Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Xem chi tiết
Akai Haruma
31 tháng 1 2018 lúc 0:34

Lời giải:

Ta có:

\(S=1^{22}+2^{22}+3^{22}+...+2015^{22}\)

\(S=2^2(2^{20}-1)+3^2(3^{20}-1)+...+2015^2(2015^{20}-1)+(1^2+2^2+...+2015^2)\)

Xét số tổng quát \(a^2(a^{20}-1)\)

Nếu $a$ chẵn thì \(a\vdots 2\Rightarrow a^2\vdots 4\Rightarrow a^2(a^{20}-1)\vdots 4\)

Nếu $a$ lẻ. Ta biết một số chính phương chia $4$ dư $0,1$. Mà $a$ lẻ nên \(a^2\equiv 1\pmod 4\)

\(\Rightarrow a^{20}\equiv 1^{10}\equiv 1\pmod 4\)

\(\Rightarrow a^2(a^{20}-1)\vdots 4\)

Vậy \(a^2(a^{20}-1)\vdots 4\) (1)

Mặt khác:

Xét $a$ chia hết cho $5$ suy ra \(a^2\vdots 25\Rightarrow a^2(a^{20}-1)\vdots 25\)

Xét $a$ không chia hết cho $5$ tức $(a,5)$ nguyên tố cùng nhau.

Áp dụng định lý Fermat nhỏ: \(a^4\equiv 1\pmod 5\)

Có \(a^{20}-1=(a^4-1)[(a^4)^4+(a^4)^3+(a^4)^2+(a^4)^1+1]\)

\(a^4\equiv 1\pmod 5\rightarrow a^4-1\equiv 0\pmod 5\)

\((a^4)^4+(a^4)^3+(a^4)^2+(a^4)^1+1\equiv 1^4+1^3+1^2+1^1+1\equiv 5\equiv 0\pmod 5\)

Do đó: \(a^{20}-1=(a^4-1)[(a^4)^4+...+1]\vdots 25\)

Vậy trong mọi TH thì \(a^2(a^{20}-1)\vdots 25\) (2)

Từ (1)(2) suy ra \(a^2(a^{20}-1)\vdots 100\)

Do đó: \(2^2(2^{20}-1)+3^2(3^{20}-1)+...+2015^2(2015^{20}-1)\vdots 100\)

Mặt khác ta có công thức sau:

\(1^2+2^2+..+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

\(\Rightarrow 1^2+2^2+..+2015^2=\frac{2015(2015+1)(2.2015+1)}{6}\equiv 40\pmod {100}\)

Do đó S có tận cùng là 40

Bình luận (0)
Xem chi tiết
Akai Haruma
25 tháng 1 2018 lúc 13:53

Lời giải:

Ta có:

\(\text{VT}=\frac{1}{x^2+y^2+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{z^2+x^2+2}\)

\(\Rightarrow 2\text{VT}=\frac{2}{x^2+y^2+2}+\frac{2}{y^2+z^2+2}+\frac{2}{z^2+x^2+2}\)

\(2\text{VT}=1-\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}+1-\frac{y^2+z^2}{y^2+z^2+2}+1-\frac{z^2+x^2}{z^2+x^2+2}\)

\(2\text{VT}=3-\left(\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}+\frac{y^2+z^2}{y^2+z^2+2}+\frac{z^2+x^2}{z^2+x^2+2}\right)=3-A\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(A\geq \frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x^2+y^2+z^2)+6}=\frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}(*)\)

Xét tử số:

\((\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2\)

\(=2(x^2+y^2+z^2)+2(\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}+\sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}+\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)})\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq \sqrt{(x^2+yz)^2}=x^2+yz\)

\(\sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}\geq \sqrt{(xz+y^2)^2}=xz+y^2\)

\(\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)}\geq \sqrt{(z^2+xy)^2}=z^2+xy\)

\(\Rightarrow \sum \sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow (\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2\geq 4(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+xz)\)

\(\geq 3(x^2+y^2+z^2)+3(xy+yz+xz)=3(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)\)

(theo BĐT AM-GM)

Do đó: Từ \((*)\Rightarrow A\geq \frac{3(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow 2\text{VT}\leq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{3}{4}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Bình luận (0)
Lightning Farron
26 tháng 1 2018 lúc 13:31

We have: \(\dfrac{1}{x^2+y^2+2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2+2-z^2}\le\dfrac{1}{5-z^2}\)

Similarly and by adding them:

\(\dfrac{1}{5-x^2}+\dfrac{1}{5-y^2}+\dfrac{1}{5-z^2}\le\dfrac{3}{4}\left(\circledast\right)\)

We know that \(\dfrac{1}{5-x^2}\le\dfrac{3\left(x^2+x\right)}{8\left(x^2+x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(3x^2+9x+8\right)}{8\left(x^2-5\right)\left(x^2+x+1\right)}\le0\) It's obviously

\(\Rightarrow L.H.S_{\left(\circledast\right)}\le\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{x^2+x}{x^2+x+1}+\dfrac{y^2+y}{y^2+y+1}+\dfrac{z^2+z}{z^2+z+1}\right)\le\dfrac{3}{4}\)

The equality occur when \(x=y=z=1\)

Done!

