Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Hỏi đáp

Sửa đề chút:

\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có: ( link chứng minh: Xem câu hỏi)

\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[1+\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}\right]^2}{2}=\frac{\left(4+1\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{ab}\ge4\)

\(P=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+4\)

\(P\ge2ab+\frac{2}{ab}+4=2ab+\frac{1}{8ab}+\frac{15}{8ab}+4\)

\(P\ge2\sqrt{\frac{2ab}{8ab}}+\frac{15}{8}.4+4=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

a) Đơn giản, tự chứng minh

b) Cách 1: Áp dụng BĐT câu a: \(VT\ge\left(a^2+ab-b^2\right)+\left(b^2+bc-c^2\right)+\left(c^2+ca-a^2\right)=ab+bc+ca=VP\)(đpcm)

Cách 2:

Ta chứng minh BĐT chặt hơn: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\) (vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\))

Giả sử \(b=min\left\{a,b,c\right\}\).Bằng phương pháp B-W (Buffalo way) ta phân tích được:

\(VT-VP=\frac{\left(4a^2c+4abc-b^3+3b^2c-bc^2\right)\left(a-b\right)^2+b\left(b^2+bc+c^2\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4abc}\ge0\)

P/s: Cách 2 tuy dài nhưng rất hay vì đây là phân tích bằng tay (không cần dùng phần mềm)!

a) Nếu 4x-1 \(\ge\) 0 \(\Leftrightarrow\) x\(\ge\) \(\frac{1}{4}\) (*) thì phương trình trở thành:
4x-1 = x+3 \(\Leftrightarrow\) 3x = 4 \(\Leftrightarrow\) x = \(\frac{4}{3}\) (t/m (*))
Nếu 4x - 1< 0 \(\Leftrightarrow\) x < \(\frac{1}{4}\) (**) thì phương trình trở thành:
-4x+1 = x+3 \(\Leftrightarrow\) 5x = -2 \(\Leftrightarrow\) x = \(-\frac{2}{5}\) (t/m (**))
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là S=\(\left\{\frac{4}{3};-\frac{2}{5}\right\}\)
b) Nếu 4x-1 \(\ge\) 0 \(\Leftrightarrow\) x\(\ge\) \(\frac{1}{4}\) (*) thì phương trình trở thành:
4x-1 = 5+2x \(\Leftrightarrow\) 2x = 6 \(\Leftrightarrow\) x = 3 (t/m(*))
Nếu 4x - 1< 0 \(\Leftrightarrow\) x < \(\frac{1}{4}\) (**) thì phương trình trở thành:
-4x+1 = 5+2x \(\Leftrightarrow\) 6x = -4 \(\Leftrightarrow\) x = \(-\frac{2}{3}\)(t/m(**))
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là S=\(\left\{3;-\frac{2}{3}\right\}\)

ta có : \(y=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\)

\(=\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}-x\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\)

áp dụng bđt Mincopski ta có :

\(y\ge\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-x\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=2\)

dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}-x}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=1\) \(\Leftrightarrow x=0\)

vậy giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(2\) khi \(x=0\)

a)

\(\dfrac{2\left(x+1\right)}{3}-2\ge\dfrac{x-2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x+1\right)\cdot2}{6}-\dfrac{6}{6}-\dfrac{3\left(x-2\right)}{6}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x+4-6-3x+6}{6}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+4}{6}\ge0\)

\(\Leftrightarrow x+4\ge0\Leftrightarrow x\ge-4\)

b) Tự biểu diễn

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ne0\\x+1\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)

Vậy...

b/ \(A=\left(\frac{2x+1}{x-1}+\frac{8}{x^2-1}-\frac{x-1}{x+1}\right).\frac{x^2-1}{5}\)

\(=\left(\frac{2x+1}{x-1}+\frac{8}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{x-1}{x+1}\right).\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5}\)

\(=\left(\frac{\left(2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{8}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{\left(x-1\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right).\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5}\)

\(=\frac{2x^2+2x+x+1-8-x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5}\)

\(=\frac{x^2+5x-8}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{5}\)

\(=\frac{x^2+5x-8}{5}\)

Vậy..

Lời giải:
a)
ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} x-1\neq 0\\ x^2-1\neq 0\\ x+1\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1\neq 0\\ (x-1)(x+1)\neq 0\\ x+1\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1\neq 0\\ x+1\neq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x\neq \pm 1\)

b)

Với $x=0$ thì $C=\frac{-29}{5}< 0$ nhé bạn. Bạn xem lại đề.

2) a) Đặt \(\left(x-1\right)\left(x+6\right)=t\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x-6=t\)

\(\left(x+2\right)\left(x+3\right)=x^2+5x+6=t+12\)

\(A=t\left(t+12\right)+2042\)

\(A=t^2+12t+2042\)

\(A=\left(t+6\right)^2-6^2+2042\)

\(A=\left(t+6\right)^2+2006\)

\(\left(t+6\right)^2\ge0\Rightarrow\left(t+6\right)^2+2006\ge2006\)

\(Min_A=2006\) khi \(\left(t+6\right)^2=0\Leftrightarrow t=-6\Leftrightarrow x^2+5x-6=-6\Leftrightarrow x\left(x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy: Min_A=2006 khi x=0 hoặc x=5

Bài 2b làm tương tự

Bạn tham khảo lời giải tương tự tại đây. Trong đó bạn đặt $x-7=a$

Câu hỏi của khong có - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

\(P=\frac{y-x}{x+y}\)

\(\Rightarrow P^2=\frac{3\left(y-x\right)^2}{3\left(x+y\right)^2}\)

\(P^2=\frac{3\left(y^2-2xy+x^2\right)}{3\left(x^2+2xy+y^2\right)}\)

\(P^2=\frac{3x^2+3y^2-6xy}{3x^2+3y^2+6xy}\)

Thay \(3x^2+3y^2=10xy\) vào \(P^2=\frac{3x^2+3y^2-6xy}{3x^2+3y^2+6xy}\) , ta được :

\(P^2=\frac{3x^2+3y^2-6xy}{3x^2+3y^2+6xy}\)

\(P^2=\frac{10xy-6xy}{10xy+6xy}\)

\(P^2=\frac{4xy}{16xy}\)

\(P^2=\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{1}{2}\)

Vậy \(P=\frac{y-x}{x+y}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>y>0\\3x^2+3y^2=10xy\end{matrix}\right.\)