Bài 1: Căn bậc hai

sai đề kìa

áp dụng BĐT cô-si ta có đpcm

dấu = xảy ra khi a=1

Ta có :

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

\(a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{a.\dfrac{1}{a}}=>a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{1}=2\)

Vậy \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\left(\forall a>0\right)\)

Biến đổi tương đương:

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) (1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)

\(\Leftrightarrow2a+2b-a-2\sqrt{ab}-b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) luôn đúng

=> (1) đúng

Dấu "=" xảy ra khi a = b

\(\sqrt{x^2-5x+4}=\sqrt{x^2-x-4x+4}=\sqrt{\left(x^2-x\right)-\left(4x-4\right)}=\sqrt{x\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)}=\sqrt{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}\)

Vay để căn thức có nghĩa khi

\(\left\{{}\begin{matrix}x-4\ge0\Leftrightarrow x\ge4\\x-1\ge0\Leftrightarrow x\ge1\end{matrix}\right.\) CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!

\(\sqrt{x^2-5x+4}=\sqrt{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}\)

Muốn căn thức có nghĩa thì :\(\left(x-4\right)\left(x-1\right)\ge0\)

Lập bảng xét dấu

Tương tự https://hoc24.vn/hoi-dap/question/280689.html

Thế này nhé!

Ta có:

M^2= \(6+\sqrt{6+\sqrt{6+....}}\)

<=>M^2= 6 + M

( Do vô hạn tuần hoàn 6 nên khi bình phương lên phần có căn đằng sau có giá trị bằng M nhé)

<=> M^2- M- 6 = 0

<=> M^2 +2M - 3M -6 =0

<=> ( M-3)(M+2)= 0

<=> M=3 hoặc M= -2

lập bảng xét dấu là xong bn ak

Điều kiện \(x>0\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}-16\sqrt{x}\)

\(P=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}-16\sqrt{x}\)

\(P=1-\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+16\sqrt{x}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương

\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+16\sqrt{x}\), ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+16\sqrt{x}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{x}}.16\sqrt{x}}=8\)

\(P\ge1-8=-7\)

Vậy Min_P=-7 khi x=1/16

a) \(\sqrt{\dfrac{2+x}{5-x}}\)

Để căn thức \(\sqrt{\dfrac{2+x}{5-x}}\) được xác định thì \(\dfrac{2+x}{5-x}\ge0\) ; x \(\ne\) 5

Ta có BXD :

=> GT của x là - 2 \(\le x< 5\) thì căn thức \(\sqrt{\dfrac{2+x}{5-x}}\) được xác định ( chon đáp án A)

P/S : thấy quen quen hình như làm r

b) \(\sqrt{\dfrac{x+11}{8-x}}\)

Để \(\sqrt{\dfrac{x+11}{8-x}}\) được xác định thì \(\dfrac{x+11}{8-x}\ge0\) ; x \(\ne8\)

ta có BXD :

=> GT của x là \(-11\le x< 8\) thì căn thức \(\sqrt{\dfrac{x+11}{8-x}}\) được xác định

Chọn đáp án D

có một mùi dối trá ở đây

\(VT=\sqrt{4-a}+\sqrt{4-b}+\sqrt{4-c}\)

Ta có BĐT phụ \(\sqrt{4-a}>-\dfrac{1}{2}a+2\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}a\left(a-4\right)>0\forall0< a< 4\) (đúng)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\sqrt{4-b}>-\dfrac{1}{2}b+2;\sqrt{4-c}>-\dfrac{1}{2}c+2\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT>-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)+6=4=VP\)

ta có:

\(2VT=\sqrt{4\left(a+b\right)}+\sqrt{4\left(a+c\right)}+\sqrt{4\left(c+a\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}+\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(>\sqrt{\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\left(c+a\right)^2}=2\left(a+b+c\right)=8\)

\(\Rightarrow VT>4\)(đpcm)

a ) \(\dfrac{x-3}{x-4}< 0\)

Ta có bảng xét dấu :

Vì \(\dfrac{x-3}{x-4}< 0\) nên => 3 < x <4

b) \(\dfrac{x-1}{x+3}>0\)

Ta có bảng xét dấu

Vì \(\dfrac{x-1}{x+3}>0\) nên ta có : x < -3 hoặc x > 1

\(\dfrac{x-3}{x-4}< 0\)

-3 > - 4 =>

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3>0\\x-4< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>3\\x< 4\end{matrix}\right.\)

=> 3 < x < 4

b,

\(\dfrac{x-1}{x+3}>0\)

-1 < 3

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1>0\\x+3< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -3\end{matrix}\right.\)

=> ...

=== không quen dùng bảng xét dấu