Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Phạm Thúy An
Xem chi tiết
Akai Haruma
14 tháng 7 2018 lúc 0:06

Lời giải:

ĐK: \(x,y\geq 0; x+y\geq 2\)

Bình phương 2 vế thu được:

\(x+y-2=x+y+2+2\sqrt{xy}-2\sqrt{2x}-2\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow -2=2+2\sqrt{xy}-2\sqrt{2x}-2\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow 4+2\sqrt{xy}=2\sqrt{2x}+2\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})-2-\sqrt{xy}=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{2}-\sqrt{y})+\sqrt{2}(\sqrt{y}-\sqrt{2})=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{2}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{2})=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{2}-\sqrt{y}=0\rightarrow y=2\\ \sqrt{x}-\sqrt{2}=0\rightarrow x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \((x,y)=(2,y)\) với $y\geq 0$ bất kỳ hoặc \((x,y)=(x,2)\) với $x\geq 0$ bất kỳ.

Bình luận (0)
Komorebi
Xem chi tiết
Mysterious Person
22 tháng 7 2018 lúc 12:01

bài 2 ) ta có : \(\left(d_1\right)\cap\left(d_2\right)\) tại \(A\left(3\overset{.}{,}-1\right)\)

thế \(A\) vào \(\left(d_3\right)\) ta thấy thỏa mãn \(\Rightarrow\) \(\left(d_3\right)\) có đi qua giao điểm của \(\left(d_1\right)\)\(d_2\)

Bình luận (5)
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
22 tháng 7 2018 lúc 13:59

Bài 2 :

Tọa độ giao điểm của \(\left(d_1\right)\)\(\left(d_2\right)\) là nghiệm của phương trình :

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\-x+y=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Thế vào đường thẳng (d3) là ra .

Bình luận (1)
Lightning Farron
22 tháng 7 2018 lúc 15:50

\(A=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow A^3=9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}+3\left(\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\right)\sqrt[3]{\left(9+4\sqrt{5}\right)\left(9-4\sqrt{5}\right)}\)

\(\Leftrightarrow A^3=18+3A\)\(\Leftrightarrow A^3-3A-18=0\)

\(\Leftrightarrow\left(A-3\right)\left(A^2+3A+6\right)=0\)

De thay: \(A^2+3A+6=\left(A+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}>0\forall A\)

\(\Leftrightarrow A=3\)

Bình luận (1)
Ngoc An Pham
Xem chi tiết
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
23 tháng 7 2018 lúc 14:38

Ta có :

\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\right)^2\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)

Theo BĐT Bu - nhi - a - cốp - xki ta có :

\(\left(1^2+1^2\right)\left[\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\right]\ge\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\right)^2\)

\(\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\ge\left[\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\right]^2\)

Mà : \(\left(1^2+1^2\right)\left[\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\right]\ge\left[\left(a+b\right)+\left(c+d\right)\right]^2\)

\(\Rightarrow\) đpcm

Bình luận (0)
Mysterious Person
22 tháng 7 2018 lúc 11:42

áp dụng bất đẳng thức mincopxki ta có đpcm

Bình luận (0)
Nguyễn Quang Định
22 tháng 7 2018 lúc 11:55

Bình phương lên rồi chuyển vế tương đương nhé bạn! Tên gọi của bất đẳng thức này là Mincopxki

Bình luận (0)
Trần Hoàng Đạt
Xem chi tiết
Akai Haruma
21 tháng 7 2018 lúc 23:45

Lời giải:

ĐK: \(x\geq \frac{-1}{3}\)

Đặt \((\sqrt{x^2-x+1}, \sqrt{3x+1})=(a,b)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=x^2+2x+2\)

PT đã cho trở thành:

\(2xa+4b=a^2+b^2+x^2+4\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+x^2+4-2xa-4b=0\)

\(\Leftrightarrow (a-x)^2+(b-2)^2=0\)

Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (a-x)^2=0\\ (b-2)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-x+1}=x\\ \sqrt{3x+1}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=1\)

Thử lại thấy thỏa mãn.

Bình luận (0)
hong doan
Xem chi tiết
Hà Nam Phan Đình
14 tháng 10 2017 lúc 16:49

ĐKXĐ : \(x\ge\dfrac{5}{2}\)

Nhân \(\sqrt{2}\)vào cả hai vế phương trình thì phương trình trở thành :

\(\sqrt{2x-4+2\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}=14\)

Đặt \(\sqrt{2x-5}=y\) \(\left(y\ge0\right)\)thì phương trình trở thành :

\(\sqrt{y^2+2y+1}+\sqrt{y^2+6y+9}=14\)

\(\Leftrightarrow\left|y+1\right|+\left|y+3\right|=14\)\(y\ge0\)nên

\(\Leftrightarrow2y+4=14\) \(\Leftrightarrow y=5\)

\(\Leftrightarrow2x-5=25\)\(\Leftrightarrow x=15\left(TM\right)\)

Bình luận (0)
Nguyễn Thành Trương
21 tháng 7 2019 lúc 6:11

\(\sqrt {x - 2 + \sqrt {2x- 5} } + \sqrt {x + 2 + 3\sqrt {2x - 5} } = 7\sqrt 2 \)

Điều kiện: \(x \ge \dfrac{5}{2}\)

Nhân cả hai vế của phương trình với \(\sqrt{2}\), rồi biến đổi về dạng:

\(\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}+3\right)^2}=14\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-5}+1+\sqrt{2x-5}+3=14\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-5}=10\\ \Leftrightarrow2x-5=100\\ \Leftrightarrow2x=150\\ \Leftrightarrow x=15\left(TM\right)\)

Bình luận (0)
Dương Hải Minh
Xem chi tiết
Akai Haruma
14 tháng 7 2018 lúc 11:59

Lời giải:

Với dạng pt \(ax^2+bx+c=0\) (\(a,b,c\in\mathbb{Z})\) thì pt sẽ có 2 nghiệm:

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

a) \(x=2+\sqrt{3}\) là một nghiệm:

Do \(\frac{-b}{2a}\in\mathbb{Q}\)\(\Rightarrow \frac{-b}{2a}=2; \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}=\sqrt{3}\)

Suy ra nghiệm còn lại là: \(x_2=2-\sqrt{3}\)

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4\\ x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)

Theo đl Viete đảo, $x_1,x_2$ là nghiệm của: \(x^2-4x+1=0\)

b) Tương tự như phần a

Phương trình: \(x^2-12x+4=0\)

Bình luận (0)
Trần Quốc Lộc
14 tháng 7 2018 lúc 12:17

\(\text{a) }x=2+\sqrt{3}\\ \Rightarrow x-2=\sqrt{3}\\ \Rightarrow\left(x-2\right)^2=3\\ \Rightarrow x^2-4x+4=3\\ \Rightarrow x^2-4x+1=0\)

\(\text{b) }x=6-4\sqrt{2}\\ \Rightarrow x-6=-4\sqrt{2}\\ \Rightarrow\left(x-6\right)^2=32\\ \Rightarrow x^2-12x+36=32\\ \Rightarrow x^2-12x+4=0\)

Bình luận (0)
LY VÂN VÂN
14 tháng 7 2018 lúc 12:53

a) x = 2 + √3
⇒ x − 2 = √3
⇒ (x − 2)
2 = 3
⇒ x
2 − 4x + 4 = 3
⇒ x
2 − 4x + 1 = 0
b) x = 6 − 4√2
⇒ x − 6 = −4√2
⇒ (x − 6)
2 = 32
⇒ x
2 − 12x + 36 = 32

Bình luận (0)
Nguyễn Trần Thành Đạt
Xem chi tiết
Ngô Thị Thu Trang
13 tháng 7 2018 lúc 11:59

yeu

Bình luận (0)
Bé Của Nguyên
13 tháng 7 2018 lúc 15:15

ồ , hay đó , có mấy đề này , năm nay thi khỏi sợ rớt haha

Bình luận (0)
tranxuanrin
13 tháng 7 2018 lúc 15:34

Hóa nữa anh ơi!

Bình luận (0)
Vi Huỳnh
Xem chi tiết
Hung nguyen
5 tháng 7 2018 lúc 17:02

Rút gọn P:

\(P=\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}\)

\(\Rightarrow m\left(\sqrt{x}-3\right)P>x+1\)

\(\Leftrightarrow4mx>x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(4m-1\right)x>1\)(1)

Xét \(4m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{4}\)(loại vì (1) sai)

\(\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{4m-1}\)

Xét \(\dfrac{1}{4m-1}< 0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x>9\end{matrix}\right.\)(loại)

Xét \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m-1>0\\\dfrac{1}{4m-1}\le9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{5}{18}\)

Bình luận (2)
Mysterious Person
7 tháng 7 2018 lúc 12:10

ta có : \(P=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\dfrac{8x}{4-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\)

\(P=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\dfrac{8x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right):\left(\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\)

\(P=\left(\dfrac{4\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)+8x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right):\left(\dfrac{1-\sqrt{x}-2\left(2-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}\right)\)

\(P=\left(\dfrac{8\sqrt{x}-4x+8x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right):\left(\dfrac{1-\sqrt{x}-4+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}\right)\) \(P=\left(\dfrac{8\sqrt{x}+4x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}\right)\) \(P=\left(\dfrac{8\sqrt{x}+4x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right).\left(\dfrac{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}-3}\right)\)

\(P=\dfrac{4\sqrt{x}\left(2+\sqrt{x}\right)\sqrt{x}}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}\)

\(\Rightarrow m\left(\sqrt{x}-3\right)P>x+1\Leftrightarrow4mx>x+1\Leftrightarrow\left(4m-1\right)x>1\) (1)

th1: \(m=\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) loại vì (1) vô nghĩa

th2: \(m>\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow x>\dfrac{1}{4m-1}\)\(x>9\)

\(\Rightarrow\) để \(x>9\) là điều chắc chắn thì \(\dfrac{1}{4m-1}\ge9\Leftrightarrow1\ge36m-9\Leftrightarrow m\le\dfrac{5}{18}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}< m\le\dfrac{5}{18}\)

th3: \(m< \dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow x< \dfrac{1}{4m-1}\)\(x>9\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{4m-1}>9\) \(\Leftrightarrow\) \(m< \dfrac{5}{18}\)

\(\Rightarrow m< \dfrac{1}{4}\)

vậy \(\dfrac{1}{4}< m\le\dfrac{5}{18}\) hoặc \(m< \dfrac{1}{4}\)

Bình luận (8)
Trần Huỳnh Cẩm Hân
Xem chi tiết
Dương Thị Trà My
Xem chi tiết
Akai Haruma
23 tháng 5 2018 lúc 18:51

Lời giải:

\(a,b,c\in [-2;5]\) nên:

\(\left\{\begin{matrix} (a+2)(a-5)\leq 0\\ (b+2)(b-5)\leq 0\\ (c+2)(c-5)\leq 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 3a+10\\ b^2\leq 3b+10\\ c^2\leq 3c+10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 3a+10\\ 2b^2\leq 6b+20\\ 3c^2\leq 9c+30\end{matrix}\right. \)

Do đó:

\(a^2+2b^2+3c^2\leq 3(a+2b+3c)+60\)

\(a+2b+3c\leq 2\)

\(\Rightarrow a^2+2b^2+3c^2\leq 3.2+60=66\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-2,5,-2)\)

Bình luận (0)