Bài 3: Bất phương trình một ẩn

Đặt P=\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)

Không mất tính tổng quát giả sử a ≥b ≥ c , thế thì \(\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{1}{a+b}\) .Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều ta có :

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\left(\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1+\dfrac{c}{a+b}+1\right)\)

Hay \(P\ge\dfrac{1}{3}\left(P+3\right)\) nghĩa là \(P\ge\dfrac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

gg bđt nesbitt

a: 3-2x<=15-5x

=>3x<=12

hay x<=4

Ta có: \(x+\dfrac{x-1}{3}>\dfrac{x-2}{2}\)

=>6x+2x-2>3x-6

=>8x-2>3x-6

=>5x>-4

hay x>-4/5

b: Để x thỏa mãn cả 2 bpt thì -4/5<x<=4

=>\(x\in\left\{0;1;2;3;4\right\}\)

\(x^2-2x+1< 9\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2< 3^2=\left(-3\right)^2\)

\(\Rightarrow x-1< 3\) hoặc \(x-1< -3\)

Nếu x-1<3

\(\Leftrightarrow x< 4\)

Nếu x-1<-3

\(\Leftrightarrow x< -2\)

Ta có

\(x^2-2x+1< 9\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2< 9\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-9< 0\Leftrightarrow\left(x-1-3\right)\left(x-1+3\right)< 0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-4\right)< 0\)

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+2< 0\\x-4>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+2>0\\x-4< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< -2\\x>4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x>-2\\x< 4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-2< x< 4\)

Vậy...

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2-2a+4}{a^2+2a+4}>=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{a^2-2a+4}{a^2+2a+4}< =3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a^2-6a+12-a^2-2a-4>=0\\a^2-2a+4-3a^2-6a-12< =0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a^2-8a+8>=0\\-2a^2-8a-8< =0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(a-2\right)^2>=0\left(đúng\right)\\-2\left(a+2\right)^2< =0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>ĐPCM

a) Tập nghiệm: S = {x ∈ R | x < 4}

b) Tập nghiệm: S = {x ∈ R | x < -2}

c) Tập nghiệm: S = {x ∈ R | x ≤ -3}

d) Tập nghiệm: S = {x ∈ R | x ≥ 1}

Biểu diễn trên trục số:

\(\left(x-1\right)\left(x+2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-1\le0\\x+2\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\x+2\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\le1\\x\ge-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1\ge x\ge-2\\x\in\varnothing\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

h

a.

Xét hiệu:

\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\)

\(=a^2-ab+b^2-ab=a^2-2ab+b^2\)

\(=\left(a-b\right)^2\ge0\)

=> BĐT luôn đúng

b.

Xét hiệu:

\(a^4+b^4-a^3b-ab^3=\left(a^4-a^3b\right)-\left(b^4-ab^3\right)\)

\(=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

=> BĐT luôn đúng

a)

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

b)

\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow a^4-ab^3+b^4-a^3b\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a^3-b^3\right)-b\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

c)

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\ge\left(\sqrt{ab}+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)-\left(\sqrt{ab}+1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow1+b+a+ab-ab-2\sqrt{ab}-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)

d)

\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được

\(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\)

Tương tự ta được

\(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2,\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ac\right)\)

Mặt khác ta có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (hệ quả bất đẳng thức AM-GM)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z;x,y,z>0\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\(a^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{a^4}=4a\)

\(b^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{b^4}=4b\)

\(c^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{c^4}=4c\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta thu được:

\(a^4+b^4+c^4+9\geq 4(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+9\geq 12\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq 3\)

Vậy GTNN(\(a^4+b^4+c^4)=3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(a^2+b^2+c^2\ge a\left(b+c\right)^{ }\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2+c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+b^2+c^2\ge0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=0\)