Chương 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 4 tháng 1 lúc 23:17

Ủa bạn này đăng câu hỏi ở chỗ nào mà nó không hiện ở trang chính vậy ta?

Trong mp (ICD), qua M kẻ đường thẳng song song CD cắt IC và ID lần lượt tại E và F

\(\Rightarrow EF=\left(\alpha\right)\cap\left(ICD\right)\)

Tương tự, trong mp (ABJ) qua M kẻ đường thẳng song song AB cắt AJ và BJ lần lượt tại G và H

\(\Rightarrow GH=\left(\alpha\right)\cap\left(JAB\right)\)

Trong mp (ABD), qua F kẻ đường thẳng song song AB cắt AD và BD lần lượt tại P và Q

Trong mp ((ABC), qua E kẻ đường thẳng song song AB cắt AC và BC lần lượt tại R và S

\(\Rightarrow PQSR\) là thiết diện của \(\left(\alpha\right)\) và chóp

Theo cách dựng thì PQ song song RS (cùng song song AB) và PR song song SQ (cùng song song CD) nên thiết diện hình hình bình hành

Nó chỉ là hình chữ nhật khi AB và CD vuông góc. 

Cho nên chúng ta không thể chứng minh nó là hình chữ nhật được, vì đề không có dữ kiện AB vuông góc CD :D

Bình luận (1)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 4 tháng 1 lúc 16:10

Đường tròn có pt:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=8\)

Tâm \(I\left(1;1\right)\) và \(R=2\sqrt{2}\)

Gọi \(I_1\) là ảnh của I qua phép quay 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{I1}=1.cos\left(-45^0\right)-1sin\left(-45^0\right)=\sqrt{2}\\y_{I_1}=1.sin\left(-45^0\right)+1.cos\left(-45^0\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1\left(\sqrt{2};0\right)\)

Gọi \(I_2\) là ảnh của \(I_1\) qua phép vị tự:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{I_2}=-\sqrt{2}.\sqrt{2}=-2\\y_{I_2}=-\sqrt{2}.0=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I_2\left(-2;0\right)\)

\(R_2=\left|-\sqrt{2}\right|.2\sqrt{2}=4\)

Vậy pt đường tròn ảnh có dạng:

\(\left(x+2\right)^2+y^2=16\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 30 tháng 12 2020 lúc 22:11

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow3x-2y+3=0\) (1)

Gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép vị tự nói trên \(\Rightarrow M'\in d'\) với d' là ảnh của d

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=2x\\y'=2y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}x'\\y=\dfrac{1}{2}y'\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1):

\(\dfrac{3}{2}x'-y'+3=0\Leftrightarrow3x'-2y'+6=0\)

Vậy pt ảnh của d có dạng: \(3x-2y+6=0\)

Bình luận (1)
Nguyễn Linh Chi
Nguyễn Linh Chi 30 tháng 12 2020 lúc 22:37

d: 3x-2y+3=0 

Chọn a( 1;3) thuộc d 

V(O;k=2) (a)=a'

-> oa'=k.oa 

x' = k .x -> x'= 2x1=2

y'= k.ý-> y'= 2x3= 6          a'(2;6)

a thuộc d' mà d' có dạng 3x'-2y'+c=0

thay a'(2;6) vào d' ta đc:

3x2-2x6+c=0

-> c= 6

vậy d' : 3x-2y+6=0                                   

 

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 21 tháng 12 2020 lúc 15:58

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là 1 điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow x+3y+1=0\) (1)

Gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép tịnh tiến nói trên thì \(M'\in d'\) với d' là ảnh của d

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x+3\\y'=y-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-3\\y=y'+2\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1):

\(x'-3+3\left(y'+2\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow x'+3y'+4=0\)

Vậy pt ảnh có dạng \(x+3y+4=0\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 21 tháng 12 2020 lúc 15:39

Đáp án C đúng

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=2x_M=2.3=6\\y_{M'}=2y_M=2.\left(-2\right)=-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M'\left(6;-4\right)\)

Bình luận (1)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 21 tháng 12 2020 lúc 15:37

Cả 3 phép tịnh tiến, quay, vị tự đều là phép dời hình nên đáp án D là đáp án đúng

Bình luận (1)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 12 tháng 12 2020 lúc 21:47

Cách 1:

Do M thuộc d, gọi tọa độ M có dạng \(M\left(2m-2;m\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(2m-2;m-6\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(2m-4;m-5\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(T=MA+MB=\sqrt{\left(2m-2\right)^2+\left(m-6\right)^2}+\sqrt{\left(2m-4\right)^2+\left(m-5\right)^2}\)

\(T=\sqrt{5m^2-20m+40}+\sqrt{5m^2-26m+41}\)

\(T=\sqrt{5\left(m-2\right)^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{5\left(\dfrac{13}{5}-m\right)^2+\left(\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^2}\)

\(T\ge\sqrt{5\left(m-2+\dfrac{13}{5}-m\right)^2+\left(2\sqrt{5}+\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^2}=\sqrt{53}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(6\left(m-2\right)=10\left(\dfrac{13}{5}-m\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{19}{8}\)

\(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{4};\dfrac{19}{8}\right)\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 12 tháng 12 2020 lúc 21:47

Cách 2:

Thay tọa độ A và B vào pt (d) được 2 giá trị cùng dấu âm \(\Rightarrow A;B\) nằm cùng phía so với (d)

Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc với d \(\Rightarrow\) pt d' có dạng:

\(2\left(x-0\right)+1\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow2x+y-6=0\)

Gọi C là giao điểm của d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2y+2=0\\2x+y-6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(2;2\right)\)

Gọi D là điểm đối xứng với A qua d \(\Leftrightarrow C\) là trung điểm AD \(\Rightarrow D\left(4;-2\right)\)

Phương trình BD có dạng: \(7\left(x-2\right)+2\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow7x+2y-24=0\)

\(MA+MB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của BD

\(\Rightarrow\) Tọa độ M thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}7x+2y-24=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{4};\dfrac{19}{8}\right)\)

Bình luận (0)
Tan Thuy Hoang
Tan Thuy Hoang CTV 6 tháng 12 2020 lúc 18:00

Gọi S là diện tích tam giác ABC, p là nửa chu vi.

Ta có: \(r=\frac{S}{p}\).

Lại có: \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) (Công thức Heron)

\(\Rightarrow r=\sqrt{\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}}=\sqrt{\frac{\frac{a+b-c}{2}.\frac{b+c-a}{2}.\frac{c+a-b}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}}=\sqrt{\frac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}{4\left(a+b+c\right)}}\).

Do đó: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{r^2}=36\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right):\frac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}{4\left(a+b+c\right)}=36\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)=9\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\) (*)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}=9abc\). (1)

Đẳng thức xảy ra ở (1) khi và chỉ khi a = b = c.

Do \(a+b-c,b+c-a,c+a-b0\ge\) nên áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

\(abc=\frac{\left[\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)\right]\left[\left(b+c-a\right)+\left(c+a-b\right)\right]\left[\left(c+a-b\right)+\left(a+b-c\right)\right]}{8}\ge\frac{2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}.2\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}.2\sqrt{\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}{8}=\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\) (2)

Đẳng thức ở (2) xảy ra khi và chỉ khi \(a+b-c=b+c-a=c+a-b\Leftrightarrow a=b=c\).

Từ (1), (2) suy ra \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge9\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\).

Mà theo (*) thì đẳng thức xảy ra

Nên đẳng thức ở (1), (2) xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\).

Vậy a = b = c hay tam giác ABC đều.

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN