Bài 3: Bất phương trình một ẩn

Phạm Thùy Linh
Xem chi tiết
Phạm Thùy Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Quang Định
20 tháng 7 2017 lúc 21:14

Xét dấu phiền v~~, hình như là quy tắc trong trái ngoài cùng

Bình luận (0)
Lê Thế Tài
Xem chi tiết
Nguyễn Quang Định
20 tháng 7 2017 lúc 17:21

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(=1+\dfrac{a}{b}+1+\dfrac{b}{a}=2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương \(\dfrac{a}{b}\)\(\dfrac{b}{a}\), ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

Vậy: \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b

P/S: Nếu chưa học Cauchy thì xét hằng đẳng thức \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

Bình luận (0)
Lê Thế Tài
20 tháng 7 2017 lúc 16:05

Toán lớp 8

Bình luận (0)
Bùi Quốc An
Xem chi tiết
T.Thùy Ninh
5 tháng 7 2017 lúc 9:41

Áp dụng BĐT Am-Gm ta được:

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab^2c}{ca}}=2b^2\)

\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{abc^2}{ab}}=2c^2\)

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2bc}{bc}}=2a^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a^2+b^2+c^2=1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}=1\)

Bình luận (0)
Huyền My Thái
Xem chi tiết
T.Thùy Ninh
15 tháng 6 2017 lúc 15:23

\(2016+x\le2017\)

\(\Leftrightarrow x\le1\)

0 1 x

Bình luận (2)
Son Goku
Xem chi tiết
Lightning Farron
5 tháng 6 2017 lúc 12:34

Ta chứng bổ đề: \(\dfrac{5x^3-y^3}{xy+3x^2}\le2x-y\)

\(\Leftrightarrow5x^3-y^3\le-x^2y+6x^3-xy^2\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{5y^3-z^3}{yz+3y^2}\le2y-z;\dfrac{5z^3-x^3}{xz+3z^3}\le2z-x\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le2\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)=x+y+z\)

Bình luận (1)
dinh thi phuong
Xem chi tiết
Hoàng Tuấn Đăng
12 tháng 5 2017 lúc 20:38

BPT \(\Leftrightarrow3x^2-6x+3>0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-1\right)^2>0\)

\(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\) . Dấu ''='' xảy ra khi x = 1

=> Để \(3\left(x-1\right)^2>0\) thì \(\left(x-1\right)^2\ne0\Leftrightarrow x\ne1\)

Vậy \(3x^2-5x-x+3>0\) \(\Leftrightarrow x\ne1\)

Bình luận (0)
Cheewin
12 tháng 5 2017 lúc 20:41

Ta có:

\(3x^2-5x-x+3>0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-6x+3>0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-3x-3x+3>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2>0\)

\(\Rightarrow x-1>0\)

\(\Rightarrow x>1\)

Bình luận (0)
Trọng Chi Ca Vâu
12 tháng 5 2017 lúc 20:48

3x2-5x-x+3>0

\(\Leftrightarrow\)3x2-6x+3>0

\(\Leftrightarrow\)3(x2-2x+1)>0

\(\Leftrightarrow\)3(x-1)2>0

vì 3>0 nên (x-1)2>0

\(\Rightarrow\)x-1>0 hoặc x-1<0

\(\Rightarrow\)x>1 hoặc x<1

Bình luận (0)
Hoàng Mai Anh
Xem chi tiết
nguyen tuan duc
11 tháng 5 2017 lúc 20:40

câu 1 :Đặt b+c-a=x; a+c-b=y ; a+b-c=z

vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên

b+c-a>0 ; a+c-b>0 ; a+b-c>0

Đặt biểu thức \(\dfrac{a}{b +c-a}\)+\(\dfrac{b}{c+a-b}\)+\(\dfrac{c}{a+b-c}\)=S thì

2S=\(\dfrac{2a}{b+c-a}\)+\(\dfrac{2b}{c+a-b}\)+\(\dfrac{2c}{a+b-c}\)

\(\dfrac{2a}{b+c-a}\)=\(\dfrac{a+c-b+a+b-c}{b+c-a}\)=\(\dfrac{y+z}{x}\) , tương tự

\(\dfrac{2b}{c+a-b}\)=\(\dfrac{x+z}{y}\)

\(\dfrac{2c}{a+b-c}\)=\(\dfrac{x+y}{z}\)

=>2S=\(\dfrac{x+y}{z}\)+\(\dfrac{y+z}{x}\)+\(\dfrac{x+z}{y}\)=\(\dfrac{x}{z}\)+\(\dfrac{y}{z}\)+\(\dfrac{y}{x}\)+\(\dfrac{z}{x}\)+\(\dfrac{x}{y}\)+\(\dfrac{z}{y}\)

ta thấy \(\dfrac{x}{z}\)+\(\dfrac{z}{x}\)=\(\dfrac{x^{2^{ }}+z^2}{xz}\)\(\ge\)\(\dfrac{2xz}{xz}\)=2 tương tự với 2 cặp số nghich đảo còn lại thì ta có 2S\(\ge\)2+2+2=6

nên S\(\ge\)3

dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=z

câu 2 :

ta có a+b>c ;b+c>a ; a+c>b

xét \(\dfrac{1}{a+c}\)+\(\dfrac{1}{b+c}\)>\(\dfrac{1}{a+b+c}\)+\(\dfrac{1}{b+c+a}\)=\(\dfrac{2}{a+b+c}\)>\(\dfrac{2}{a+b+a+b}\)=\(\dfrac{1}{a+b}\)

tương tự \(\dfrac{1}{a+b}\)+\(\dfrac{1}{a+c}\)>\(\dfrac{1}{b+c}\);\(\dfrac{1}{a+b}\)+\(\dfrac{1}{b+c}\)>\(\dfrac{1}{a+c}\)

nên điều phải chứng minh

Bình luận (0)
Hoàng Mai Anh
24 tháng 4 2017 lúc 22:10

Giúp tớ với các cậu ơi.... khocroi

Bình luận (0)
Hồng Đen Hoa
Xem chi tiết
Nguyễn Tấn Dũng
16 tháng 4 2017 lúc 9:53

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki,ta có:

\(\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)+\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)\)\(\geq\) \(\dfrac{\left(1+1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}\)\(\geq\) \(\dfrac{\left(1+1+\dfrac{4}{a+b}\right)^2}{2}\) = \(\dfrac{\left(2+4\right)^2}{2}\) =18

Từ đó suy ra: \(\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)+\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)\)\(\geq\) 18

Dấu = xảy ra khi a=b= \(\dfrac{1}{2}\)

Vậy MinM = 18 khi và chỉ khi a=b=\(\dfrac{1}{2}\)

Bình luận (0)
Lightning Farron
15 tháng 4 2017 lúc 23:16

ủa trước khi đăng câu hỏi nó ko hiện cái bảng có n~ Câu hỏi tương tự à? Vào tìm hộ cái

Bình luận (1)
Nguyễn Tấn Dũng
16 tháng 4 2017 lúc 21:22

Cái đề mình ghi thiếu bình phương nhé.

Bình luận (0)
nolimit
Xem chi tiết
Xuân Tuấn Trịnh
3 tháng 5 2017 lúc 21:37

Đặt A=\(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)

A<1+\(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)

A<\(1+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

A<2-\(\dfrac{1}{n}\)

Vậy...

Bình luận (0)