Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn.

\(\dfrac{-x^2+4x-10}{x^2+1}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x^2-4x+4\right)-6}{x^2+1}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x-2\right)^2-6}{x^2+1}< 0\)

Vì \(x^2+1>0\forall x\in R\)

\(\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-6< 0\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2+6>0\)(luôn đúng)

Vậy bpt trên có vô số nghiệm

\(\dfrac{-x^2+4x-10}{x^2+1}< 0\Rightarrow-x^2+4x-10< 0\)

Vì căn bậc 2 của một số âm không tồn tại trong hệ số thực nên BPT vô nghiệm.

a)\(2x+1>3\)

\(\Leftrightarrow2x>2\)

\(\Leftrightarrow x>1\)

\(\left|x\right|>1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>1\\x< -1\end{matrix}\right.\)

=> Hai bất phương trình sau không tương đương

b. 3x – 9 < 0

\(\Leftrightarrow3x< 9\)

\(\Leftrightarrow x< 3\)

x² < 9

\(\Leftrightarrow\left|x\right|< 3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>-3\\x< 3\end{matrix}\right.\)

=> Hai bất phương trình sau không tương đương

a)

=> Hai bất phương trình sau không tương đương

b. 3x – 9 < 0

x2 < 9

=> Hai bất phương trình sau không tương đương

b) \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

= \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)

=\(2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)

áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

=> \(2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge4\)

<=> \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge4\)(đpcm)

\(a^2+b^2+c^2+d^2+4\ge2\left(a+b+c+d\right)\) (1)

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2-2a-2b-2c-2d+4\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)+\left(d^2-2d+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2+\left(d-1\right)^2\ge0\) (2)

Vì BPT(2) luôn đúng nên bpt(1)| đúng

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+4\) \(\geq\) \(2.\left(a+b+c+d\right)\)(1)

\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+d^2+4-2.\left(a+b+c+d\right)\)\(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) ( a²-2a+1 ) + (b²-2b+1) + (c²-2c+1) + (d²-2d+1) \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (a-1)²+(b-1)²+(c-1)²+(d-1)² \(\geq\) 0(2)

Ta có BĐT(2) luôn đúng nên suy ra BĐT(1) đúng.

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d.

a) (x+2)²<2x(x+2)+4

<=>x²+4x+4<2x²+4x +4

<=>x²-2x²+4x-4x<4-4

<=>-x²<0(luôn đúng)

Vậy bpt có vô số nghiệm

b) (x+2)(x+4) >(x-2)(x+8)

<=> x²+4x+2x+8>x²+8x-2x-16

<=> x²+4x+2x-x²-8x+2x>-16-8

<=>0x>-24 (luôn đúng)

Vậy bpt có vô số nghiệm

(x-1)² < x(x+3)

<=>x²-2x+1 <x²+3x

<=> x²-x²-2x-3x<-1

<=>-5x<-1

<=> x>\(\dfrac{1}{5}\)

vậy bpt trên có nghiệm là x>\(\dfrac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow10\left(\dfrac{1}{4}x-\dfrac{2}{5}\right)-6\left(2x-\dfrac{1}{3}\right)< 15\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{3}{5}\right)\)

\(\Leftrightarrow x\cdot\dfrac{5}{2}-4-12x+2< 5x-3\)

=>-29/2x<-3-2+4=-1

=>x>2/29

Câu 1:

Ta có: \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2^2}-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\)

Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\) (1)

Ta có: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a^2-2b^2-a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\)

Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)

5 , a³+b³+c³\(\ge\) 3abc

\(\Leftrightarrow\) a³+3a²b+3ab²+b³+c³-3a²b-3ab²-3abc\(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) (a+b)³+c³-3ab(a+b+c) \(\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c) \(\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)\(\ge0\) (1)

ta co : a,b,c>0 \(\Rightarrow\)a+b+c>0 (2)

(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²\(\ge0\)

<=> 2a²+2b²+2c²-2ac-2cb-2ab\(\ge0\)

<=>a²+b²+c²-ab-bc-ac\(\ge\) 0 (3)

Từ (1)(2)(3)=> pt luôn đúng

2.

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng )

Tương tự.......................

1. Xét hiệu : \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}\)

Lại có: b - a < 0 ( a > b)

ab >0 ( a>0, b > 0)

\(\Rightarrow\dfrac{b-a}{ab}< 0\)

Vậy: \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)

2. Xét hiệu : \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}-2ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)

Vậy : \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\) Xảy ra đẳng thức khi a = b

3. Xét hiệu : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}-ab=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)

Vậy : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) Xảy ra đẳng thức khi a = b

????????

Thiếu dự kiện rồi bạn ưi :"))))

Bổ sung đy

n năm nữa.