Bài 3: Bất phương trình một ẩn

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4< 3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2< 3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2>-\sqrt{3}\\x-2< \sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2-\sqrt{3}< x< 2+\sqrt{3}\)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\)

\(=3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\)

\(\ge3+2+2+2=9\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{9\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)}=9\)

Dấu " = " khi a = b = c

Lời giải:

Từ điều kiện

\(a+b+c=3abc\Rightarrow A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{3(ab+bc+ac)}{a+b+c}(1)\)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM:

\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow (ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)=(a+b+c)^2\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq a+b+c(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow A\geq 3\)

Do đó \(A_{\min}=3\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}-\dfrac{a^2}{x+y}-\dfrac{b^2}{x+y}-\dfrac{2ab}{x+y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2x+a^2y-a^2x}{x\left(x+y\right)}+\dfrac{b^2x+b^2y-b^2y}{y\left(x+y\right)}-\dfrac{2ab}{x+y}\)\(\Rightarrow\dfrac{a^2y^2+b^2x^2-2abxy}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(ay-bx\right)^2}{x^2y+xy^2}\ge0\)luôn đúng \(\Rightarrowđpcm\)

I do not know

Ta có: \(xy\le\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\dfrac{1}{4}\times1^2=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x^2y^2\le\dfrac{1}{16}\)

\(A=\left(x^2+\dfrac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\)

\(=x^2y^2+1+1+\dfrac{1}{x^2y^2}\)

\(\ge\dfrac{1}{16}+1+1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{289}{16}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 0,5

Vậy Min A = 18,0625 <=> x = y = 0,5

mình khẳng định cách làm này chắc chắn đúng

A=(x² +1/y²)(y² +1/x²)=(xy)²+\(\dfrac{1}{xy^2}\)+2

ta có x+y=1 mà x+y \(\ge\)2\(\sqrt{xy}\)nên 1 \(\ge\)2\(\sqrt{xy}\)

nên 1/2 \(\ge\)\(\sqrt{xy}\) =>1/4\(\ge\)xy=>\(\dfrac{1}{16}\)\(\ge\)(xy)²

sau đó ta sử dụng phương pháp chọn điểm rơi để thêm bớt cho phù hợp.

ta thấy gtnn xảy ra <=>x=y=1/2 hay (xy)²=1/16

để bảo toàn cho giá trị nhỏ nhất xảy ra với điều kiện đè bài đã cho là x+y=1 thì ta đặt hằng số \(\alpha\)sao cho:

đặt \(\dfrac{\alpha}{xy^2}\)=xy²

cho xy²=\(\dfrac{1}{16}\)thì\(\alpha\)=\(\dfrac{1}{256}\)

ta có lời giải A=(\(\dfrac{1}{xy^2}\)-\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\))+(\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\)+xy²)+2

áp dụng bất đẳng thức cosy a²+b²\(\ge\)2ab ta có

\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\)+xy²\(\ge\)2\(\dfrac{\dfrac{1}{16}}{xy}\).xy=\(\dfrac{1}{8}\)

ta đã chứng minh \(\dfrac{1}{16}\)\(\ge\)xy² nên ta có

\(\dfrac{1}{xy^2}\)-\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\)=\(\dfrac{\dfrac{255}{256}}{xy2}\)\(\ge\)\(\dfrac{\dfrac{255}{256}}{\dfrac{1}{16}}\)=\(\dfrac{255}{16}\)

nên A\(\ge\)\(\dfrac{1}{8}\)+\(\dfrac{255}{16}\)+2=\(\dfrac{289}{16}\)

dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=\(\dfrac{1}{2}\)

vậy min A=\(\dfrac{289}{16}\)tại x=y=\(\dfrac{1}{2}\)

Phương An

Vấn đề thiếu sót

Vì Sao ? khi xy =16 t lại kết luận được A nhỏ nhất --> ép buộc đang cơ sở lý luận toán học

=2x²-3x+7-3x²+5x-4-2x+x²=3

m=-3

cần m^2 -4m +3 =0 => m=1 hoặc m=3

với m =1 => <0=> loiaj

với m=3 có -3 <0 đúng nhận

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân số :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\geq \frac{(1+1)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

Tương tự:

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{2}{a}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{2}{c}\)

Cộng theo vế: \(2\left (\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\geq 2\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

\(\dfrac{x^2-4}{9-y^2}:\dfrac{x-2}{3}+\dfrac{y-2}{3-y}\)

ĐKXĐ: \(x\ne\pm3\)

\(\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(3-y\right)\left(3+y\right)}.\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{-2+y}{3-y}\)

\(=\dfrac{3\left(x+2\right)}{\left(3-y\right)\cdot\left(3+y\right)}+\dfrac{1-\left(3-y\right)}{3-y}\)

\(=\dfrac{3\left(x+2\right)}{\left(3-y\right)\left(3+y\right)}+\dfrac{1}{3-y}-1\)

\(=\dfrac{3\left(x+2\right)}{\left(3-y\right)\left(3+y\right)}-\dfrac{3+y}{\left(3-y\right)\left(3+y\right)}-1\)

\(=\dfrac{3x+6-3-y}{\left(3-y\right)\left(3+y\right)}-1\)

\(=\dfrac{3x-y+3}{\left(3-y\right)\left(3+y\right)}-1\)