Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Lời giải:

a. Xét tam giác $DEC$ và $ABC$ có:
$\widehat{C}$ chung

$\widehat{EDC}=\widehat{BAC}=90^0$ 

$\Rightarrow \triangle DEC\sim \triangle ABC$ (g.g)

b. 

Từ tam giác đồng dạng phần a suy ra $\frac{DE}{DC}=\frac{AB}{AC}(1)$

Vì $AD$ là phân giác của góc $\widehat{A}$ nên:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \frac{DE}{DC}=\frac{BD}{DC}$

$\Rightarrow DE=BD$ (đpcm)

Hình vẽ:

a: Xét ΔBAC vuông tại A và ΔDCB vuông tại C có

BA/DC=AC/CB

=>ΔBAC đồng dạng với ΔDCB

b: ΔBAC đồng dạng với ΔDCB

=>góc ACB=góc CBD

=>AC//BD

\(\left(\dfrac{2}{3}xy^2\right)\left(x^2y-xy+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}\right)\)

\(=\dfrac{2}{3}x^3y^3-\dfrac{2}{3}x^2y^3+\dfrac{1}{3}x^2y^2+\dfrac{1}{6}xy^2\)

`(2/3xy^2)(x^2y-xy+x/2+1/4)`

`=2/3x^3y^3-2/3x^2y^3+1/3x^2y^2+1/6`

Áp dụng định lý pitago: \(AC=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15\left(cm\right)\)

Xét tam giác HBA và tam giác ABC, có:

\(\widehat{BHA}=\widehat{ABC}=90^o\)

\(\widehat{A}\): chung

Vậy tam giác HAB đồng dạng tam giác BAC ( g.g )

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HB}{BC}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB^2}{AC}=\dfrac{12^2}{15}=9,6\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HB=\dfrac{AB.BC}{AC}=\dfrac{12.9}{15}=7,2\left(cm\right)\)

\(S_{AHB}=\dfrac{1}{2}.AH.HB=\dfrac{1}{2}.9,6.7,2=34,56\left(cm^2\right)\)

a,

Xét Δ HBA và Δ BAC, có :

\(\widehat{BHA}=\widehat{ABC}=90^o\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAB}\) (cùng phụ \(\widehat{ABC}\))

=> Δ HBA ~ Δ BAC (g.g)

b,

Xét Δ ABC vuông tại B, có :

\(AC^2=AB^2+BC^2\) (Py - ta - go)

=> \(AC^2=12^2+9^2\)

=> AC = 15 (cm)

Ta có : Δ HBA ~ Δ BAC (cmt)

=> \(\dfrac{HA}{BC}=\dfrac{BA}{AC}\)

=> \(\dfrac{HA}{9}=\dfrac{12}{15}\)

=> HA = 7,2 (cm)

c,

Xét Δ AHD vuông tại H, có :

\(AD^2=AH^2+DH^2\) (Py - ta - go)

=> \(9^2=7,2^2+DH^2\)

=> DH = 5,4 (cm)

Ta có : BD = BH + DH

=> 15 = BH + 5,4

=> BH = 9,6 (cm)

Ta có :

\(S_{\text{Δ}AHB}=\dfrac{1}{2}.AH.HB\)

=> \(S_{\text{Δ}AHB}=34,56\left(cm^2\right)\)

a,

Xét Δ AHB và Δ CAB, có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^o\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CBA}\) (góc chung)

=> Δ AHB ∾ Δ CAB (g.g)

=> \(\dfrac{AH}{CA}=\dfrac{HB}{AB}\)

=> \(\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{HB}{AH}\)

Xét Δ AHB và Δ CHA, có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^o\)

\(\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{HB}{AH}\) (cmt)

=> Δ AHB ∾ Δ CHA (g.g)

=> \(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\)

=> \(AH^2=HB.CH\)

b, Ta có : \(AH^2=BH.CH\) (cmt)

=> \(AH^2=4.9\)

=> \(AH^2=36\)

