Chương 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 4 tháng 12 2020 lúc 18:42

\(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=a+\sqrt{\frac{a}{2}.2b}+\sqrt[3]{\frac{a}{4}.b.4c}\)

\(\le a+\frac{1}{2}\left(\frac{a}{2}+2b\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{a}{4}+b+4c\right)=\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{1008}{a+b+c}-\frac{2016}{\sqrt{a+b+c}}=1008\left(\frac{1}{\sqrt{a+b+c}}-1\right)^2-1008\ge-1008\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{16}{21};\frac{4}{21};\frac{1}{21}\right)\)

Bình luận (1)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 4 tháng 12 2020 lúc 20:21

Lời giải:

Gọi số cần tìm là $\overline{a_1a_2a_3....a_{10}}$

Số cách lập số tự nhiên có 10 chữ số mà các chữ số có thể giống nhau từ tập M là:

$6.7^9$

Số tự nhiên chia hết cho $6$ thì sẽ chia hết cho cả 2 và 3. Giờ ta lập số tự nhiên có 10 chữ số chia hết cho 6 theo các bước sau:

Chọn $\overline{a_2a_3...a_9}$ là số có 8 chữ số, có $7^8$ cách lập

Chọn $a_{10}$ chẵn, có $4$ cách chọn

Chọn $a_1$. Ta thấy với mỗi bộ $(a_2,a_3,...,a_{10})$ thì:

+ Nếu $a_2+...+a_{10}$ chia hết cho $3$ thì $a_1$ có 2 cách chọn: 3 và 6

+ Nếu $a_2+...+a_{10}$ chia 3 dư 1 thì $a_1$ cũng có 2 cách chọn: 2 và 5

+ Nếu $a_2+...+a_{10}$ chia 3 dư 2 thì $a_1$ cũng có 2 cách chọn: 1 và 4

Do đó với mỗi bộ $(a_2,...a_{10})$ thì ta luôn có 2 cách để chọn ra số $a_1$ đảm bảo điều kiện đề bài, nên số số tự nhiên đảm bảo yêu cầu đề có thể lập được là: $2.4.7^8$

Xác suất cần tính: $\frac{2.4.7^8}{6.7^9}=\frac{4}{21}$

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 3 tháng 12 2020 lúc 22:45

\(3\left(a+b+c\right)=\left(a+b\right)^2+c^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow a+b+c\le6\)

\(P=a+b+c+\frac{80}{2.2.\sqrt{a+c}}+\frac{80}{2.2\sqrt{b+2}}\ge a+b+c+\frac{80}{a+c+4}+\frac{80}{b+6}\)

\(P\ge a+b+c+\frac{320}{a+b+c+10}\)

\(P\ge a+b+c+10+\frac{256}{a+b+c+10}+\frac{64}{a+b+c+10}-10\)

\(P\ge2\sqrt{\frac{256\left(a+b+c+10\right)}{a+b+c+10}}+\frac{64}{6+10}-10=26\)

\(P_{min}=26\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;3\right)\)

Bình luận (0)
Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN