Căn bậc hai - Hỏi đáp

a) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne9\end{matrix}\right.\)

b) Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{3x-8\sqrt{x}+27}{9-x}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{3x-8\sqrt{x}+27}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{x+5\sqrt{x}+6+2x-6\sqrt{x}-3x+8\sqrt{x}-27}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{7\sqrt{x}-21}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{7\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{7}{\sqrt{x}+3}\)

c) Để P nhận giá trị nguyên thì \(7⋮\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\inƯ\left(7\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\in\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

mà \(\sqrt{x}+3\ge3\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

nên \(\sqrt{x}+3=7\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=4\)

hay x=16(nhận)

Vậy: Để P nguyên thì x=16

Để biểu thức \(\sqrt{-\frac{2}{2x-1}}\) xác định thì \(-\frac{2}{2x-1}>0\)

\(\Leftrightarrow2x-1< 0\)

\(\Leftrightarrow2x< 1\)

hay \(x< \frac{1}{2}\)

Vậy: Để biểu thức \(\sqrt{-\frac{2}{2x-1}}\) xác định thì \(x< \frac{1}{2}\)

Dấu căn của bạn ko rõ ràng, dễ lộn lắm nhất là câu c.

a,b) Căn thức có nghĩa khi x>=0 và 1-x>=0 <=> x>=0 và x<=1;

Vậy căn thức có nghĩa khi x=0, x=1;

c) căn thức có nghĩa khi x-1/2-x>=0 <=> -1/2>=0 (vô lý)

Căn thức không có nghĩa với mọi x

a) \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)

Để biểu thức có nghĩa \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\1-x\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow1\ge x\ge0\)

Vậy ...

b) \(\sqrt{x\left(1-x\right)}\)

Để biểu thức có nghĩa \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\1-x\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\1-x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0\le x\le1\)

Vậy ...

c) \(\sqrt{x}-\frac{1}{2-x}\)

Để biểu thức có nghĩa \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

a) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne4\end{matrix}\right.\)

Vì x=9 thỏa mãn ĐKXĐ nên thay x=9 vào biểu thức \(P=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}\), ta được:

\(P=\frac{9+3}{\sqrt{9}-2}=\frac{12}{3-2}=\frac{12}{1}=12\)

Vậy: Khi x=9 thì P=12

b) Ta có: \(Q=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

c) Ta có: \(\frac{P}{Q}=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\frac{x+3}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}\ge2\cdot\sqrt{\sqrt{x}\cdot\frac{3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{P}{Q}\ge2\sqrt{3}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\frac{x+3}{\sqrt{x}}=2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow x+3=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow x-2\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{3}+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{3}\)

hay x=3(nhận)

Vậy: Khi x=3 thì biểu thức \(\frac{P}{Q}\) đạt giá trị nhỏ nhất

P =\(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}-\frac{3+7\sqrt{x}}{x-9}\)

P = \(\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-\left(3+7\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

P = \(\frac{3x-9\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

P =\(\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

\(\sqrt{8+2\sqrt{2}+2\sqrt{5}+2\sqrt{10}}-\sqrt{7+2\sqrt{10}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{2}^2+\sqrt{5}^2+1^2+2\sqrt{2}+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}.\sqrt{5}}-\sqrt{\sqrt{5}^2+2\sqrt{10}+\sqrt{2}^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\sqrt{5}+\sqrt{2}+1-\sqrt{5}-\sqrt{2}\)

\(=1\)

Lời giải:
Đặt biểu thức đã cho là $P$

\(P=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{1}+\sqrt{2})(\sqrt{2}-\sqrt{1})}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+\sqrt{4})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{(\sqrt{99}+\sqrt{100})(\sqrt{100}-\sqrt{99})}\)

\(=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+....+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}\)

\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+....+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(=\sqrt{100}-\sqrt{1}=9\)

Lời giải:

\(\frac{2\sqrt{8}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}-\sqrt{48}}-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{27}}{\sqrt{30}+\sqrt{162}}\)

\(=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-4\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{27}}{\sqrt{6}.\sqrt{5}+\sqrt{6}.\sqrt{27}}\)

\(=\frac{2(2\sqrt{2}-\sqrt{3})}{\sqrt{6}(\sqrt{3}-2\sqrt{2})}-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{27}}{\sqrt{6}(\sqrt{5}+\sqrt{27})}\)

\(=\frac{-2}{\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{-3}{\sqrt{6}}\)

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của Lê Tài Bảo Châu - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Bài 2:

Ta có: \(B=\frac{\sqrt{\sqrt{5}+2}+\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{\sqrt{5}-1}\left(\sqrt{\sqrt{5}+2}+\sqrt{\sqrt{5}-2}\right)}{2}-\sqrt{2-2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1}\)

\(=\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}}{2}-\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}\)

\(=\frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}-\left(\sqrt{2}-1\right)\)

\(=\frac{\sqrt{5}+1+3-\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}-\sqrt{2}+1\)

\(=\frac{4}{2\sqrt{2}}-\sqrt{2}+1\)

\(=\sqrt{2}-\sqrt{2}+1\)

=1

câu 3: C = \(\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{\left(\text{4+\sqrt{15}}\right)\left(\sqrt{10-\sqrt{6}}\right)\sqrt{4-\sqrt{15}}}\)

\(=\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{4+\sqrt{15}}.\sqrt{4+\sqrt{15}}\left(\sqrt{10}-\sqrt{6}\right)\sqrt{4-\sqrt{15}}}\)

=\(\frac{\sqrt{9-\left(\sqrt{5}\right)^2}\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{16-\left(\sqrt{15}\right)^2}.\left(\sqrt{10}-\sqrt{6}\right).\sqrt{4+\sqrt{15}}}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{30+10\sqrt{5}}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}\right)}{\sqrt{40+10\sqrt{15}}-\sqrt{24-6\sqrt{15}}}\)

\(=2.\frac{\left(\sqrt{5}+5\right)-\left(\sqrt{5}+1\right)}{\left(\sqrt{15}+5\right)-\left(\sqrt{15}+3\right)}\)

= 4