Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Akai Haruma
14 tháng 7 2018 lúc 0:06

Lời giải:

ĐK: \(x,y\geq 0; x+y\geq 2\)

Bình phương 2 vế thu được:

\(x+y-2=x+y+2+2\sqrt{xy}-2\sqrt{2x}-2\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow -2=2+2\sqrt{xy}-2\sqrt{2x}-2\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow 4+2\sqrt{xy}=2\sqrt{2x}+2\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})-2-\sqrt{xy}=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{2}-\sqrt{y})+\sqrt{2}(\sqrt{y}-\sqrt{2})=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{2}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{2})=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{2}-\sqrt{y}=0\rightarrow y=2\\ \sqrt{x}-\sqrt{2}=0\rightarrow x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \((x,y)=(2,y)\) với $y\geq 0$ bất kỳ hoặc \((x,y)=(x,2)\) với $x\geq 0$ bất kỳ.

Bình luận (0)
Mysterious Person
22 tháng 7 2018 lúc 12:01

bài 2 ) ta có : \(\left(d_1\right)\cap\left(d_2\right)\) tại \(A\left(3\overset{.}{,}-1\right)\)

thế \(A\) vào \(\left(d_3\right)\) ta thấy thỏa mãn \(\Rightarrow\) \(\left(d_3\right)\) có đi qua giao điểm của \(\left(d_1\right)\)\(d_2\)

Bình luận (5)
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
22 tháng 7 2018 lúc 13:59

Bài 2 :

Tọa độ giao điểm của \(\left(d_1\right)\)\(\left(d_2\right)\) là nghiệm của phương trình :

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\-x+y=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Thế vào đường thẳng (d3) là ra .

Bình luận (1)
Lightning Farron
22 tháng 7 2018 lúc 15:50

\(A=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow A^3=9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}+3\left(\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\right)\sqrt[3]{\left(9+4\sqrt{5}\right)\left(9-4\sqrt{5}\right)}\)

\(\Leftrightarrow A^3=18+3A\)\(\Leftrightarrow A^3-3A-18=0\)

\(\Leftrightarrow\left(A-3\right)\left(A^2+3A+6\right)=0\)

De thay: \(A^2+3A+6=\left(A+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}>0\forall A\)

\(\Leftrightarrow A=3\)

Bình luận (1)
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
23 tháng 7 2018 lúc 14:38

Ta có :

\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\right)^2\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)

Theo BĐT Bu - nhi - a - cốp - xki ta có :

\(\left(1^2+1^2\right)\left[\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\right]\ge\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\right)^2\)

\(\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\ge\left[\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\right]^2\)

Mà : \(\left(1^2+1^2\right)\left[\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\right]\ge\left[\left(a+b\right)+\left(c+d\right)\right]^2\)

\(\Rightarrow\) đpcm

Bình luận (0)
Mysterious Person
22 tháng 7 2018 lúc 11:42

áp dụng bất đẳng thức mincopxki ta có đpcm

Bình luận (0)
Nguyễn Quang Định
22 tháng 7 2018 lúc 11:55

Bình phương lên rồi chuyển vế tương đương nhé bạn! Tên gọi của bất đẳng thức này là Mincopxki

Bình luận (0)
Akai Haruma
21 tháng 7 2018 lúc 23:45

Lời giải:

ĐK: \(x\geq \frac{-1}{3}\)

Đặt \((\sqrt{x^2-x+1}, \sqrt{3x+1})=(a,b)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=x^2+2x+2\)

PT đã cho trở thành:

\(2xa+4b=a^2+b^2+x^2+4\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+x^2+4-2xa-4b=0\)

\(\Leftrightarrow (a-x)^2+(b-2)^2=0\)

Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (a-x)^2=0\\ (b-2)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-x+1}=x\\ \sqrt{3x+1}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=1\)

Thử lại thấy thỏa mãn.

Bình luận (0)
Hà Nam Phan Đình
14 tháng 10 2017 lúc 16:49

ĐKXĐ : \(x\ge\dfrac{5}{2}\)

Nhân \(\sqrt{2}\)vào cả hai vế phương trình thì phương trình trở thành :

\(\sqrt{2x-4+2\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}=14\)

Đặt \(\sqrt{2x-5}=y\) \(\left(y\ge0\right)\)thì phương trình trở thành :

\(\sqrt{y^2+2y+1}+\sqrt{y^2+6y+9}=14\)

\(\Leftrightarrow\left|y+1\right|+\left|y+3\right|=14\)\(y\ge0\)nên

\(\Leftrightarrow2y+4=14\) \(\Leftrightarrow y=5\)

\(\Leftrightarrow2x-5=25\)\(\Leftrightarrow x=15\left(TM\right)\)

Bình luận (0)
Nguyễn Thành Trương
21 tháng 7 2019 lúc 6:11

\(\sqrt {x - 2 + \sqrt {2x- 5} } + \sqrt {x + 2 + 3\sqrt {2x - 5} } = 7\sqrt 2 \)

Điều kiện: \(x \ge \dfrac{5}{2}\)

Nhân cả hai vế của phương trình với \(\sqrt{2}\), rồi biến đổi về dạng:

\(\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}+3\right)^2}=14\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-5}+1+\sqrt{2x-5}+3=14\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-5}=10\\ \Leftrightarrow2x-5=100\\ \Leftrightarrow2x=150\\ \Leftrightarrow x=15\left(TM\right)\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
14 tháng 7 2018 lúc 11:59

Lời giải:

