Căn bậc hai. Căn bậc ba

Tan Thuy Hoang
Tan Thuy Hoang CTV 18 giờ trước (22:27)

Ta có a < b + c; b < c + a; c < a + b nên từ a + b + c = 2 suy ra a, b, c < 1.

BĐT cần cm tương đương:

\(\left(a+b+c\right)^2+2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)+2\)

\(\Leftrightarrow abc-\left(ab+bc+ca\right)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\).

Bất đẳng thức trên luôn đúng do a, b, c < 1.

Vậy ta có đpcm.

 

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 16 giờ trước (0:01)

Đặt vế trái của BĐT là P:

\(P=\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}+\sqrt{2b.\left(a+1\right)}\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(a+2+b+2\right)+\dfrac{1}{2}\left(2b+a+1\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(2a+3b+5\right)=\dfrac{1}{2}.2024=1012\)

Dấu "=" không xảy ra

Bình luận (0)
Hồng Phúc
Hồng Phúc CTV Hôm qua lúc 13:00

Áp dụng BĐT BSC:

\(\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\dfrac{zx}{z+x+2y}}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(x+y+2z\right)}}+\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(y+z+2x\right)}}+\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(z+x+2y\right)}}\)

\(\le\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}+\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}+2\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}+2\sqrt{y}}\)

\(\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{z}+\sqrt{y}}+\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{z}+\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{9}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh
Nguyễn Lê Phước Thịnh CTV 17 tháng 1 lúc 18:17

Ta có: \(P=\sqrt{\left(1+x\right)^2}+\sqrt{\left(1-x\right)^2}\)

\(=\left|1+x\right|+\left|1-x\right|\)

\(=1+x+\left|1-x\right|\)

\(=\left[{}\begin{matrix}1+x+1-x\left(x\le1\right)\\1+x+x-1\left(x>1\right)\end{matrix}\right.\)

\(=\left[{}\begin{matrix}2\\2x\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Lightning Farron
Lightning Farron 21 tháng 6 2017 lúc 22:33

làm rõ \(\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}-\frac{3}{2}=\sum_{cyc}\left(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}\right)=\sum_{cyc}\frac{a-b}{2(a+b)}\)

\(=\sum_{cyc}\frac{(a-b)(c^2+ab+ac+bc)}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\sum_{cyc}\frac{c^2a-c^2b}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}\)

\(=\sum_{cyc}\frac{a^2b-a^2c}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}\geq0\) (đúng)

Bình luận (4)
Lightning Farron
Lightning Farron 21 tháng 6 2017 lúc 23:52

ok thỏa thuận rồi tui làm nửa sau thui nhé :D

Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\) thì ta có:

\(VT=\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{y}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+z}}\)

Lại có: \(\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}=\sqrt{\dfrac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\cdot\sqrt{x+z}}\)

Tương tự cộng theo vế rồi áp dụng BĐT C-S ta có:

\(VT^2\le2\left(x+y+z\right)\left[\dfrac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]\)

\(\Leftrightarrow VT^2\le\dfrac{4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)

\(VP^2=\dfrac{9}{2}\) nên cần cm \(VT\le \frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow9\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)

Can you continue

Bình luận (1)
Nguyễn Duy Khang
Nguyễn Duy Khang CTV 15 tháng 1 lúc 15:09

Cách 1:

Áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) ta có:

\(Q=x-2\sqrt{2x-1}=x-\sqrt{4\left(2x-1\right)}\ge x-\dfrac{4+2x-1}{2}=-\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(Q_{min}=-\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\)

Cách 2:

\(Q=x-2\sqrt{2x-1}\\ \Leftrightarrow2Q=2x-4\sqrt{2x-1}\\ \Leftrightarrow2Q=\left(2x-1\right)-4\sqrt{2x-1}+1\\ \Leftrightarrow2Q=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}-4\sqrt{2x-1}+4-3\\ \Leftrightarrow2Q=\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^2-3\\ mà:\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^2\ge0\forall x\ge\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^2-3\ge-3\forall x\ge\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow2Q_{min}=-3\\ \Leftrightarrow Q_{min}=-\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\\ VậyQ_{min}=-\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 13 tháng 1 lúc 11:36

\(GT\Rightarrow a+b=5\)

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{4}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{5}{2}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 13 tháng 1 lúc 11:33

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+2a^2b^2-2a^3b-2ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 12 tháng 1 lúc 17:06

\(n^2+2002=k^2\Rightarrow k^2-n^2=2002\)

\(\Rightarrow\left(k-n\right)\left(k+n\right)=2002\)

Do \(\left(k-n\right)+\left(k+n\right)=2k\) chẵn nên \(\left(k-n\right)\) và \(\left(k+n\right)\) cùng chẵn

Bạn chỉ cần xét các cặp ước chẵn của 2002

Bình luận (0)
Tan Thuy Hoang
Tan Thuy Hoang CTV 12 tháng 1 lúc 18:11

Ta thấy n2 chia cho 4 dư 0 hoặc 1 nên n2 + 2002 chia cho 4 dư 2 hoặc 3.

Do đó n2 + 2002 không thể là số chính phương.

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN