(1)=2$ suy ra $c=3$

Vậy \(g(x)^2=x^2+3\Rightarrow f(x)=\frac{g(x)^3-1}{3}=\frac{(x^2+3)^{\frac{3}{2}}-1}{3}\)

\(\Rightarrow f(2)=\frac{\sqrt{343}-1}{3}\)

Đặt \(x+y=t,t\in\left[-2;2\right]\)

Biến đổi được \(P=-2t^3+6t\)

Xét \(f\left(t\right)=-2t^3+6t\) trên \(\left[-2;2\right]\)

Lập bảng biến thiên

Ta có \(P_{Max}=4\) khi t=1

          \(P_{Min}=-4\) khi t= -1

\(g'\left(x\right)=\left(2x-8\right)f'\left(x^2-8x+m\right)\)

Ta không cần quan tâm tới nhân tử \(\left(x-1\right)^2\) ở \(f'\left(x\right)\) vì đó là biểu thức mũ chẵn nên ko làm \(f'\left(x\right)\) đổi dấu khi đi qua \(x=1\)

\(g'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-8=0\Rightarrow x=4\\\left(x^2-8x+m\right)^2-2\left(x^2-8x+m\right)=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left(4;+\infty\right)\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm hoặc tất cả các nghiệm của (1) đều không lớn hơn 4

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x^2-8x+m\right)\left(x^2-8x+m-2\right)=0\)

TH1: \(16-m+2\le0\Rightarrow m\ge18\)

TH2: Nhận thấy 2 pt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-8x+m=0\\x^2-8x+m-2=0\end{matrix}\right.\)

Đều có trung bình cộng hai nghiệm \(\frac{x_1+x_2}{2}=4\Rightarrow\) nếu 2 pt này có nghiệm thì luôn có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn 4 \(\Rightarrow\) ko thỏa mãn

Vậy \(m\ge18\) \(\Rightarrow\) có \(99-18+1=82\) giá trị nguyên của m

\(g'\left(x\right)=-f'\left(3-x\right)=\left(x-3\right)\left(2-x\right)^2\left(\left(3-x\right)^2+9\left(3-x\right)+9\right)\)

Không cần quan tâm tới \(\left(2-x\right)^2\) do \(g'\left(x\right)\) ko đổi dấu khi đi qua điểm dừng này

\(g'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\\left(3-x\right)^2+m\left(3-x\right)+9=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Để \(g\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right)\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm hoặc các nghiệm của (1) đều không lớn hơn 3

\(\left(1\right)\Leftrightarrow h\left(x\right)=x^2-\left(m+6\right)x+3m+18=0\)

\(\Delta=m^2-36\)

TH1: \(\Delta< 0\Rightarrow m^2-36< 0\Rightarrow-6< m< 6\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\h\left(3\right)>0\\\frac{m+6}{2}< 3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge6\\m\le-6\end{matrix}\right.\\9>0\\m< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le-6\)

Vậy \(m< 6\) thì \(g\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right)\Rightarrow\) có 5 giá trị nguyên dương

A

Không có bảng biến thiên luôn, bạn tự kẻ bảng dựa vào phân tích vậy :D

- Với \(x^2-4x+3\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le1\\x\ge3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-4x+3+2x+3=x^2-2x+6\)

\(f'\left(x\right)=2x-2=0\Rightarrow x=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \((3;+\infty)\) và nghịch biến trên \((-\infty;1)\)

- Với \(x^2-4x+3\le0\Rightarrow1\le x\le3\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=-x^2+4x-3+2x-3=-x^2+6x\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=-2x+6=0\Rightarrow x=3\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)\ge0\) \(\forall x\in\left[1;3\right]\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(1;3\right)\)

Kết hợp lại ta có:

\(f\left(x\right)\) nghịch trên \(\left(-\infty;1\right)\); đồng biến trên \(\left(1;+\infty\right)\)

\(x=1\) là điểm cực tiểu của hàm số

\(x=3\) là điểm dừng nhưng ko phải điểm cực trị

\(y'=-x^2+2mx+3m+2\)

Để hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:

\(\Delta'=m^2+3m+2\le0\Rightarrow-2\le m\le-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a-3b=1\)

\(y'=-x^2+2mx+3m+2\)

Để hàm số nghịch biến trên R \(\Rightarrow y'\le0\) \(\forall x\in R\)

\(\Rightarrow\Delta'\le0\Leftrightarrow m^2+3m+2\le0\Rightarrow-2\le m\le-1\)

Do bậc tử số không lớn hơn bậc mẫu số nên đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận đứng

\(\Rightarrow\) Để đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận thì chỉ có đúng 1 tiệm cận ngang

\(\Rightarrow\) Tử số và mẫu số có đúng một nghiệm chung

Dễ dàng nhận ra \(x^2-3x+2=0\) có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

- Nếu tử số có 1 nghiệm \(x=1\Rightarrow m-1=0\Rightarrow m=1\)

- Nếu tử số có nghiệm \(x=2\Rightarrow4m-1=0\Rightarrow m=\frac{1}{4}\)

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn

Bạn xem lời giải của mình nhé:

Giải:

\(x^2\ge0\forall x\\ 4>0\\ \Rightarrow x^2+4>0\forall x\\ \Rightarrow M_{\left(x\right)}>0\forall x\\ \Rightarrow M_{\left(x\right)}\ne0\forall x\)

Vậy đa thức M(x) vô nghiệm.

Chúc bạn học tốt!

\(M\left(x\right)=x^2+4\)

Vì \(x^2>=0\) với mọi x E R

=>\(x^2+4>=0+4=4>0\) với mọi x E R

=>M(x) vô nghiệm

\(tanx\equiv x\rightarrow x\in\left(0;1\right)\)

\(y=f\left(x\right)=\frac{x-10}{x-m}\) trên (0;1)

\(y'=\frac{-m+10}{\left(x-m\right)^2}\)

Để hàm số đồng biến \(\Rightarrow-m+10>0\Rightarrow m< 10\)

Có vô số giá trị thực của m, còn giá trị nguyên thì có \(9+14+1=24\)

\(ac=-2\left(m^2+8\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pbn trái dấu

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-2\left(m^2+8\right)\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(A=m^2+4\left(m^2+8\right)=5m^2+32\ge32\)

\(\Rightarrow A_{min}=32\) khi \(m=0\)

Trên \(\left[2;3\right]\) hàm là hàm hằng, không đồng biến ko nghịch biến nên D sai