Bài 3: Bất phương trình một ẩn

Chi Linh
Xem chi tiết
Chi Linh
Xem chi tiết
Phạm Nguyễn Tất Đạt
29 tháng 3 2018 lúc 17:59

\(n^3-3n^2-n+3\)

\(=n^2\left(n-3\right)-\left(n-3\right)\)

\(=\left(n-3\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Với n lẻ =>(n-3)(n-1)(n+1) là tích 3 số chẵn liên tiếp

\(\Rightarrow\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮24\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Bình luận (0)
Chi Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Chi Linh
Xem chi tiết
Phạm Nguyễn Tất Đạt
28 tháng 3 2018 lúc 18:01

\(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{a+b-c}+\dfrac{1}{2}\ge3+\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c}{2\left(b+c-a\right)}+\dfrac{a+b+c}{2\left(a+c-b\right)}+\dfrac{a+b+c}{2\left(a+b-c\right)}\ge\dfrac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c}{2}\left(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+c-b}+\dfrac{1}{a+b-c}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)

Lại có:\(\dfrac{a+b+c}{2}\left(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+c-b}+\dfrac{1}{a+b-c}\right)\ge\dfrac{a+b+c}{2}\cdot\dfrac{9}{b+c-a+a+c-b+a+b-c}\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
28 tháng 3 2018 lúc 14:58

Lời giải:

Có nhiều cách để giải quyết bài toán này. Đây là một cách đơn thuần sử dụng BĐT Cô-si.

Đặt \(\left\{\begin{matrix} b+c-a=x\\ a+c-b=y\\ a+b-c=z\end{matrix}\right.\) (\(x,y,z>0\) do $a,b,c$ là ba cạnh tam giác)

\(\Rightarrow (a,b,c)=\left(\frac{y+z}{2}; \frac{x+z}{2}; \frac{x+y}{2}\right)\)

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3(*)\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số:

\(\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8xyz}}\)

Tiếp tục Cô-si: \((x+y)(y+z)(z+x)\geq 2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)

\(\Rightarrow \frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{8xyz}{8xyz}}=3\)

Do đó $(*)$ được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)

Bình luận (0)
Huỳnh Trung Nguyêna6
Xem chi tiết
Aki Tsuki
28 tháng 3 2018 lúc 13:49

\(\dfrac{x-5}{x-3}< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-5< 0\\x-3< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< 5\\x< 3\end{matrix}\right.\)

Vậy ........

Bình luận (0)
Nguyễn Thanh Vân
Xem chi tiết
Phùng Khánh Linh
30 tháng 3 2018 lúc 19:01

1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2

<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0

<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0

<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )

=> đpcm

2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :

a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)

=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)

=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)

=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4

=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)\(\dfrac{4}{x+y}\)

Bình luận (0)
Ân Nguyễn
Xem chi tiết
Nhã Doanh
25 tháng 3 2018 lúc 9:57

a) ĐKXĐ: x khác 0

\(x+\dfrac{5}{x}>0\)

\(\Leftrightarrow x^2+5>0\) ( luôn đúng)

Vậy bất pt vô số nghiệm ( loại x = 0)

d)

\(\dfrac{x+1}{12}-\dfrac{x-1}{6}>\dfrac{x-2}{8}-\dfrac{x+3}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+1}{12}-\dfrac{x-1}{6}>\dfrac{x-2-x-3}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+1}{12}-\dfrac{x-1}{6}>\dfrac{-5}{8}\)

\(\Leftrightarrow2x+2-4x+4>-15\)

\(\Leftrightarrow-2x>-21\)

\(\Leftrightarrow x< \dfrac{21}{2}\)

Vậy....................

Bình luận (0)
Phạm Nguyễn Tất Đạt
25 tháng 3 2018 lúc 10:00

a)\(x+\dfrac{5}{x}>0\left(ĐKXĐ:x\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+5}{x}>0\)

\(x^2+5>0\)

\(\Rightarrow x>0\)

d)\(\dfrac{x+1}{12}-\dfrac{x-1}{6}>\dfrac{x-2}{8}-\dfrac{x+3}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+1}{12}-\dfrac{2x-2}{12}>\dfrac{-5}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-x+3}{12}>\dfrac{-5}{8}\)

\(\Leftrightarrow-x+3>-\dfrac{15}{2}\)

\(\Leftrightarrow-x>-\dfrac{21}{2}\)

\(\Leftrightarrow x< \dfrac{21}{2}\)

Bình luận (0)
Nhã Doanh
25 tháng 3 2018 lúc 9:43

c)

\(\left(x^2-2x\right)\left(x^3-3x^2-18x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x^3-6x^2+3x^2-18x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left[\left(x^3-6x^2\right)+\left(3x^2-18x\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left[x^2\left(x-6\right)+3x\left(x-6\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x-6\right)\left(x^2+3x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=6\\x=2\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Nguyễn Đình Thành
Xem chi tiết
Đời về cơ bản là buồn......
23 tháng 3 2018 lúc 20:27

Ta có: \(\left(x-1\right)^4\ge0\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\)

\(\left(x-3\right)^4\ge0\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=3\)

\(6\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1;x=3\)

Vậy GTNN của \(A=0\Leftrightarrow x=1;x=3\)

Bình luận (6)
Thảo Nguyễn
Xem chi tiết