Cho hàm số y = \(\sqrt{3-m}\left(x+5\right)\) là hàm số bậc nhất khi nào ?
Trên cùng một mặt phẳng Oxy, đồ thị của hàm số y = \(\dfrac{1}{2}x-2\) và y = \(\dfrac{3}{2}\)x - 2 có tọa độ là ?
Cho hàm số y = \(\sqrt{3-m}\left(x+5\right)\) là hàm số bậc nhất khi nào ?
Trên cùng một mặt phẳng Oxy, đồ thị của hàm số y = \(\dfrac{1}{2}x-2\) và y = \(\dfrac{3}{2}\)x - 2 có tọa độ là ?
Hàm số \(y=\sqrt{3-m}\left(x+5\right)\) là hàm số bậc nhất khi \(\sqrt{3-m}\ne0\)
\(\Leftrightarrow3-m\ne0\)
\(\Leftrightarrow m\ne3\)
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{2}x-2\) và \(y=\dfrac{3}{2}x-2\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}x-2=\dfrac{3}{2}x-2\\y=\dfrac{1}{2}x-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}x-2-\dfrac{3}{2}x+2=0\\y=\dfrac{1}{2}x-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x=0\\y=\dfrac{1}{2}x-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\dfrac{1}{2}\cdot0-2=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hai đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{2}x-2\) và \(y=\dfrac{3}{2}x-2\) có tọa độ giao điểm là (0;-2)
\(y=\sqrt{3-m}.\left(x+5\right)\) là hàm số bậc nhất \(\Leftrightarrow\sqrt{3-m}\ne0\Leftrightarrow m\ne3\)
Lập PT hoành độ ta có:
\(\dfrac{1}{2}x-2=\dfrac{3}{2}x-2\)
\(\Leftrightarrow x=0\)
\(\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}.0-2=-2\)
=> Tọa độ (0;-2)
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=6\).Tìm giá trị nhỏ nhất:\(P=\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}\)
Lời giải:
Đặt $\sqrt{4-a^2}=x; \sqrt{4-b^2}=y; \sqrt{4-c^2}=z$ thì bài toán trở thành:
Cho $x,y,z\in [0;2]$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=6$. Tìm min: $P=x+y+z$
-------------------
Ta có: $P^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=6+2(xy+yz+xz)$
Vì $x,y,z\in [0;2]$ nên:
$(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\geq xyz+4(x+y+z)-8\geq 4(x+y+z)-8=4P-8$
Vậy $P^2=6+2(xy+yz+xz)\geq 6+4P-8$
$\Leftrightarrow P^2-4P+2\geq 0$
$\Leftrightarrow (P-2)^2\geq 2\Rightarrow P\geq 2+\sqrt{2}$.
Vậy $P_{\min}=2+\sqrt{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(0,2,\sqrt{2})$ và hoán vị
Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(\sqrt{x+y+3}\)+1=\(\sqrt{x}\)+\(\sqrt{y}\)
Lời giải:
PT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1$
$\Rightarrow x+y+3=(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)^2$
$\Leftrightarrow x+y+3=x+y+1-2(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy})$
$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}=0(*)$
$\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=(\sqrt{xy}-1)^2$
$\Rightarrow 4\sqrt{xy}=xy+1-x-y\in\mathbb{Z}$
Ta có nhận xét sau: Với số không âm $a$ bất kỳ thì khi $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì $\sqrt{a}$ cũng là số chính phương.
Do đó: $\sqrt{xy}$ là scp
Kết hợp $(*)$ suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}\in\mathbb{Z}$
$\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=x+\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}$
$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{x+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\in\mathbb{Q}$
$\Rightarrow \sqrt{x}$ là scp. Kéo theo $\sqrt{y}$ là scp.
Từ $(*)$ ta cũng có $(\sqrt{x}-1)(1-\sqrt{y})=-2$
Đến đây thì với $\sqrt{x}, \sqrt{y}\in\mathbb{Z}$ ta có pt tích khá đơn giản.
Một ô tô và một mô tô cùng đi từ A đến B dài 120km. Xe ô tô đến sớm hơn xe mô tô là 1 giờ. Lúc trở về xe mô tô tăng vận tốc thêm 5km/h mỗi giờ, xe ô tô vẫn giữ nguyên vận tốc nhưng dừng lại nghỉ ở một địa điểm trên đường hết 40 phút, sau đó về đến A cùng một lúc với xe mô tô. Tính vận tốc ban đầu của mỗi xe, biết khi đi hay về hai xe đều xuất phát cùng một lúc
Cho a,b,c >0 thỏa a+b+c \(\ge9\)
Tìm Min:
\(P=2\sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}}+\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{9}{b}+\dfrac{25}{c}}\)
cái kia là \(3\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{9}{b}+\dfrac{25}{c}}\)
\(\left(a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}\right)\left(1+3+5\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3\sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+3\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{3^2}{b}+\dfrac{5^2}{c}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+3\sqrt{\dfrac{\left(1+3+5\right)^2}{a+b+c}}=\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+\dfrac{27}{\sqrt{a+b+c}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{27}{2\sqrt{a+b+c}}+\dfrac{27}{2\sqrt{a+b+c}}+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{27^2\left(a+b+c\right)}{2^3\left(a+b+c\right)}}+\dfrac{1}{6}.9=15\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;3;5\right)\)
Cho x,y,z >0 thỏa x+y+z=\(\sqrt{2021}\)
Tìm Min:
\(P=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}.\left(\dfrac{\sqrt{y+z}}{x}+\dfrac{\sqrt{z+x}}{y}+\dfrac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)
Thử nhé
Vì P là bất đẳng thức đối xứng nên dự đoán điểm rơi \(x=y=z=\dfrac{\sqrt{2021}}{3}\)
Thay vo P ta duoc \(P=4.\sqrt{2021}\)
----------------------------------------------------------
\(P=\sum\dfrac{\left(x+y\right)\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}{z}\)
Cauchy-Schwarz:
\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge z+\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow P\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+\sqrt{xy}\right)}{z}\ge\sum\dfrac{xz+yz+x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{z}=\sum x+y+\dfrac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge\sum x+y+\dfrac{2xy}{z}\)
\(\Rightarrow P\ge2(x+y+z)+2\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\)
Cauchy-Schwarz: \(\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\ge\left(\sqrt{\dfrac{xy}{z}.\dfrac{yz}{z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{x}.\dfrac{zx}{y}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y}.\dfrac{xy}{z}}\right)^2=\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge2(x+y+z)+2\left(x+y+z\right)=4\left(x+y+z\right)=4\sqrt{2021}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2021}}{3}\)
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 110 m. Nếu tăng chiều rộng lên 4 lần tăng, chiều dài lên 3 lần thì chu vi mới là 378 m.