Bình luận (7)
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Anh Thư Lê
Xem chi tiết
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
24 tháng 10 2017 lúc 19:40

\(S=\sum\limits^{121}_2\left(\dfrac{1}{x\sqrt{\left(x-1\right)}+\left(x-1\right)\sqrt{x}}\right)\)

\(S=0,9090909091\)

Bình luận (1)
Unruly Kid
25 tháng 10 2017 lúc 11:02

Hướng dẫn :v Hãy chứng minh công thức tổng quát này rồi áp dụng vào bài :v

\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)(\(\forall n\in\)N*)

Bình luận (2)
Ngọc Trâm Tăng
Xem chi tiết
Hoàng
Xem chi tiết
Hung nguyen
7 tháng 10 2017 lúc 9:15

\(B=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\)

\(\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\dfrac{\left(1+0,25xy\right)}{\sqrt{1,0625}}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{1,0625}}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+0,25x+0,25y\right)\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{1,0625}}\left(\left(\dfrac{1}{x}+4x\right)+\left(\dfrac{1}{y}+4y\right)-\dfrac{15}{4}\left(x+y\right)\right)\)

\(\ge\dfrac{1}{\sqrt{1,0625}}\left(4+4-\dfrac{15}{4}\right)=\sqrt{17}\)

Bình luận (1)
Võ Tòng
10 tháng 10 2017 lúc 9:50

\(\sqrt[1]{\sqrt[1]{1}}15\)

Bình luận (0)
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Lightning Farron
4 tháng 10 2017 lúc 23:10

Ngồi gõ cả tiếng rồi ngộ ra mới out nick :|

\(pt\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+12}-\sqrt{y}-\sqrt{x+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+12}-2\sqrt{y}-\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+12-4y}{\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+12}+2\sqrt{y}}-\dfrac{x+2-y}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x-y+3\right)\left(x-y+2\right)}{\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+12}+2\sqrt{y}}-\dfrac{x+2-y}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+2\right)\left(\dfrac{2\left(x-y+3\right)}{\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+12}+2\sqrt{y}}-\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y}}\right)=0\)

\(\Rightarrow x=y-2\). Thay vào \(pt(1)\) có:

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{y^2-8\left(y-2\right)+9}-\sqrt[3]{\left(y-2\right)y+12-6\left(y-2\right)}\le1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2-8y+25}-\sqrt[3]{y^2-8y+24}\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y^2-8y+25}-3\right)-\left(\sqrt[3]{y^2-8y+24}-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{y^2-8y+25-9}{\sqrt{y^2-8y+25}+3}-\dfrac{y^2-8y+24-8}{\sqrt[3]{\left(y^2-8y+24\right)^2}+4+2\sqrt[3]{y^2-8y+24}}\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y-4\right)^2}{\sqrt{y^2-8y+25}+3}-\dfrac{\left(y-4\right)^2}{\sqrt[3]{\left(y^2-8y+24\right)^2}+4+2\sqrt[3]{y^2-8y+24}}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-4\right)^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{y^2-8y+25}+3}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(y^2-8y+24\right)^2}+4+2\sqrt[3]{y^2-8y+24}}\right)\le0\)

\(\Rightarrow y=4\Rightarrow x=y-2=4-2=2\)

Vậy \(x=2;y=4\)

Bình luận (9)
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Eren
4 tháng 10 2017 lúc 22:56

ĐKXĐ: x \(\ge\) 1

Đặt \(\sqrt{x+2}=a;\sqrt{x-1}=b\left(a>0;b\ge0\right)\)

\(\Rightarrow ab=\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}=\sqrt{x^2+x-2};2x+4=2a^2\)

pt <=> 2a2 = 3a + ab

<=> 2a2 - 3a - ab = 0

<=> 2a2 - a(b + 3) = 0 (đoạn này bạn có thể phân tích thành nhân tử để làm)

Coi đây là 1 pt bậc 2 ẩn a có \(\Delta=\left(b+3\right)^2\Rightarrow\sqrt{\Delta}=b+3\) (vì b + 3 > 0)

\(\Rightarrow a_1=\dfrac{b+3+b+3}{4};a_2=\dfrac{b+3-b-3}{4}\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{b+3}{2}\) (vì a > 0 nên nghiệm a2 không thỏa mãn)

\(\Leftrightarrow2a=b+3\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x+2}=\sqrt{x-1}+3\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+2\right)=x+8+6\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow x=2\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow x-1-2\sqrt{x-1}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\left(TM\right)\)

Vậy ...

Bình luận (0)
Hung nguyen
4 tháng 10 2017 lúc 18:12

Điều kiện tự làm nhé.

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}+3\sqrt{x+2}-2\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}\left(\sqrt{x-1}+3-2\sqrt{x+2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=0\left(1\right)\\\sqrt{x-1}+3-2\sqrt{x+2}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) \(\Rightarrow x=-2\)

Từ (2) \(\Rightarrow2\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}=3\)

Cái này đơn giản tự giải nha.

\(\Rightarrow x=2\)

Bình luận (0)
Hoang Thiên Di
4 tháng 10 2017 lúc 17:11

-ĐK : \(x\ge1\)

- Ta có : \(\sqrt{x^2+x-2}+3\sqrt{x+2}=2x+4\) (*)

<=> \(\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}+3\sqrt{x+2}=2\left(x+2\right)\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=a\\\sqrt{x+2}=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=a^2\\x+2=b^2\end{matrix}\right.\)

(a\(\ge0,b>0\) )

=> \(a^2-b^2=-3\)

(*) <=> ab+ 3b = 2b2

Đến đây bí -_-

Bình luận (2)
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Hung nguyen
4 tháng 10 2017 lúc 18:22

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+4y^2-8xy=2\\x=2y+4xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)^2-4xy-2=0\\x-2y-4xy=0\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=a\\4xy=b\end{matrix}\right.\)thì ta có hệ

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b-2=0\\a-b=0\end{matrix}\right.\)

Tới đây thì đơn giản rồi nhé

Bình luận (0)