Căn bậc hai - Hỏi đáp

Ta giả sử √5 là số hữu tỉ

Ta đặt √5=a/b (a,b≠0;(a,b)=1)

⇒5=a²/b²⇒5b²⁼a²⇒a²⋮5

Ta có 5 là số nguyên tố ⇒a⋮5⇒a²⋮25

Ta có 5b²⋮25⇒b²⋮5⇒b⋮5

Vậy suy ra (a,b)≠1 (trái với giả sử)

Vậy √5 là số vô tỉ

Ta giả sử √6 là số hữu tỉ

Ta đặt √6=a/b (a,b≠0;(a,b)=1)

⇒6=a²/b²⇒6b²=a²(1)⇒a²⋮6⇒a²⋮3

Ta có 3 là số nguyên tố ⇒a⋮3

Đặt a=3k⇒a²=9k², thế vào (1)⇒6b²=9k²⇒2b²=3k²⇒2b²⋮3⇒b²⋮3⇒b⋮3

Vậy suy ra (a,b)≠1 (trái với giả sử)

Vậy √6 là số vô tỉ

ĐKXĐ: ...

\(A=\left(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}-1\right):\left(\frac{25-x+\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+5}\right)\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}-\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5}\right):\left(\frac{25-x+x-25}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+5}\right)\)

\(=\frac{-5}{\left(\sqrt{x}+5\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}+5\right)}{-\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{5}{\sqrt{x}+3}\)

b/ \(B=\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}-6\)

\(\Rightarrow B\ge2\sqrt{\frac{\left(\sqrt{x}+3\right).25}{\sqrt{x}+3}}-6=4\)

\(B_{min}=4\) khi \(\left(\sqrt{x}+3\right)^2=25\Rightarrow x=4\)

Câu 2:

a/ ĐKXĐ: \(x\ge1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}-1\right|=2\)

TH1: \(\sqrt{x-1}-1\ge0\Rightarrow x\ge2\) pt trở thành:

\(\sqrt{x-1}-1=2\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=3\)

\(\Rightarrow x-1=9\Rightarrow x=10\) (nhận)

TH2: \(\sqrt{x-1}-1< 0\Rightarrow1\le x< 2\) pt trở thành:

\(1-\sqrt{x-1}=2\Rightarrow\sqrt{x-1}=-1< 0\) (vô nghiệm)

b/

\(\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2+x-2}=0\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-x}\ge0\\\sqrt{x^2+x-2}\ge0\end{matrix}\right.\) nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-x}=0\\\sqrt{x^2+x-2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-x=0\\x^2+x-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=1\)

c/ \(=\frac{5\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(5-\sqrt{24}\right)}{5\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2\left(5-\sqrt{24}\right)}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}\)

\(=\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-\sqrt{24}\right)=\left(5+\sqrt{24}\right)\left(5-\sqrt{24}\right)=1\)

d/ Nhân cả tử và mẫu của từng phân số với liên hợp của mẫu, mẫu số sẽ thành 1 hết:

\(=\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{\left(\sqrt{25}+\sqrt{24}\right)\left(\sqrt{25}-\sqrt{24}\right)}+\frac{\sqrt{24}-\sqrt{23}}{\left(\sqrt{24}+\sqrt{23}\right)\left(\sqrt{24}-\sqrt{23}\right)}+...+\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}\)

\(=\sqrt{25}-\sqrt{24}+\sqrt{24}-\sqrt{23}+...+\sqrt{2}-1\)

\(=\sqrt{25}-1=5-1=4\)

Đề có nhầm ko nhỉ, thấy kì kì

\(=\left(\sqrt{8}-\sqrt{20}+\sqrt{18}\right)\left(\sqrt{18}-\sqrt{20}+\sqrt{8}\right)\)

\(=\left(\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{20}\right)^2\)

\(=8+18+20+2\sqrt{144}-2\sqrt{160}-2\sqrt{360}\)

\(=70-8\sqrt{10}-12\sqrt{10}=70-20\sqrt{10}\)

\(=\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}}\)

\(=\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\left(2+\sqrt{3}\right)}}\)

\(=\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{28-10\sqrt{3}}}\)

\(=\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}}\)

\(=\sqrt{5\sqrt{3}+5\left(5-\sqrt{3}\right)}=5\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4xy+y^2+z^2+9y^2+1-6yz-2z+6y+z^2-4z+4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+\left(z-3y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2\le0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=0\\z-3y-1=0\\z-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{6}\\y=\frac{1}{3}\\z=2\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\sqrt{x^2+1}=a\left(a\ge0\right)\)

=> \(x^2+1=a^2\)

Có a²+5x=(x+5)a

<=>\(a^2+5x-ax-5a=0\)

<=> \(a\left(a-x\right)-5\left(a-x\right)=0\)

<=> \(\left(a-5\right)\left(a-x\right)=0\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}a=5\\a=x\end{matrix}\right.\)

Tự làm nốt nha:)

@Lê Thị Thục Hiền

\(3=a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

Đặt \(\left(ab;bc;ca\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le3\)

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{4-x}+\frac{1}{4-y}+\frac{1}{4-z}\le1\)

Dễ dàng chứng minh \(\frac{1}{4-x}\le\frac{x^2+5}{18}\) 

Thật vậy, BĐT \(\Leftrightarrow18\le\left(x^2+5\right)\left(4-x\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^3+4x^2-5x+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(2-x\right)\ge0\)

Mà \(x^2+y^2+z^2\le3\Rightarrow x^2< 3\Rightarrow x< 2\Rightarrow2-x>0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2\left(2-x\right)\ge0\)

Tương tự ta có \(\frac{1}{4-y}\le\frac{y^2+5}{18}\) ; \(\frac{1}{4-z}\le\frac{z^2+5}{18}\)

Cộng vế với vế: \(VT\le\frac{x^2+y^2+z^2+15}{18}\le\frac{3+15}{18}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

@Trần Thanh Phương; @Lê Thị Thục Hiền @No choice teen

\(Q=\left(\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{-\left(\sqrt{3}-1\right)}-\sqrt{5}\right).\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\)

\(=-\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)=-\left(5-2\right)=-3\)

\(S=\frac{2\left(\sqrt{5}-1\right)}{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}-\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}}=\frac{2\left(\sqrt{5}-1\right)}{4}-\sqrt{\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{4}}\)

\(=\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}=-1\) 

\(T=\frac{4\left(1+\sqrt{3}\right)}{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}-\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}+1\right)}{\sqrt{5}+1}=\frac{4\left(1+\sqrt{3}\right)}{-2}-\sqrt{3}=-2-3\sqrt{3}\)

Đặt a-b+2015=k ( k là số nguyên)

mà a-b+2015 , b-c+2015,c-a+2015 là ba số nguyên liên tiếp => b-c+2015=k+1

c-a+2015=k+2

Có a-b+2015+b-c+2015+c-a+2015=k+k+1+k+2

<=>6045=3k+3

<=> 6042=3k

<=> k=2014

=> a-b+2015=2014 , b-c+2015=2014+1=2015 , c-a+2015=2014+2=2016

=> ba số nguyên liên tiếp đó là 2014,2015,2016 <=> b=c=a+1 và a,b,c tự nhiên

P/s: Chẳng biết có đúng không

@Lê Thị Thục Hiền

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1-x\right)^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|1-x\right|+\left|x+2\right|=3\)

Mặt khác ta có \(\left|1-x\right|+\left|x+2\right|\ge\left|1-x+x+2\right|=3\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left(1-x\right)\left(x+2\right)\ge0\Rightarrow-2\le x\le1\)

Vậy nghiệm của pt là \(-2\le x\le1\)

a/ \(x^2-2x+5=\left(x-1\right)^2+4>0\) nên căn thức có nghĩa với mọi x

b/ Để căn thức có nghĩa thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x-4}{x-1}\ge0\\x-1\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge4\\x< 1\end{matrix}\right.\)

c/ Để căn thức có nghĩa thì:

\(x^2-24\ge0\Rightarrow x^2\ge24\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge\sqrt{24}\\x\le-\sqrt{24}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge2\sqrt{6}\\x\le-2\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)

\(=\sqrt{\left(5-2\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(5+2\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\left|5-2\sqrt{3}\right|+\left|5+2\sqrt{3}\right|\)

\(=5-2\sqrt{3}+5+2\sqrt{3}\)

\(=10\)