Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Hỏi đáp

Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên a,b,c là 3 số dương
À mà bạn biết tính chất này chứ a/(a+b+c)<a/(b+c) (Cộng vào mẫu a dương nên nhỏ hơn)
a/(b+c)<(a+a)/(a+b+c)=2a/(a+b+c) (Cộng cả tử với mẫu với a)
=> Ta có: a/(a+b+c)<a/(b+c)<2a/(a+b+c) (1)
Tương tự với b: b/(a+b+c)<b/(a+c)<2b/(a+b+c) (2)
Tương tự với c: c/(a+b+c)<c/(a+b)<2c/(a+b+c) (3)
Cộng (1) với (2) và (3) ta được đpcm
1< a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên a,b,c là 3 số dương
À mà bạn biết tính chất này chứ a/(a+b+c)<a/(b+c) (Cộng vào mẫu a dương nên nhỏ hơn)
a/(b+c)<(a+a)/(a+b+c)=2a/(a+b+c) (Cộng cả tử với mẫu với a)
=> Ta có: a/(a+b+c)<a/(b+c)<2a/(a+b+c) (1)
Tương tự với b: b/(a+b+c)<b/(a+c)<2b/(a+b+c) (2)
Tương tự với c: c/(a+b+c)<c/(a+b)<2c/(a+b+c) (3)
Cộng (1) với (2) và (3) ta được đpcm
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) <2

Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0

6) Sai đề

Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)

7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)

\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)

\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2

\(a^2+b^2\le ab+1\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\le a+b\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\le a+b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^5+b^5\right)\left(a^3+b^3\right)\le\left(a^7+b^7\right)\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow ab^7+a^7b-a^3b^5-a^5b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(b^6+a^6-a^2b^4-a^4b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(b-a\right)^2\left(b+a\right)^2\left(b^2+a^2\right)\ge0\) (đúng)

\(\RightarrowĐPCM\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi ......

đề hơi vô duyên thì phải

Lời giải

Áp dụng BĐT dạng \(|a|+|b|\geq |a+b|\) (dấu "=" xảy ra khi \(ab\geq 0)\):

a)

\(A=|x|+|1-x|\geq |x+(1-x)|=|1|=1\)

Vậy \(A_{\min}=1\). Dấu "=" xảy ra khi \(x(1-x)\geq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq 1\)

b)

\(B=|x+1|+|x+3|=|-x-1|+|x+3|\geq |-x-1+x+3|=|2|=2\)

Vậy \(B_{\min}=2\). Dấu "=" xảy ra khi \((-x-1)(x+3)\geq 0\Leftrightarrow (x+1)(x+3)\leq 0\Leftrightarrow -3\leq x\leq -1\)

a,

\(\left|4x-x\right|=2x-1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x-x=2x-1\\-\left(4x-x\right)=2x-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x-x-2x+1=0\\-4x+x-2x+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\-5x+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\frac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế: \(a+c< b+d\)

\(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

\("="\Leftrightarrow a=b\)

Theo đề bài thì ta phải c/m: a<(a+b+c)/2

Với: a,b,c là 3 cạnh của tam giác.

\(a< \frac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow2a< a+b+c\Leftrightarrow a< b+c\)

theo BĐT tam giác thì độ dài của 2 cạnh trên 1 tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại

\(\Rightarrow\text{đpcm}\)

Vì bpt vô nghiệm nên \(\left(m+2\right)x^2-2\left(m-1\right)x+4\ge0\)

+Với \(\left(m+2\right)x^2-2\left(m-1\right)x+4=0\):

Có: \(\Delta=b^2-4ac=\left(2m+2\right)^2-16\left(m+2\right)\)

Để pt có nghiệm thì Δ\(\ge0\)

\(\left(2m+2\right)^2-16\left(m+2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow m^2-6m-7\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\m\ge7\end{matrix}\right.\)

-Với \(\left(m+2\right)x^2-2\left(m-1\right)x+4>0\)

\(\Rightarrow\Delta< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m-7< 0\)

\(\Leftrightarrow-1< m< 7\)

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\ge a+b\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\le2\left(2-ab\right)=4-2ab\)

\(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2=4-2a^2b^2\)

Có: \(2a^2b^2-2ab=2ab\left(ab-1\right)\)

Lại có: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\ge2ab\Leftrightarrow1\ge ab\)

\(\Rightarrow2ab\left(ab-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow2a^2b^2\le2ab\)

\(\Leftrightarrow4-2a^2b^2\ge4-2ab\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3+b^3\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

chỗ c/m \(a+b\le2\)có thể làm thế này nhanh hơn:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+b\le2\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

a+b+c=1

⇔ (a+b+c )²=1

⇔a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc =1

⇔ 2ab+2bc+2ac =1-a²+b²+c²

⇔2(ab+bc+ac)< 1

⇔ \(ab+bc+ac< \dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Dùng biến đổi tương đương:

a/ \(a^2+b^2+c^2+d^2+16\ge4a+4b+4c+4d\)

\(\Leftrightarrow a^2-4a+4+b^2-4b+4+c^2-4c+4+d^2-4d+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2+\left(d-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=2\)

b/ \(a^2+b^2\ge a+b-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}+b^2-b+\frac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

b. B = \(16x^2-24x-3\)

= \(\left[\left(4x\right)^2-2.4x.5+5^2\right]-28\)

= \(\left(4x-5\right)^2-28\)

Ta có: \(\left(4x-5\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(4x-5\right)^2-28\ge-28\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(4x-5\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow4x-5=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\)

Vậy Min B = -28 \(\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\)

a. A = \(9x^2-30x+30\)

= \(\left[\left(3x\right)^2+2.3x.5+5^2\right]+5\)

= \(\left(3x+5\right)^2+5\)

Ta có: \(\left(3x+5\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(3x+5\right)^2+5\ge5\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(3x+5\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow3x+5=0\Leftrightarrow x=-\frac{5}{3}\)

Vậy Min A = 5 \(\Leftrightarrow x=-\frac{5}{3}\)