Nếu ta gọi chiều rộng và chiều dài của khu vườn lần lượt là xx (mét) và yy (mét) thì ta được hệ phương trình nào trong số các hệ dưới đây?
\begin{cases} 2.x + 2.y = 110 \\ 8.x + 6.y = 378 \end{cases}{2.x+2.y=1108.x+6.y=378
\begin{cases} 2.x + 2.y = 110 \\ 3.x + 4.y = 378 \end{cases}{2.x+2.y=1103.x+4.y=378
\begin{cases} x + y = 110 \\ 8.x + 6.y = 378 \end{cases}{x+y=1108.x+6.y=378
\begin{cases} x + y = 110 \\ 4.x + 3.y = 378 \end{cases}{x+y=1104.x+3.y=378
Tìm x nguyên để \(\dfrac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-2}\) nguyên
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne4\end{matrix}\right.\)
Để \(\dfrac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-2}\) là số nguyên thì \(2\sqrt{x}+5⋮\sqrt{x}-2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}-4+9⋮\sqrt{x}-2\)
mà \(2\sqrt{x}-4⋮\sqrt{x}-2\)
nên \(9⋮\sqrt{x}-2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2\inƯ\left(9\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2\in\left\{1;-1;3;-3;9;-9\right\}\)
mà \(\sqrt{x}-2\ge-2\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
nên \(\sqrt{x}-2\in\left\{1;-1;3;9\right\}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{3;1;5;11\right\}\)
hay \(x\in\left\{9;1;25;121\right\}\)(nhận)
Vậy: Để \(\dfrac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-2}\) nguyên thì \(x\in\left\{9;1;25;121\right\}\)
2(x-1)(x+1) -5\(\sqrt{x^{ }2+1}\) + 1 = 0
PT \(\Leftrightarrow2x^2-2-5\sqrt{x^2+1}+1=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2-5\sqrt{x^2+1}-3=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2-5\sqrt{x^2+1}-3=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=3\)
\(\Leftrightarrow x^2+1=9\)
\(\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}\)
Vậy ...
\(2\left(x-1\right)\left(x+1\right)-5\sqrt{x^2+1}+1=0\\ \Leftrightarrow2\left(x^2-1\right)-5\sqrt{x^2+1}+1=0\\ \Leftrightarrow2x^2-2-5\sqrt{x^2+1}+1=0\\ \Leftrightarrow2x^2+2-5\sqrt{x^2+1}-3=0\\ \Leftrightarrow2\left(x^2+1\right)-5\sqrt{x^2+1}-3=0\)
Đặt \(\sqrt{x^2+1}=t\left(t\ge1\right)\Rightarrow x+1=t^2\)
\(PT\Leftrightarrow2t^2-5t-3=0\\ \Leftrightarrow2t^2-6t+t-3=0\\ \Leftrightarrow2t\left(t-3\right)+\left(t-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(2t-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\left(n\right)\\t=-\dfrac{1}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=3\\ \Leftrightarrow x^2+1=9\\ \Leftrightarrow x^2=8\\ \Leftrightarrow x=\pm2\sqrt{2}\)
Vậy \(x\in\left\{2\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right\}\)
Tính:
E=(\(\sqrt{18}-3\sqrt{6}+\sqrt{2}\)) \(\sqrt{2}+6\sqrt{3}\)
G=\(\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{18}\right)\).\(\left(\sqrt{50}+\sqrt{5}\right)\)
H=\(\dfrac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\).\(\dfrac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\)
\(E=(\sqrt{18}-3\sqrt{6}+\sqrt{2}).\sqrt{2}+6\sqrt{3} \\ = (3\sqrt{2}-3\sqrt{6}+\sqrt{2}).\sqrt{2} + 6\sqrt{3} \\ = 6 - 6\sqrt{3}+2 + 6\sqrt{3} \\ = 8\)
\(G=(2\sqrt2-\sqrt5+\sqrt{18}).(\sqrt{50}+\sqrt5) \\ =(2\sqrt2-\sqrt5+3\sqrt2).\sqrt5(\sqrt{10}+1) \\ = (5\sqrt2-\sqrt5). \sqrt5 (\sqrt{10}+1) \\ = (5\sqrt{10}-5)(\sqrt{10}+1) \\ = 5(\sqrt{10}-1)(\sqrt{10}+1)=5.9=45\)