§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

\(\sqrt{x^2+5x+4}\ge2x+2\) (ĐKXĐ: \(x\ge-1\))

\(\Leftrightarrow x^2+5x+4=4x^2+8x+4\)

\(\Leftrightarrow-3x^2-3x=0\)

\(\Leftrightarrow-3x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-3x=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\) (TMĐK)

Vậy \(S=\left\{0;-1\right\}\)

https://meet.google.com/ais-xuwi-vhc

1: \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-3>5\\2x-3< -5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>5\\x< -1\end{matrix}\right.\)

2: \(\Leftrightarrow-4< =2x-1< =4\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-1>=-4\\2x-1< =4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{-3}{2}< =x< =\dfrac{5}{2}\)

Tham khảo tại đây nhé : https://hoc247.net/hoi-dap/toan-8/giai-bat-phuong-trinh-2x-3-5-faq206164.html

Ta có: |2x-3|>5

=>2x-3>5 hoặc 2x-3<-5

=>x>4 hoặc x<-1

\(m\left(x-m\right)\le4x+5.\left(1\right)\\ \Leftrightarrow mx-m^2-4x-5\le0.\\ \Leftrightarrow\left(m-4\right)x\le5+m^2.\circledast\)

+) Nếu \(m-4>0.\Leftrightarrow m>4.\)

Khi \(\circledast\) có nghiệm: \(x\le\dfrac{5+m^2}{m-4}.\)

+) Nếu \(m-4< 0.\Leftrightarrow m< 4.\)

Khi \(\circledast\) có nghiệm: \(x\ge\dfrac{5+m^2}{m-4}.\)

+) Nếu \(m-4=0.\) \(\Leftrightarrow m=4.\)

Thay vào \(\circledast\) ta có: 

\(0x\le5+4^2.\Leftrightarrow0x\le21\) (vô lý).

Kết luận: 

Với \(m>4\) thì (1) có tập nghiệm \(S=\) \((-\infty;\dfrac{5+m^2}{m-4}].\)

Với \(m< 4\) thì (1) có tập nghiệm \(S=\) \([\dfrac{5+m^2}{m-4};+\infty).\)

Với \(m=4\) thì (1) có tập nghiệm \(S=\) \(\phi.\)

4: =>2x-3>5 hoặc 2x-3<-5

=>x>4 hoặc x<-1

5: =>-4<=2x-1<=4

=>-3/2<=x<=5/2

1) \(ĐK:x\ne2\) 

Nếu \(x>2\) 

BPT ⇔ \(x^2-2x+5-\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ge0\) ⇔ \(x^2-2x+5-\left(x^2-3x+3\right)\ge0\)

⇔\(x+2\ge0\) ⇔\(x\ge-2\) ⇒ Lấy \(x\ge2\)

Nếu \(x< 2\)

BPT ⇔\(\dfrac{-\left(x^2-2x+5\right)}{x-2}-x+1\ge0\) ⇔\(-x^2+2x-5-\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ge0\)

⇔\(-x^2+2x-5-x^2+3x-2\ge0\)

⇔\(-2x^2+5x-7\ge0\)

⇔\(x^2-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{7}{2}\le0\)

⇔\(\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2\le\dfrac{11}{4}\)

⇔\(\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{5}{4}\le\dfrac{11}{4}\\x-\dfrac{5}{4}\le\dfrac{-11}{4}\end{matrix}\right.\) ⇔\(\left[{}\begin{matrix}x\le4\\x\le\dfrac{-3}{2}\end{matrix}\right.\) ⇔ \(x\le\dfrac{-3}{2}\) 

S= [2;+∞)U(-∞;\(\dfrac{-3}{2}\)]

2) \(ĐK:x\ne-1\) 

Nếu \(x>-1\) 

BPT ⇔ \(2x-3-2\left(x+1\right)< 0\) ⇔\(2x-3-2x-2< 0\)

 ⇔\(-5< 0\) ( luôn đúng với mọi \(x>-1\))

Nếu \(x< -1\)

BPT⇔\(\dfrac{-\left(2x-3\right)}{x+1}-2< 0\) ⇔\(-\left(2x-3\right)-2\left(x+1\right)< 0\) ⇔\(-4x+1< 0\) ⇔ \(x>\dfrac{-1}{4}\)

Vậy S=....

\(\dfrac{2x-1}{x+1}-2< 0.\left(x\ne-1\right).\\ \Leftrightarrow\dfrac{2x-1-2x-2}{x+1}< 0.\Leftrightarrow\dfrac{-3}{x+1}< 0.\)

Mà \(-3< 0.\)

\(\Rightarrow x+1>0.\Leftrightarrow x>-1\left(TMĐK\right).\)

\(\dfrac{x^2-2x+5}{x-2}-x+1\ge0.\left(x\ne2\right).\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2-2x+5-x^2+2x+x-2}{x-2}\ge0.\\ \Leftrightarrow\dfrac{x+3}{x-2}\ge0.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+3\ge0.\\x-2\ge0.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+3\le0.\\x-2\le0.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge-3.\\x\ge2.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\le-3.\\x\le2.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge2.\\x\le-3.\end{matrix}\right.\)

Kết hợp ĐKXĐ.

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>2.\\x\le-3.\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{\left(1+2x\right)\left(x-2\right)}{\left(2x+3\right)\left(1-x\right)}\le0.\left(x\ne1;x\ne\dfrac{-3}{2}\right).\)

Đặt \(\dfrac{\left(1+2x\right)\left(x-2\right)}{\left(2x+3\right)\left(1-x\right)}=f\left(x\right).\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(f\left(x\right)\ge0.\Leftrightarrow x\in\left(\dfrac{-3}{2};\dfrac{-1}{2}\right)\cup\)(1;2].

2) −(x2−2x+5)x−2−x+1≥0−(x2−2x+5)x−2−x+1≥0                                                        ⇔$-{}^{}$

\(\left(4x-1\right)\left(2-3x\right)\left(x-1\right)>0\)

+) \(4x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\)

\(2-3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\)

\(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

+) Lập trục xét dấu (Bạn tự lập trục nha)

\(\Rightarrow\) Bpt có tập nghiệm S = \(\left(-\infty;\dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{2}{3};1\right)\)

Chúc bn học tốt!

Ta có: \(x^2\ge0\forall x\in R\)

Suy ra cặp thứ 3 sẽ thỏa mãn điều kiện của đề bài