Chương 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP - Hỏi đáp

Bài 3: a) Xét A=(1+1/2+1/3+....+1/98).2.3.4.5.....98

=(1+1/2+1/3+....+1/98).(9.11).2.3.4.....98

=(1+1/2+1/3+....+1/98).99.2.3.4....98⋮99
(đpcm)

\(A\cap B=\varnothing\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m+5\le-2\\m\ge3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-7\\m\ge3\end{matrix}\right.\)

1/ Để hàm số cắt Ox tại 2 điểm đối xứng qua gốc tọa độ \(\Rightarrow\left(m-1\right)x^2+2mx+3m+1=0\) có hai nghiệm phân biệt t/m \(x_1=-x_2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0;\Delta'>0\\x_1+x_2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m^2-\left(m-1\right)\left(3m+1\right)>0\\\dfrac{-2m}{m-1}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=0\)

2/ Để hàm số đồng biến trên \(\left(1;+\infty\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=m-1>0\\\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-2m}{2\left(m-1\right)}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\\dfrac{2m-1}{m-1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>1\)

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

\(x^2-4x+3-(2x+m)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+(3-m)=0(*)\)

Để 2 ĐTHS cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì pt $(*)$ phải có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow \Delta'=9-(3-m)>0\Leftrightarrow m> -6\)

Khi đó, theo định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=6\\ x_Ax_B=3-m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\)

\(=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(2x_A+m-2x_B-m)^2}=\sqrt{5(x_A-x_B)^2}\)

\(=\sqrt{5[(x_A+x_B)^2-4x_Ax_B]}=\sqrt{20(m+6)}\)

\(d(O, AB)=d(O;\Delta)=\frac{|2.0-0+m|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|m|}{\sqrt{5}}\)

Vậy:

\(9=S_{OAB}=\frac{d(O, AB).AB}{2}=|m|\sqrt{m+6}\)

\(\Rightarrow 81=m^2(m+6)\)

\(\Rightarrow m=3\) (thỏa mãn)

Vậy $m=3$

1. Giả sử \(a-3⋮a^2+2\Rightarrow\dfrac{a-3}{a^2+2}=A\) \(\left(A\in Z;A\ne0\right)\)

\(\Rightarrow a-3=A.a^2+2A\Rightarrow A.a^2-a+2A+3=0\)

\(\Delta=1-4A\left(2A+3\right)\ge0\Rightarrow-8A^2-12A+1\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{-3-\sqrt{11}}{4}\le A\le\dfrac{-3+\sqrt{11}}{4}\)

Mà A nguyên \(\Rightarrow A=0\) hoặc \(A=-1\)

\(A=0\Rightarrow a-3=0\Rightarrow a=3\)

\(A=-1\Rightarrow-a^2-a+1=0\) \(\Rightarrow\) pt ko có nghiệm nguyên

Vậy a=0 thì a-3 chia hết \(a^2+2\)

2. \(x^2-2y=1\Rightarrow2y=x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

Nếu x chẵn \(\Rightarrow x=2\Rightarrow\) y không phải số tự nhiên (loại)

Nếu x lẻ \(\Rightarrow x-1\) và \(x+1\) đều là số chẵn \(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮4\)

Đặt \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)=4k\) với \(k\in N;k\ge1\)

\(\Rightarrow2y=4k\Rightarrow y=2k\)

Nếu \(k=1\Rightarrow y=2\Rightarrow x^2=2y+1=5\) \(\Rightarrow\) x không phải số tự nhiên (loại)

Nếu \(k>1\) \(\Rightarrow\) y là số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) y không phải là số nguyên tố

\(\Rightarrow\)Không tồn tại cặp số nguyên tố (x;y) nào để \(x^2-2y=1\)

3. Nếu d=0 =>d chia hết cho 6. Xét d>0, d là STN

Ta luôn có \(p>2\) do nếu \(p=2\Rightarrow p+2d=2\left(d+1\right)\) là hợp số, vô lý

\(\Rightarrow\) p là số lẻ \(\Rightarrow d\) là số chẵn (vì nếu d lẻ thì p+d chẵn là hợp số) \(\Rightarrow d⋮2\)

TH1: \(p=3a+1\)

Nếu \(d=3b+1\Rightarrow p+2d=3a+1+6b+2=3\left(a+2b+1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\) vô lý (do giả thiết p+2d là số nguyên tố)

Nếu \(d=3b+2\Rightarrow p+d=3a+1+3b+2=3\left(a+b+1\right)⋮3\) vô lý

Vậy \(d=3b\Rightarrow d⋮3\Rightarrow d⋮6\)

TH2: \(p=3a+2\)

Nếu \(d=3b+1\Rightarrow p+d=3a+2+3b+1=3\left(a+b+1\right)⋮3\) (loại)

Nếu \(d=3b+2\Rightarrow p+2d=3a+2+6b+4=3\left(a+2b+2\right)⋮3\) (loại)

Vậy \(d=3b⋮3\Rightarrow d⋮6\)

Kết luận: nếu p, p+d, p+2d là số nguyên tố thì d chia hết cho 6

4. Đề sai. Ta lấy ví dụ n=3 \(\Rightarrow2^3+1=9\) là hợp số, nhưng \(2^3-1=7\) là số nguyên tố

Hoặc \(n=5...\)