# Căn bậc hai. Căn bậc ba

Tan Thuy Hoang CTV 18 giờ trước (22:27)

Ta có a < b + c; b < c + a; c < a + b nên từ a + b + c = 2 suy ra a, b, c < 1.

BĐT cần cm tương đương:

$\left(a+b+c\right)^2+2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)+2$

$\Leftrightarrow abc-\left(ab+bc+ca\right)+1< 0$

$\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0$.

Bất đẳng thức trên luôn đúng do a, b, c < 1.

Vậy ta có đpcm.

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 16 giờ trước (0:01)

Đặt vế trái của BĐT là P:

$P=\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}+\sqrt{2b.\left(a+1\right)}$

$P\le\dfrac{1}{2}\left(a+2+b+2\right)+\dfrac{1}{2}\left(2b+a+1\right)$

$P\le\dfrac{1}{2}\left(2a+3b+5\right)=\dfrac{1}{2}.2024=1012$

Dấu "=" không xảy ra

Bình luận (0)
Hồng Phúc CTV Hôm qua lúc 13:00

Áp dụng BĐT BSC:

$\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\dfrac{zx}{z+x+2y}}$

$=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(x+y+2z\right)}}+\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(y+z+2x\right)}}+\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(z+x+2y\right)}}$

$\le\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}+\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}+2\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}+2\sqrt{y}}$

$\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{z}+\sqrt{y}}+\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)$

$=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{z}+\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)$

$=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}\right)$

$=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)=\dfrac{1}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{9}$

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh CTV 17 tháng 1 lúc 18:17

Ta có: $P=\sqrt{\left(1+x\right)^2}+\sqrt{\left(1-x\right)^2}$

$=\left|1+x\right|+\left|1-x\right|$

$=1+x+\left|1-x\right|$

$=\left[{}\begin{matrix}1+x+1-x\left(x\le1\right)\\1+x+x-1\left(x>1\right)\end{matrix}\right.$

$=\left[{}\begin{matrix}2\\2x\end{matrix}\right.$

Bình luận (0)
Lightning Farron 21 tháng 6 2017 lúc 22:33

làm rõ $\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}-\frac{3}{2}=\sum_{cyc}\left(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}\right)=\sum_{cyc}\frac{a-b}{2(a+b)}$

$=\sum_{cyc}\frac{(a-b)(c^2+ab+ac+bc)}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\sum_{cyc}\frac{c^2a-c^2b}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}$

$=\sum_{cyc}\frac{a^2b-a^2c}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}\geq0$ (đúng)

Bình luận (4)
Lightning Farron 21 tháng 6 2017 lúc 23:52

ok thỏa thuận rồi tui làm nửa sau thui nhé :D

Đặt $a^2=x;b^2=y;c^2=z$ thì ta có:

$VT=\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{y}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+z}}$

Lại có: $\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}=\sqrt{\dfrac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\cdot\sqrt{x+z}}$

Tương tự cộng theo vế rồi áp dụng BĐT C-S ta có:

$VT^2\le2\left(x+y+z\right)\left[\dfrac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]$

$\Leftrightarrow VT^2\le\dfrac{4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}$

$VP^2=\dfrac{9}{2}$ nên cần cm $VT\le \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow9\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)$

Can you continue

Bình luận (1)
Nguyễn Duy Khang CTV 15 tháng 1 lúc 15:09

Cách 1:

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:

$Q=x-2\sqrt{2x-1}=x-\sqrt{4\left(2x-1\right)}\ge x-\dfrac{4+2x-1}{2}=-\dfrac{3}{2}$

Vậy $Q_{min}=-\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$

Cách 2:

$Q=x-2\sqrt{2x-1}\\ \Leftrightarrow2Q=2x-4\sqrt{2x-1}\\ \Leftrightarrow2Q=\left(2x-1\right)-4\sqrt{2x-1}+1\\ \Leftrightarrow2Q=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}-4\sqrt{2x-1}+4-3\\ \Leftrightarrow2Q=\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^2-3\\ mà:\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^2\ge0\forall x\ge\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^2-3\ge-3\forall x\ge\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow2Q_{min}=-3\\ \Leftrightarrow Q_{min}=-\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\\ VậyQ_{min}=-\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 13 tháng 1 lúc 11:36

$GT\Rightarrow a+b=5$

$P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{4}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\dfrac{5}{2}$

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 13 tháng 1 lúc 11:33

$\Leftrightarrow a^4+b^4+2a^2b^2-2a^3b-2ab^3\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a-b\right)^2\ge0$ (luôn đúng)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 12 tháng 1 lúc 17:06

$n^2+2002=k^2\Rightarrow k^2-n^2=2002$

$\Rightarrow\left(k-n\right)\left(k+n\right)=2002$

Do $\left(k-n\right)+\left(k+n\right)=2k$ chẵn nên $\left(k-n\right)$ và $\left(k+n\right)$ cùng chẵn

Bạn chỉ cần xét các cặp ước chẵn của 2002

Bình luận (0)
Tan Thuy Hoang CTV 12 tháng 1 lúc 18:11

Ta thấy n2 chia cho 4 dư 0 hoặc 1 nên n2 + 2002 chia cho 4 dư 2 hoặc 3.

Do đó n2 + 2002 không thể là số chính phương.

Bình luận (0)