# Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai của bình phương

Hung nguyen 17 tháng 7 2018 lúc 16:24

2/ $\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{7+\sqrt{4}}}}}=3$

1/ Ta có:

$\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{n^2+n+1}{n\left(n+1\right)}\right)^2}=\dfrac{n\left(n+1\right)+1}{n\left(n+1\right)}=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$

$\Rightarrow C=99+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=100-\dfrac{1}{100}=\dfrac{9999}{100}$

Bình luận (1)
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG 17 tháng 7 2018 lúc 16:52

Bài 1 : Điều đầu tiên ta chứng minh được công thức :

$\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a+b}$

Ta có :

$\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{a^4+2a^3b+a^2b^2+2ab^3+b^4}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{a^2+ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\right)^2}=\dfrac{a^2+ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{b}{a\left(a+b\right)}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+b}$

$\Rightarrow C=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+........+1+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}$

$=100-\dfrac{1}{100}=\dfrac{9999}{100}$

Bình luận (0)
Vũ Bảo Uyên 15 tháng 8 2018 lúc 21:03

Câu 1: $\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^3}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^3}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^2}}+....+\sqrt{1+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{100^2}}$

= $\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{\left(1+1\right)^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{\left(1+2\right)^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{\left(1+3\right)^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{\left(1+99\right)^2}}$

= $|1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}|+|1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}|+|1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}|+.....+|1+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}|$

= $1+1-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+1+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}$

= 2019-$\dfrac{1}{100}$

Bình luận (0)
Lightning Farron 5 tháng 7 2018 lúc 21:43

chứng minh $1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2$

Bình luận (0)
Hung nguyen 6 tháng 7 2018 lúc 8:13

Chứng minh cái tổng quát:

$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2$

Ta dễ thấy:

$n^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}-\dfrac{n^2\left(n-1\right)^2}{4}=\left(1+2+...+n\right)^2-\left(1+2+...+\left(n-1\right)\right)^2$

Từ đó ta có:

$\left\{{}\begin{matrix}1^3=1^2-0^2\\2^3=\left(1+2\right)^2-1^2\\.........................\\n^3=\left(1+2+...+n\right)^2-\left(1+2+....+\left(n-1\right)\right)^2\end{matrix}\right.$

Cộng tất cả vế theo vế ta được

$1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2$

Bình luận (0)
Mashiro Shiina 6 tháng 7 2018 lúc 15:12

@Hung nguyen @Light... Em nhận ra mấy đại ca đang làm mấy câu mà đề nó sai vcl ra :|

Bình luận (0)
Hung nguyen 11 tháng 9 2017 lúc 10:21

Đề sai sửa lại là:

$x=\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}$

$\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}$

$\Leftrightarrow x^3=3+\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}+3-\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}+3.\left(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}\right)\left(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}.\sqrt[3]{3-\sqrt{9+\dfrac{125}{27}}}\right)$

$\Leftrightarrow x^3=6+3x.\left(\dfrac{-5}{3}\right)$

$\Leftrightarrow x^3+5x-6=0$

$\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+6\right)=0$

$\Leftrightarrow x=1$

Vậy x là số nguyên

Bình luận (1)