Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Hỏi đáp

Dùng BĐT phụ : \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Ta có : \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ; \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\); \(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64a^2b^2c^2=\left(8abc\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\left(dpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

a) Ta có: a<b

nên a+c<b+c(1)

Ta có: c<d

nên c+b<b+d(2)

Từ (1) và (2) suy ra a+c<b+c<b+d

hay a+c<b+d

b) Ta có: a<b

nên ac<bc(3)

Ta có: c<d

nên bc<bd(4)

Từ (3) và (4) suy ra ac<bc<bd

hay ac<bd(đpcm)

Lời giải:

1. Tập xác định của phương trình

   

2. Biến đổi vế trái của phương trình

   

3. Phương trình thu được sau khi biến đổi

   

4. Lời giải thu được

   

x³+x³+x+1=y³ => y³ - x³ = x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4 > 0
=> y³ > x³ (1)
mặt khác:
5x² +11x+5 =5(x+11/10)² +19/20 > 0
y³ = x³ + x² + x +1 < x³ + x² + x +1 + 5x² + 11x +5 = x³ +6x² +12x +8 = (x + 2)³ (2)
(1) và (2) => y³ = (x + 1)³ => y = x +1
=> x³+x² +x +1 = x³ +3x² +3x +1 = y³
<=> 2x² + 2x =0
<=> 2x(x+1)=0
=> x = 0 và y=1
hoặc x = -1 và y = 0

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

a) +) ab = 0, bđt đã cho luôn đúng

+) ab \(\ne0\), bđt đã cho tương đương:

a⁶ + b²a⁴ + b⁶ + a²b⁴ \(\ge a^6+b^6+2a^3b^3\)

\(\Leftrightarrow b^2a^4+a^2b^4\ge2a^3b^3\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\), luôn đúng

Dấu "=" xảy ra khi a = b

b) tương tự

a) (a² + b²)(a⁴+b⁴) \(\ge\) (a³+b³)²

(=) a⁶ + a²b⁴+ b⁶ + b²a^{4\(\ge a^6+2a^3b^3+b^6\)}

(=) \(a^6-a^6+b^6-b^6+a^2b^4+a^4b^2-2a^3b^3\ge0\)

(=)\(a^2b^4\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

(=) \(a^2b^4\left(a-b\right)^2\ge0\)luôn luôn đúng

\(P=\frac{4x+2}{2\left(x^2+2\right)}=\frac{-\left(x^2+2\right)+\left(x^2+4x+4\right)}{2\left(x^2+2\right)}=-\frac{1}{2}+\frac{\left(x+2\right)^2}{2\left(x^2+2\right)}\ge-\frac{1}{2}\)

\(P_{min}=-\frac{1}{2}\) khi \(x=-2\)

\(P=\frac{x^2+2-\left(x^2-2x+1\right)}{x^2+2}=1-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\le1\)

\(P_{max}=1\) khi \(x=1\)

Bài 1:

Giả sử \(a\ge b\ge c \ge d \ge e\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+cd+de \leq a.(b+c+d+e)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+cd+de \leq a.(1-a)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+cd+de \leq -(a-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi có ít nhất 2 số bằng 0 thì 2 số còn lại bằng \(\frac{1}{2}\) giả sử \(a=b=\dfrac{1}{2};c=d=0\)

Bài 2:

\(BDT\LeftrightarrowΣ\dfrac{3\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\ge9\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}-1+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)^2}-1+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}-1\ge-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4ab}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{4bc}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{4ca}{\left(a-c\right)^2}\ge-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3ab}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{3bc}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{3ca}{\left(a-c\right)^2}\ge-\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3ab}{\left(a-b\right)^2}+1+\dfrac{3bc}{\left(b-c\right)^2}+1+\dfrac{3ca}{\left(a-c\right)^2}+1\ge3-\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+ab+b^2}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{b^2+bc+c^2}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{c^2+ac+c^2}{\left(a-c\right)^2}\ge\dfrac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3-b^3}{\left(a-b\right)^3}+\dfrac{b^3-c^3}{\left(b-c\right)^3}+\dfrac{c^3-a^3}{\left(a-c\right)^3}\ge\dfrac{9}{4}\)(Đúng)

P/s: Ok, xong tưởng dễ ai dè ngốn mất 2 tiếng

mình nghĩ bài 1 P=ab+bc+cd+de thôi bn à cơ sở dựa vào bài Câu hỏi của Mai Thành Đạt - Toán lớp 8 | Học trực tuyến, và 1 số chỗ

Với mọi a;b;c ta luôn có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}.\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương a,b ta có \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2.\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=>\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}\)

suy ra \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\).Áp dụng vào bài toán ta có :\(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\ge\dfrac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\) (Do \(x+y\le1\))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{4}{1}=4\)

Hơi giống :33 thay đổi đi là oke

Tham khảo :

Câu hỏi của Ngọc Hạnh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left|3-4x\right|\ge0\\\left|4+x\right|\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left|3-4x\right|+\left|4+x\right|\ge0\) với mọi x

Mà \(-6< 0\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm