Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Hỏi đáp

Cái này ko phải là giải bpt mà là chứng minh :

Cho a , b ,c ,d > 0 . Chứng minh rằng: - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

T nghĩ đề là chứng minh BĐT sau chớ, sao lại ghi giải BPT :VV. Đây là BĐT Nesbitt cho 4 số, lên google tham khảo đi

Ta có:\(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+a^4+b^4\ge a^4+2a^2b^2+b^4\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)

CMTT\(\Rightarrow a^2+b^2>\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}=2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4>\dfrac{2^2}{2}=2\left(đpcm\right)\)

≥ 2 chứ bạn

Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge2ab+a^2+b^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=2^2=4\)

\(\Rightarrow a^2+b^2>2\left(đpcm\right)\)

\(a=1;b=2;c=3\Rightarrow VT=\frac{89}{60}< \frac{3}{2}\)

a) Đơn giản, tự chứng minh

b) Cách 1: Áp dụng BĐT câu a: \(VT\ge\left(a^2+ab-b^2\right)+\left(b^2+bc-c^2\right)+\left(c^2+ca-a^2\right)=ab+bc+ca=VP\)(đpcm)

Cách 2:

Ta chứng minh BĐT chặt hơn: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\) (vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\))

Giả sử \(b=min\left\{a,b,c\right\}\).Bằng phương pháp B-W (Buffalo way) ta phân tích được:

\(VT-VP=\frac{\left(4a^2c+4abc-b^3+3b^2c-bc^2\right)\left(a-b\right)^2+b\left(b^2+bc+c^2\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4abc}\ge0\)

P/s: Cách 2 tuy dài nhưng rất hay vì đây là phân tích bằng tay (không cần dùng phần mềm)!

Đề:

Cho \(4a^2+b^2=5ab\)với 2a>b>0

Tính:\(\dfrac{ab}{4a^2-b^2}\)

Ta có: \(4a^2+b^2=5ab\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4ab-ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow4a\left(a-b\right)+-b\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(4a-b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\4a=b\end{matrix}\right.\)

Do \(2a>b\Rightarrow4a>b\)

Nên 4a=b là vô lý

Với a=b Thì:

\(\dfrac{ab}{4a^2-b^2}=\dfrac{a^2}{4a^2-a^2}=\dfrac{a^2}{3a^2}=\dfrac{1}{3}\)

Vậy \(\dfrac{ab}{4a^2-b^2}=\dfrac{1}{3}với2a>b>0\)

Chúc bạn học tốt!

a) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

b)

Ta có

\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{a+b}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\frac{bc}{a+1}=\frac{bc}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\frac{ac}{b+1}=\frac{ac}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ac}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ac}{b+1}\le\frac{ab}{4\left(a+c\right)}+\frac{ab}{4\left(b+c\right)}+\frac{bc}{4\left(a+b\right)}+\frac{bc}{4\left(a+c\right)}+\frac{ac}{4\left(A+b\right)}+\frac{ac}{4\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{ab+bc}{4\left(a+c\right)}+\frac{ab+ac}{4\left(b+c\right)}+\frac{bc+ac}{4\left(a+b\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right)+\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}\)

\(=\frac{a+b+c}{4}=\frac{1}{4}\)

a. Ta có x – 3 = 2m + 4

⇔ x = 2m + 4 + 3

⇔ x = 2m + 7

Phương trình có nghiệm số dương khi 2m + 7 > 0 ⇔ m > \(\dfrac{-7}{2}\)

b. Ta có: 2x – 5 = m + 8

⇔ 2x = m + 8 + 5

⇔ 2x = m + 13

⇔ x = \(\dfrac{-\left(x+13\right)}{2}\)

Phương trình có nghiệm số âm khi \(\dfrac{-\left(m+13\right)}{2}\) < 0 ⇔ m + 13 < 0 ⇔ m < -13

Cách 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(c^2+a^2\ge2ca\)

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức :

Ta được : \(2\cdot A\ge2\cdot B\Leftrightarrow A\ge B\)( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Cách 2:

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

bạn tự lập bảng nhé!

với x<-2

<=> -x-2+x-3=2x+5

<=> -2x=10

<=> x=-5 (nhận)

với 2<=x<3

<=> x+2+3-x=2x+5

<=> -2x=0

=> pt vô nghiệm

với x>=3

<=> x+2+x-3=2x+5

<=> 0x=6

=> pt vô nghiệm

Vậy ........

\(A=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương:

\(x^2+y^2\ge2xy\) với mọi x,y

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=1

=>2A= x²+y²+(x²+y²) \(\ge\)x²+y²+2xy=(x+y)²=1

<=> A\(\ge\)0,5(do x+y=1)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y và x+y=1 <=>x=y=0,5

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0,5 đạt tại x=y=0,5