Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Hỏi đáp

Đơn giản là bạn vứt \(-2x\) từ vế trái qua vế phải:

\(1-2x\ge0\)

\(\Leftrightarrow1\ge2x\) hay \(2x\le1\)

Hoặc là đưa 1 qua vế phải:

\(1-2x\ge0\)

\(\Leftrightarrow-2x\ge-1\)

\(\Leftrightarrow2x\le1\) (nhân 2 vế với -1 âm nên đổi chiều BPT)

Người ta làm tắt 1 bước (bước đó đơn giản nên chắc người ta nghĩ học sinh tự tư duy được, không cần phải chỉ tay hướng dẫn từng li như học sinh lớp 1)

bạn hỏi cái dấu\(\le\) hay vì sao cái chỗ đó kp là -2x

Ta có : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

=> \(a^2-2ab+b^2+b^2-2ac+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)

=> \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2bc\)

=> \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2bc\)

=> \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=100\)

=> \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{100}{3}\)

Vậy ....

a) Ta có: A=|x-1|+|x-4|

\(=\left|x-1\right|+\left|4-x\right|\ge\left|x-1+4-x\right|=\left|3\right|=3\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left(x-1\right)\left(4-x\right)\ge0\)

Trường hợp 1: (x-1)(4-x)>0

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-1>0\\4-x>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1< 0\\4-x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>1\\x< 4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 1\\x>4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1< x< 4\\4< x< 1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow1< x< 4\)

Trường hợp 2: (x-1)(4-x)=0

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\4-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=4\end{matrix}\right.\)

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=|x-1|+|x-4| là 3 khi \(1\le x\le4\)

Lời giải:

a)

Với \(x>1\Rightarrow x-1>0\). Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x=(x-1)+1\geq 2\sqrt{x-1}\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-1}}{x}\leq \frac{\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra ki \(x-1=1\Leftrightarrow x=2\)

b) Trước tiên, ta có bđt phụ sau:

\(x^3+y^3\geq xy(x+y)\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2(x+y)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(x,y>1\) )

Do đó, \(\frac{x^3+y^3-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}\geq \frac{xy(x+y)-x^2-y^2}{(x-1)(y-1)}\geq 8\)

\(\Leftrightarrow xy(x+y)-(x^2+y^2)\geq 8(x-1)(y-1)\)

\(\Leftrightarrow x^2(y-1)+y^2(x-1)-8(x-1)(y-1)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (y-1)[x^2-4(x-1)]+(x-1)[y^2-4(y-1)]\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (y-1)(x-2)^2+(x-1)(y-2)^2\geq 0\)

(luôn đúng với mọi \(x,y>1\) )

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=a^2-2\)

Ta cũng có: \(a=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}+2\ge2\)

Vậy \(B=2\left(a^2-2\right)-a+1\) với \(a\ge2\)

\(B=2a^2-a-3=2a^2-a-6+3\)

\(B=\left(a-2\right)\left(2a+3\right)+3\)

Do \(a\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2\ge0\\2a+3>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(2a+3\right)\ge0\)

\(\Rightarrow B\ge3\Rightarrow B_{min}=3\) khi \(a=2\) hay \(x=y\)

Gọi 3 số đó là a;b;c. Do vai trò của a;b;c là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)

Từ giả thiết ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}abc=1\\a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) a;b;c không thể đồng thời bằng 1 (vi phạm giả thiết thứ 2)

Nếu a;b;c đều nhỏ hơn 1 \(\Rightarrow abc< 1\) (trái giả thiết)

Nếu a;b;c đều lớn hơn 1 \(\Rightarrow abc>1\) (trái giả thiết)

\(\Rightarrow\) Chỉ có 1 hoặc 2 số trong 3 số lớn hơn 1

Giả sử có 2 số lớn hơn 1 \(\Rightarrow a;b>1\)

Từ giả thiết thứ 2: \(a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{ab}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ab\)

\(\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{ab}>\frac{a+b}{ab}+ab\)

\(\Leftrightarrow a+b-\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{ab}-ab>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{ab-1}{ab}\right)-\frac{\left(ab-1\right)\left(ab+1\right)}{ab}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(\frac{a+b}{ab}-\frac{ab+1}{ab}\right)>0\)

\(\Leftrightarrow a+b-ab-1>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)>0\) (vô lý do \(\left\{{}\begin{matrix}a>1\\b>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)< 0\))

Vậy điều giả sử là sai

Hay trong 3 số có đúng 1 số lớn hơn 1

Ta có : \(||x^2+1|+2|=2x+3\) (1)

mà \(|x^2+1|\ge0\Rightarrow|x^2+1|+2>0\)

Nên \(||x^2+1|+2|=\left|x^2+1\right|+2\)

Do đó từ (1) ta có

\(\left|x^2+1\right|+2=2x+3\Leftrightarrow\left|x^2+1\right|=2x+1\)

Lại có : \(x^2\ge0\Rightarrow x^2+1>0\Rightarrow\left|x^2+1\right|=x^2+1\)

=> \(x^2+1=2x+1\Rightarrow x^2=2x\)

\(\Rightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy...

đặt \(\dfrac{a}{b}=x;\dfrac{b}{c}=y;\dfrac{c}{a}=z\Rightarrow xyz=1\)

Ta có: \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+xz+yz\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\ge0\) (đpcm)

Mình làm hơi khó hiểu do cô giáo mình giảng zậy.

bạn có thể tham khảo bài bạn khác nhé!

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm, ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ( 1 )

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) nhân vế theo vế, ta có :

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\) đpcm

Lời giải:

Với $a,b>0$:

$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4$

$\Leftrightarrow (a+b).\frac{a+b}{ab}\geq 4$

$\Leftrightarrow (a+b)^2\geq 4ab$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-4ab\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Do đó BĐT trên được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

Ta có : \(a\left(a+2\right)< a\left(a+2\right)+1=a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\) \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\) đpcm

Ta có: \(a\left(a+2\right)< a\left(a+2\right)+1=a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2\)

\(\Rightarrow a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT ban đầu đúng

Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)