=> AH = 6

Xét Δ AHB, có :

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

=> \(AB^2=6^2+4^2\)

=> \(AB^2=52\)

=> AB = 7,2 (cm)

Xét Δ AHC, có :

\(AC^2=AH^2+CH^2\)

=> \(AC^2=6^2+9^2\)

=> \(AC^2=117\)

=> AC = 10,8 (cm)

Xét Δ ABC, có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=> \(BC^2=7,2^2+10,8^2\)

=> \(BC^2=168,48\)

=> BC = 12,9 (cm)

Ta có : MC = \(\dfrac{1}{2}BC\) (M là trung điểm BC do có đường trung tuyến AM)

=> MC = 6,45 (cm)

Ta có : BC = BH + HM + MC

=> 12,9 = 4 + HM + 6,45

=> HM = 12,9 - 4 - 6,45

=> HM = 2,45 (cm)

Xét Δ AMH vuông tại H, có :

\(S_{\Delta AMH}=\dfrac{1}{2}AH.HM\)

=> \(S_{\Delta AMH}=\dfrac{1}{2}.6.2,45\)

=> \(S_{\Delta AMH}=7,35\left(cm\right)\)

a, Xét Δ ABC và Δ CBH

Ta có : \(\widehat{ACB}=\widehat{CHB}=90^o\)

            \(\widehat{ABC}=\widehat{CBH}\) (góc chung)

=> Δ ABC ∾ Δ CBH (g.g)

b, Ta có : Δ ABC ∾ Δ CBH (cmt)

=> \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BC}{BH}\)

=> \(BC^2=AB.BH\)

c,

Ta có : AB = AH + HB

=> AB = 4 + 9

=> AB = 13 (cm)

Ta có : \(BC^2=AB.BH\left(cmt\right)\)

=> \(BC^2=13.9\)

=> \(BC^2=117\)

=> BC = 10,8 (cm)

Xét Δ ABC

Ta có : \(AB^2=AC^2+BC^2\)

=> \(13^2=AC^2+10,8^2\)

=> \(169=AC^2+116,64\)

=> \(169-116,64=AC^2\)

=> \(52,36=AC^2\)

=> AC = 7,2 (cm)

Xét Δ ABC vuông tại C

=> \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{AC.BC}{2}\)

=> \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{7,2.10,8}{2}\)

=> \(S_{\Delta ABC}=38,88\left(cm^2\right)\)

a, Xét Δ ABC và Δ CBH

Ta có : 

             (góc chung)

=> Δ ABC ∾ Δ CBH (g.g)

b, Ta có : Δ ABC ∾ Δ CBH (cmt)

=> ABCB=BCBHABCB=BCBH

=> BC2=AB.BH

c,

Ta có : AB = AH + HB

=> AB = 4 + 9

=> AB = 13 (cm)

Ta có : BC2=AB.BH(cmt)BC2=AB.BH(cmt)

=> BC2=13.9BC2=13.9

=> BC2=117BC2=117

=> BC = 10,8 (cm)

Xét Δ ABC

Ta có : AB2=AC2+BC2AB2=AC2+BC2

=> 132=AC2+10,82132=AC2+10,82

=> 169=AC2+116,64169=AC2+116,64

=> 169−116,64=SΔABC=7,2.10,82SΔABC=7,2.10,82

=> SΔABC=38,88(cm2)

a) Xét △ABD và △CBE có:

\(\widehat{ADB}=\widehat{BEC}=90^o\)

\(\widehat{B}chung\)

Nên △ABD ∼ △CBE(g.g)

b)Theo câu a, ta có: △ABD ∼ △CB E 

<=>\(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BD}{BE}\Leftrightarrow AB.BE=BD.BC\)

c)Ta có:

\(BE=\dfrac{BD.BC}{AB}=\dfrac{3.12}{9}=4\left(cm\right)\)

c:Xét ΔABD và ΔNCH có

góc ABD=góc NCH

góc D=góc NHC

=>ΔABD đồng dạng với ΔNCH