Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

\(\sqrt{x^2+2x+5}+\sqrt{2x^2+4x+6}=4\\ \Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x+1+4}+\sqrt{2x^2+4x+2+4}=4\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2x+1\right)+4}+\sqrt{2\left(x^2+2x+1\right)+4}=4\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{2\left(x+1\right)^2+4}=4\\ Do\text{ }\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{2\left(x+1\right)^2+4}=4\ge\sqrt{4}+\sqrt{4}=4\\ \text{Dấu "=" xảy ra khi }:x+1=0\\ \Leftrightarrow x=-1\)

\(z=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=\sqrt[3]{2\sqrt{2}+3.2+3\sqrt{2}+1}+\sqrt[3]{1-3.\sqrt{2}+3.2-2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(1-\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{2}+1+1-\sqrt{2}=2\)

Chỉ 1 dòng thôi :v

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{a+c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

a) điều kiện xác định : \(x>4\)

ta có :\(A=\dfrac{x\left(\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}\right)}{\sqrt{x^2-8x+16}}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{x\left(\sqrt{\left(\sqrt{x-4}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2}\right)}{\sqrt{\left(x-4\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}A=\dfrac{4x}{x-4}\left(x\ge8\right)\\A=\dfrac{2x}{\sqrt{x-4}}\left(4< x< 8\right)\end{matrix}\right.\)

b) th1 : \(A=\dfrac{4x}{x-4}=\dfrac{4x-16+16}{x-4}=4+\dfrac{16}{x-4}\le4+\dfrac{16}{4}\left(vìx\ge8\right)\)

\(\Rightarrow\) không có GTNN

th2: \(A=\dfrac{2x}{\sqrt{x-4}}\Leftrightarrow4x^2-Ax+4A\)

phương trình này luôn có nghiệm \(\Rightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow A^2-4.4.4A\ge0\)

\(\Leftrightarrow A^2-64A\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}A\ge64\\A\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không có GTNN

c) th1 : \(A=\dfrac{4x}{x-4}=\dfrac{4x-16+16}{x-4}=4+\dfrac{16}{x-4}\)

\(\Rightarrow\left(x-4\right)\) thuộc ước của \(16\) \(\Rightarrow\left(x-4\right)\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8;\pm16\right\}\)

\(\Rightarrow\) ..... nhớ điều kiện nha bn

th2: \(A=\dfrac{2x}{\sqrt{x-4}}\Rightarrow A^2=\dfrac{4x^2}{x-4}=\dfrac{4x^2-16x+16x}{x-4}=4x+\dfrac{16x}{x-4}\)

\(\Rightarrow...\) vì \(4< x< 8\Rightarrow x\in\left\{5;6;7\right\}\) thôi nên thế vào đủ điều kiện là nhận .

XétΔACH vuông tại H và ΔBCK vuông tại K có

góc C chung

Do đo: ΔACH đồng dạng với ΔBCK

Suy ra: AH/BK=AC/BC=CH/CK

hay \(AH\cdot CK=BK\cdot CH\)

=>\(AH^2\cdot CK^2=BK^2\cdot CH^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2\cdot CK^2=\dfrac{BK^2}{4}\cdot BC^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{BK^2}-\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{4AH^2}\)

hay \(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{4AH^2}+\dfrac{1}{BC^2}\)

Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\Rightarrow\left(xy+xz+yz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\x+z=0\\y+z=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\z=-x\\y=-z\end{matrix}\right.\)TH1: Nếu x=-y⇒x⁸-y⁸=x⁸-(-x)⁸=0 (Vì x⁸ và (-x)⁸ đều là số nguyên dương)⇒M=\(\text{​​}\dfrac{3}{4}+\left(x^8-y^8\right)\left(y^9-z^9\right)\left(z^{10}-x^{10}\right)=\dfrac{3}{4}\)

Tương tự với y=-z và z=-x

Vậy M=\(\dfrac{3}{4}\)

Lời giải:

ĐK: \(x\geq 1\)

Ta có:

PT \(\Leftrightarrow 2x^2+5x-1=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}\)

Đặt \(\sqrt{x^2+x+1}=a; \sqrt{x-1}=b(a,b\geq 0)\)

\(\Rightarrow 2a^2+3b^2=2x^2+5x-1\). PT trở thành:

\(2a^2+3b^2=7ab\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+3b^2-7ab=0\)

\(\Leftrightarrow (2a-b)(a-3b)=0\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} 2a=b\\ a=3b\end{matrix}\right.\)

Nếu \(2a=b\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x-1}\)

\(\Rightarrow 4(x^2+x+1)=x-1\)

\(\Rightarrow 4x^2+3x+5=0\)

\(\Rightarrow 3x^2+(x+\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}=0\) (vô lý)

Nếu \(a=3b\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+1}=3\sqrt{x-1}\)

\(\Rightarrow x^2+x+1=9(x-1)\)

\(\Rightarrow x^2-8x+10=0\Rightarrow x=4\pm \sqrt{6}\) (đều thỏa mãn)

Vậy............