Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Hỏi đáp

ta có : \(\dfrac{1-2x}{1-x}+\dfrac{1-2y}{1-y}=1\Leftrightarrow3xy-2x-2y+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

phương trình này hình như chỉ có 2 nghiệm này là hữu tỉ thôi phải không , nếu ai phát hiện còn nữa nói cho mk bt nha .

Xét hiệu:

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-4=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1-4\)

\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng)

Suy ra: \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)

Áp dụng BĐT Cô - si : x + y ≥ \(2\sqrt{xy}\) ( x > 0 ; y > 0)

⇒ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\) ( a > 0 ; b > 0 )

⇒ ( a + b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) ≥ \(\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\).\(2\sqrt{ab}\)

⇒ ( a + b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) ≥ 4

5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)

áp dụng bđ cosy

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

=> đpcm

6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt

7.áp dụng bđt cosy

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)

1. (a-b)²>=0

=> a²+b²-2ab>=0

2. (a-b)²>=0

=> a²+b²>=2ab

=> \(\dfrac{a^2 +b^2}{2}\ge ab\)

3.Ta phích ra thôi,ta được : a²+2a < a²+2a+1

=> cauis trên đúng

\(\dfrac{x^2}{1+16x^4}\le\dfrac{x^2}{2\sqrt{16x^4}}=\dfrac{x^2}{2.4x^2}=\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{y^2}{1+16y^4}\le\dfrac{y^2}{2\sqrt{16y^4}}=\dfrac{y^2}{2.4y^2}=\dfrac{1}{8}\)

Cộng theo vế suy ra đpcm

Áp dụng BĐT cho 2 số ta có

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}}=2b\)

cm tương tự ta đc

\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2c\)

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\ge2a\)

cộng các vế vs nhau ta đc

\(2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

<=> \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\)

Áp dụng BĐT Cô - si với hai số \(\dfrac{ab}{c}\) và \(\dfrac{bc}{a}\) ,ta có :

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2.\sqrt{\dfrac{ab}{c}.\dfrac{bc}{a}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2b\) (1)

Áp dụng BĐT Cô - si với hai số \(\dfrac{ca}{b}\) và \(\dfrac{bc}{a}\) ,ta có :

\(\dfrac{ca}{b}\) + \(\dfrac{bc}{a}\) \(\ge2.\sqrt{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ca}{b}}\) ⇔ \(\dfrac{ca}{b}\) + \(\dfrac{bc}{a}\) \(\ge2c\) (2)

Áp dụng BĐT Cô - si với hai số \(\dfrac{ca}{b}\) và \(\dfrac{ab}{c}\) ,ta có :

\(\dfrac{ca}{b}\) + \(\dfrac{ab}{c}\) \(\ge2.\sqrt{\dfrac{ca}{b}.\dfrac{ab}{c}}\) ⇔ \(\dfrac{ca}{b}\) + \(\dfrac{ab}{c}\) \(\ge2a\) (3)

Từ (1)(2)(3) cộng vế với vế ,có:

\(2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)

nếu \(x< -\dfrac{1}{2}\) thì \(\left|2x+1\right|=-2x-1\\ \left|x-2\right|=2-x\)

nếu \(-\dfrac{1}{2}\le x< 2\) thì \(\left|2x+1\right|=2x+1\\ \left|x-2\right|=2-x\)

nếu \(x\ge2\) thì \(\left|2x+1\right|=2x+1\\ \left|x-2\right|=x-2\)

từ 3 điều kiện trên, ta có:

\(\left[{}\begin{matrix}-2x-1=2-x+5\left(x< -\dfrac{1}{2}\right)\\2x+1=2-x+5\left(-\dfrac{1}{2}\le x< 2\right)\\2x+1=x-2+5\left(x\ge2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-8\left(\text{nhận}\right)\\x=2\left(loại\right)\\x=3\left(\text{nhận}\right)\end{matrix}\right.\)

vậy phương trình có tập nghiệm là S={-8;3}

A=\(2x^2+5x+7=2\left(x^2+2.\dfrac{5}{4}x+\dfrac{25}{16}+\dfrac{31}{16}\right)=2\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{31}{8}\)

ta thấy \(2\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2\ge0=>2\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{31}{8}\ge\dfrac{31}{8}\)

dấu ''='' xảy ra khi \(x+\dfrac{5}{4}=0< =>x=-\dfrac{5}{4}\)

vậy min A=31/8<=>x=-5/4

chúc bạn học tốt ^^

Ta có: \(2x^2+5x+7\)

\(=2\left(x^2+2,5x+3,5\right)\)

\(=2\left(x^2+2\cdot x\cdot1,25+1,5625\right)+0,96875\)

\(=2\left(x+1,25\right)^2+0,96875\)

Ta có: \(2\left(x+1,25\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow2\left(x+1,25\right)^2+0,96875\ge0,96875\forall x\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 0,96875

\(\dfrac{-x^2+4x-10}{x^2+1}< 0\Rightarrow-x^2+4x-10< 0\)

Vì căn bậc 2 của một số âm không tồn tại trong hệ số thực nên BPT vô nghiệm.

\(\dfrac{-x^2+4x-10}{x^2+1}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x^2-4x+4\right)-6}{x^2+1}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x-2\right)^2-6}{x^2+1}< 0\)

Vì \(x^2+1>0\forall x\in R\)

\(\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-6< 0\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2+6>0\)(luôn đúng)

Vậy bpt trên có vô số nghiệm

áp dụngBĐt cô si cho 2 số ta có

\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b^2}.\dfrac{b^2}{c^2}}=2\dfrac{a}{c}\)

tt ta có

\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\dfrac{b}{a}\); \(\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{c^2}\ge2\dfrac{b}{c}\)

cộng các BĐT trên ta có

\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)

⇔ \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\) (đpcm)