Chương 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Ngô Thành Chung
1 tháng 9 2021 lúc 20:11

sin3x + cos3x = sin2x + 1 + sinx + cosx

⇔ (sinx + cosx)(sin2x + cos2x - sinx.cosx) = 2sinxcosx + sin2x + cos2x + sinx + cosx 

⇔ (sinx + cosx)(1 - sinx . cosx) = (sinx + cosx)2 + (sinx + cosx)

⇔ (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx - sinx - cosx - 1) = 0

⇔ (sinx + cosx)(sinx + cosx + sinx.cosx) = 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\left(1\right)\\sinx+cosx+sinx.cosx=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(1) ⇔ \(\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)

⇔ \(x+\dfrac{\pi}{4}=k\pi\)

⇔ \(x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

(2) ⇔ \(\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\dfrac{1}{2}sin2x=0\)

⇔ \(\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2}cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)=0\)

⇔ \(\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2}.\left[1-2sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]=0\)

⇔ \(\dfrac{1}{4}sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2}=0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{10}-2\sqrt{2}\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{10}-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{10}-2\sqrt{2}\)

Bình luận (0)
Nguyên Nguyên
Xem chi tiết
Hồng Phúc
1 tháng 9 2021 lúc 9:28

ĐK: \(x\ne-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

\(\dfrac{tanx}{1-tan^2x}=\dfrac{1}{2}cot\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2tanx}{1-tan^2x}=tan\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\)

\(\Leftrightarrow tan2x=tan\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\)

\(\Leftrightarrow2x=\dfrac{\pi}{4}-x+k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{3}\)

Bình luận (0)
Hồng Phúc
31 tháng 8 2021 lúc 23:16

9.

\(cos\left(-3x-\dfrac{\pi}{4}\right)+sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sin\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)+sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2sin2x.cos\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin2x=0\\cos\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=k\pi\\x+\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{k\pi}{2}\\x=\dfrac{3\pi}{8}+k\pi\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Hồng Phúc
31 tháng 8 2021 lúc 23:31

10.

\(sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+cos\left(5x+\dfrac{\pi}{6}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(\dfrac{\pi}{3}-5x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2sin\left(-2x+\dfrac{\pi}{4}\right).cos\left(\dfrac{3x}{2}-\dfrac{\pi}{12}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(-2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\cos\left(\dfrac{3x}{2}-\dfrac{\pi}{12}\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-2x+\dfrac{\pi}{4}=k\pi\\\dfrac{3x}{2}-\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{k\pi}{2}\\x=\dfrac{7\pi}{18}+\dfrac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Hồng Phúc
1 tháng 9 2021 lúc 9:31

11.

ĐK: \(x\ne\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2};x\ne\dfrac{k\pi}{2}\)

\(tan\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)+cot3x=0\)

\(\Leftrightarrow tan\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=tan\left(3x-\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow2x+\dfrac{\pi}{3}=3x-\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5\pi}{6}+k\pi\)

Bình luận (0)
Ngô Thành Chung
31 tháng 8 2021 lúc 22:42

cosx = 3m + cos2x + 1

⇔ 2cos2x - cosx + 3m = 0 (1)

Đặt cosx = t. Ta được phương trình : 2t2 - t + 3m = 0.

⇔ 2t2 - t = -3m

(2) là phương trình hoành độ giao điểm của f(t) = 2t2 - t và y = - 3m

Khi x ∈ \(\left(-\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right)\) thì t ∈ (- 1 ; 0)

(1) có 1 nghiệm trên \(\left(-\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right)\) ⇔ (2) có 1 nghiệm t ∈ (- 1 ; 0)

⇒ f(0) < - 3m < f(-1)

⇒ 0 < - 3m < 3

 ⇒ - 1 < m < 0 (1)

Khi x ∈ \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\) thì t ∈ (0 ; 1].

(1) có 2 nghiệm trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\) khi vầ chỉ khi (2) có 2 nghiệm trên (0 ; 1].

⇒ \(f\left(\dfrac{1}{4}\right)< -3m< f\left(0\right)\)

⇒ \(-\dfrac{1}{8}< -3m< 0\)

⇒ 0 < m < \(\dfrac{1}{24}\) (2)

Từ (1), (2) => Không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bình luận (0)
Ngô Thành Chung
31 tháng 8 2021 lúc 22:18

cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0

⇔ 2cos2x - (2m + 1).cosx = 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}cosx=0\left(1\right)\\2cosx=2m+1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(1) ⇔ \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) với k thuộc Z. Mà \(x\in\left(\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\)

⇒ x = \(\dfrac{3\pi}{2}\)

Như vậy đã có 1 nghiệm trên \(\left(\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\) đó là x = \(\dfrac{3\pi}{2}\). Bây giờ cần tìm m để (2) có 2 nghiệm phân biệt trên \(\left(\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\) và trong 2 nghiệm đó không có nghiệm x = \(\dfrac{3\pi}{2}\). Tức là x = \(\dfrac{3\pi}{2}\) không thỏa mãn (2), tức là

2m + 1 ≠ 0 ⇔ \(m\ne-\dfrac{1}{2}\)

(2) ⇔ \(2.\left(2cos^2\dfrac{x}{2}-1\right)=2m+1\)

⇔ \(4cos^2\dfrac{x}{2}=2m+3\)

Do x \(\in\left(\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\) nên \(\dfrac{x}{2}\in\left(\dfrac{\pi}{4};\pi\right)\) nên cos\(\dfrac{x}{2}\) ∈ \(\left(-1;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

Đặt cos\(\dfrac{x}{2}\) = t ⇒ t ∈ \(\left(-1;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\). Ta được phương trình : 4t2 = 2m + 3

Cần tìm m để [phương trình được bôi đen] có 2 nghiệm t ∈ \(\left(-1;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

Dùng hàm số bậc 2 là ra. Nhớ kết hợp điều kiện \(m\ne-\dfrac{1}{2}\)

 

Bình luận (0)
quang08
31 tháng 8 2021 lúc 9:03

Tham Khảo

Bình luận (1)
Hồng Phúc
31 tháng 8 2021 lúc 14:26

\(y=5-2cos^2x=4-\left(2cos^2x-1\right)=4-cos2x\)

Vì \(cos2x\in\left[-1;1\right]\Rightarrow y=4-cos2x\in\left[3;5\right]\)

\(\Rightarrow y_{min}=3\Leftrightarrow cos2x=1\Leftrightarrow x=k\pi\)

\(y_{max}=5\Leftrightarrow cos2x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

Bình luận (0)