Bài 9: Căn bậc ba

a) \(\sqrt[3]{27a^3}\) - 2a

= 3a - 2a = a

b) \(\sqrt[3]{27a^3}\) - \(\sqrt[3]{-8a^3}\)- \(\sqrt[3]{125a^3}\)

= 3a + 2a - 5a = 0

Lời giải:

a) \(\frac{1}{1-\sqrt[3]{5}}=\frac{1+\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{5^2}}{(1-\sqrt[3]{5})(1+\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25})}\) \(=\frac{1+\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25}}{1^3-5}=\frac{1+\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25}}{-4}\)

b)

\(\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}=\frac{\sqrt[3]{2^2}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3^2}}{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{2^2}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3^2})}\) \(=\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}{2+3}=\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}{5}\)

c)

\(\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{2}-1}{(\sqrt[3]{2}-1)(\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2}+1)}=\frac{\sqrt[3]{2}-1}{2-1}=\sqrt[3]{2}-1\)

Câu 1:

ĐK: \(4\leq x\leq 6\)

Ta thấy biểu thức vế trái luôn không âm theo tính chất căn bậc 2

Vế phải: \(x^2-10x-27=x(x-10)-27< 0-27< 0\) với mọi \(4\leq x\leq 6\), tức là biểu thức vế phải luôn âm

Do đó pt vô nghiệm

Câu 2:

\(x\geq -3; y\geq 3; z\geq 3\)

Ta có: \(\sqrt{x+3}+\sqrt{y-3}+\sqrt{z-3}=\frac{1}{2}(x+y+z)\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{x+3}+2\sqrt{y-3}+2\sqrt{z-3}=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow (x+3-2\sqrt{x+3}+1)+(y-3-2\sqrt{y-3}+1)+(z-3-2\sqrt{z-3}+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+3}-1)^2+(\sqrt{y-3}-1)^2+(\sqrt{z-3}-1)^2=0\)

Vì \((\sqrt{x+3}-1)^2; (\sqrt{y-3}-1)^2; (\sqrt{z-3}-1)^2\) đều không âm nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

\((\sqrt{x+3}-1)^2=(\sqrt{y-3}-1)^2=(\sqrt{z-3}-1)^2=0\)

\(\Rightarrow x=-2; y=z=4\)

Câu 3:

ĐK: \(x\geq 0; y\geq 1\)

\(x+y+4=2\sqrt{x}+4\sqrt{y-1}\)

\(\Leftrightarrow (x-2\sqrt{x}+1)+(y-1-4\sqrt{y-1}+4)=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2+(\sqrt{y-1}-2)^2=0\)

Vì \((\sqrt{x}-1)^2\geq 0; (\sqrt{y-1}-2)^2\geq 0\) nên để tổng của chúng bẳng $0$ thì:

\((\sqrt{x}-1)^2=(\sqrt{y-1}-2)^2=0\)

\(\Rightarrow x=1; y=5\) (thỏa mãn)

\(=\sqrt[3]{2\sqrt{5}}\cdot\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\right)\)

\(=2\cdot\sqrt[3]{2\sqrt{5}\left(2+\sqrt{5}\right)}\)

A=3

\(A^3=9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}+3\cdot A\)

=>A^3-3A-18=0

=>A=3

\(M=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow M^3=7+5\sqrt{2}+7-5\sqrt{2}+3\left(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\right)\sqrt[3]{\left(7+5\sqrt{2}\right)\left(7-5\sqrt{2}\right)}\)

\(\Leftrightarrow M^3=14-3M\)

\(\Leftrightarrow M^3-14+3M=0\)

\(\Leftrightarrow\left(M-2\right)\left(M^2+2M+7\right)=0\)

De thay: \(M^2+2M+7=\left(M+1\right)^2+6>0\forall M\)

\(\Leftrightarrow M=2>\dfrac{4}{\sqrt[3]{9}}=N\)

\(\sqrt[3]{261}\approx6,4\)