Với dạng pt \(ax^2+bx+c=0\) (\(a,b,c\in\mathbb{Z})\) thì pt sẽ có 2 nghiệm:

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

a) \(x=2+\sqrt{3}\) là một nghiệm:

Do \(\frac{-b}{2a}\in\mathbb{Q}\)\(\Rightarrow \frac{-b}{2a}=2; \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}=\sqrt{3}\)

Suy ra nghiệm còn lại là: \(x_2=2-\sqrt{3}\)

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4\\ x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)

Theo đl Viete đảo, $x_1,x_2$ là nghiệm của: \(x^2-4x+1=0\)

b) Tương tự như phần a

Phương trình: \(x^2-12x+4=0\)

Bình luận (0)
Trần Quốc Lộc
14 tháng 7 2018 lúc 12:17

\(\text{a) }x=2+\sqrt{3}\\ \Rightarrow x-2=\sqrt{3}\\ \Rightarrow\left(x-2\right)^2=3\\ \Rightarrow x^2-4x+4=3\\ \Rightarrow x^2-4x+1=0\)

\(\text{b) }x=6-4\sqrt{2}\\ \Rightarrow x-6=-4\sqrt{2}\\ \Rightarrow\left(x-6\right)^2=32\\ \Rightarrow x^2-12x+36=32\\ \Rightarrow x^2-12x+4=0\)

Bình luận (0)
LY VÂN VÂN
14 tháng 7 2018 lúc 12:53

a) x = 2 + √3
⇒ x − 2 = √3
⇒ (x − 2)
2 = 3
⇒ x
2 − 4x + 4 = 3
⇒ x
2 − 4x + 1 = 0
b) x = 6 − 4√2
⇒ x − 6 = −4√2
⇒ (x − 6)
2 = 32
⇒ x
2 − 12x + 36 = 32

Bình luận (0)
Ngô Thị Thu Trang
13 tháng 7 2018 lúc 11:59

yeu

Bình luận (0)
Bé Của Nguyên
13 tháng 7 2018 lúc 15:15

ồ , hay đó , có mấy đề này , năm nay thi khỏi sợ rớt haha

Bình luận (0)
tranxuanrin
13 tháng 7 2018 lúc 15:34

Hóa nữa anh ơi!

Bình luận (0)
Hung nguyen
5 tháng 7 2018 lúc 17:02

Rút gọn P:

\(P=\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}\)

\(\Rightarrow m\left(\sqrt{x}-3\right)P>x+1\)

\(\Leftrightarrow4mx>x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(4m-1\right)x>1\)(1)

Xét \(4m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{4}\)(loại vì (1) sai)

\(\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{4m-1}\)

Xét \(\dfrac{1}{4m-1}< 0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x>9\end{matrix}\right.\)(loại)

Xét \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m-1>0\\\dfrac{1}{4m-1}\le9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{5}{18}\)

Bình luận (2)
Mysterious Person
7 tháng 7 2018 lúc 12:10

ta có : \(P=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\dfrac{8x}{4-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\)

\(P=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\dfrac{8x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right):\left(\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\)

\(P=\left(\dfrac{4\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)+8x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right):\left(\dfrac{1-\sqrt{x}-2\left(2-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}\right)\)

\(P=\left(\dfrac{8\sqrt{x}-4x+8x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right):\left(\dfrac{1-\sqrt{x}-4+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}\right)\) \(P=\left(\dfrac{8\sqrt{x}+4x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}\right)\) \(P=\left(\dfrac{8\sqrt{x}+4x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right).\left(\dfrac{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}-3}\right)\)

\(P=\dfrac{4\sqrt{x}\left(2+\sqrt{x}\right)\sqrt{x}}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}\)

\(\Rightarrow m\left(\sqrt{x}-3\right)P>x+1\Leftrightarrow4mx>x+1\Leftrightarrow\left(4m-1\right)x>1\) (1)

th1: \(m=\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) loại vì (1) vô nghĩa

th2: \(m>\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow x>\dfrac{1}{4m-1}\)\(x>9\)

\(\Rightarrow\) để \(x>9\) là điều chắc chắn thì \(\dfrac{1}{4m-1}\ge9\Leftrightarrow1\ge36m-9\Leftrightarrow m\le\dfrac{5}{18}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}< m\le\dfrac{5}{18}\)

th3: \(m< \dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow x< \dfrac{1}{4m-1}\)\(x>9\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{4m-1}>9\) \(\Leftrightarrow\) \(m< \dfrac{5}{18}\)

\(\Rightarrow m< \dfrac{1}{4}\)

vậy \(\dfrac{1}{4}< m\le\dfrac{5}{18}\) hoặc \(m< \dfrac{1}{4}\)

Bình luận (8)
Akai Haruma
23 tháng 5 2018 lúc 18:51

Lời giải:

\(a,b,c\in [-2;5]\) nên:

\(\left\{\begin{matrix} (a+2)(a-5)\leq 0\\ (b+2)(b-5)\leq 0\\ (c+2)(c-5)\leq 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 3a+10\\ b^2\leq 3b+10\\ c^2\leq 3c+10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 3a+10\\ 2b^2\leq 6b+20\\ 3c^2\leq 9c+30\end{matrix}\right. \)

Do đó:

\(a^2+2b^2+3c^2\leq 3(a+2b+3c)+60\)

\(a+2b+3c\leq 2\)

\(\Rightarrow a^2+2b^2+3c^2\leq 3.2+60=66\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-2,5,-2)\)

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN