Bất phương trình bậc nhất một ẩn

a. Xét hiệu: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\)

=\(\dfrac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

Vì a,b>0

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a=b

a) Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\left(1\right)\forall a,b\)

( Dấu = xày ra khi và chỉ khi a=b)

Cộng 4ab vào 2 vế, ta có:

\(\left(a-b\right)^2+4ab\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

Chia 2 vế cho ab(a+b)>0, ta có:

\(\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

b) Ta có:

\(2p=a+b+c\)

\(p-a=\dfrac{a+b+c}{2}-a=\dfrac{b+c-a}{2}>0\) vì b+c>a

Tương tự: \(p-b>0,p-c>0\)

Áp dụng BĐT: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)cho từng cặp số p-a, p-b; p-b,p-c;p-c,p-a

Ta có:

\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{\left(p-a\right)+\left(p-b\right)}=\dfrac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\dfrac{4}{c}\left(1\right)\)

Tương tự:

\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{a}\left(2\right)\)

\(\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a}\ge\dfrac{4}{b}\left(3\right)\)

Cộng các BĐT cùng chiều (1), (2), (3) vế theo vế, ta có:

\(2\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

Do đó: \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

Bài 1 

a, 1 - 4x^2

= (1 - 2x)^2

b,8 -27x^3

=(2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2)

c,27 + 27x + 9x^2+ x^3

=(x+3)^3

d,2x^3+4x^2+2x

=2x (x^2 + 2x + 1)

=2x (x + 1)^2

e,x^2 - 5x - y^2 + 5y

=(x^2-y^2)-(5x-5y)

=(x - y )(x + y) - 5 (x- y)

=(x- y)(x+y-5)

f,x^2-6x+9-y^2

=(x^2-6x+9)-y^2

=(x-3)^2-y^2

=(x-3-y)(x-3+y)

g,10x (x-y)-6y (y-x)

=10x (x-y)+6y (x-y)

=(10x-6y)(x-y)

h,x^2-4x-5

=x^2+x-5x-5

=x (x+1)-5 (x+1)

=(x-5)(x+1)

i,x^4-y^4

=(x^2)^2-(y^2)^2

=(x^2-y^2)(x^2+y^2)

=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)

\(x^2-x\left(x+2\right)>3x-1\\ \Leftrightarrow x^2-x^2-2x>3x-1\\ \Leftrightarrow-2x-3x>-1\\ \Leftrightarrow-5x>-1\\ \Leftrightarrow x< \frac{-1}{-5}\\ \Leftrightarrow x< \frac{1}{5}\)

Vậy ...

a) Ta có: \(3\left(x-2\right)-\left(x-5\right)>21\)

\(\Leftrightarrow3x-6-x+5>21\)

\(\Leftrightarrow2x-1>21\)

\(\Leftrightarrow2x>22\)

hay x>11

Vậy: S={x|x>11}

b) Ta có: \(5\left(x+1\right)-7\left(x-3\right)< 10\)

\(\Leftrightarrow5x+5-7x+21-10< 0\)

\(\Leftrightarrow-2x+16< 0\)

\(\Leftrightarrow-2x< -16\)

hay x>8

Vậy: S={x|x>8}

Trần Lê Nguyên thế bạn rút gọn giúp mình nhé

\(TH1:x\le\frac{1}{3}\Rightarrow1-3x\ge0\Rightarrow\left|1-3x\right|=1-3x\).Khi đó,phương trình trên tương đương với

\(1-3x=x-8\Rightarrow1+8=x+3x\Rightarrow9=4x\Rightarrow x=\frac{9}{4}\left(L\right)\)

\(TH2:x>\frac{1}{3}\Rightarrow1-3x< 0\Rightarrow\left|1-3x\right|=3x-1\).Khi đó,phương trình trên tương đương với

\(3x-1=x-8\Rightarrow8-1=x-3x\Rightarrow7=-2x\Rightarrow x=\frac{-7}{2}\left(L\right)\)

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài làm

| 1 - 3x | = x - 8

Nếu \(1-3x\ge0\Leftrightarrow x\le-\frac{1}{3}\)

Phương trình: 1 - 3x = x - 8

<=> -4x = 9

<=> x = -9/4 ( TM )

Nếu \(1-3x\le0\Leftrightarrow x\ge-\frac{1}{3}\)

Phương trình: 3x - 1 = x - 8

<=> 2x = 7

<=> x = 7/2 ( TM )

Vậy .....

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm, ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ( 1 )

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) nhân vế theo vế, ta có :

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\) đpcm

Lời giải:

Với $a,b>0$:

$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4$

$\Leftrightarrow (a+b).\frac{a+b}{ab}\geq 4$

$\Leftrightarrow (a+b)^2\geq 4ab$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-4ab\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Do đó BĐT trên được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

Ta có : \(a\left(a+2\right)< a\left(a+2\right)+1=a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\) \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\) đpcm

Ta có: \(a\left(a+2\right)< a\left(a+2\right)+1=a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2\)

\(\Rightarrow a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)

Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT ban đầu đúng