CMR:
a. \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\left(a,b>0\right)\)
b. \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) với a,b,c là 3 cạnh của tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó
a. Xét hiệu: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\)
=\(\dfrac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
Vì a,b>0
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a=b
a) Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\left(1\right)\forall a,b\)
( Dấu = xày ra khi và chỉ khi a=b)
Cộng 4ab vào 2 vế, ta có:
\(\left(a-b\right)^2+4ab\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Chia 2 vế cho ab(a+b)>0, ta có:
\(\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
b) Ta có:
\(2p=a+b+c\)
\(p-a=\dfrac{a+b+c}{2}-a=\dfrac{b+c-a}{2}>0\) vì b+c>a
Tương tự: \(p-b>0,p-c>0\)
Áp dụng BĐT: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)cho từng cặp số p-a, p-b; p-b,p-c;p-c,p-a
Ta có:
\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{\left(p-a\right)+\left(p-b\right)}=\dfrac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\dfrac{4}{c}\left(1\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{a}\left(2\right)\)
\(\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a}\ge\dfrac{4}{b}\left(3\right)\)
Cộng các BĐT cùng chiều (1), (2), (3) vế theo vế, ta có:
\(2\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Do đó: \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Bài 1
a, 1 - 4x^2
= (1 - 2x)^2
b,8 -27x^3
=(2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2)
c,27 + 27x + 9x^2+ x^3
=(x+3)^3
d,2x^3+4x^2+2x
=2x (x^2 + 2x + 1)
=2x (x + 1)^2
e,x^2 - 5x - y^2 + 5y
=(x^2-y^2)-(5x-5y)
=(x - y )(x + y) - 5 (x- y)
=(x- y)(x+y-5)
f,x^2-6x+9-y^2
=(x^2-6x+9)-y^2
=(x-3)^2-y^2
=(x-3-y)(x-3+y)
g,10x (x-y)-6y (y-x)
=10x (x-y)+6y (x-y)
=(10x-6y)(x-y)
h,x^2-4x-5
=x^2+x-5x-5
=x (x+1)-5 (x+1)
=(x-5)(x+1)
i,x^4-y^4
=(x^2)^2-(y^2)^2
=(x^2-y^2)(x^2+y^2)
=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)
\(x^2-x\left(x+2\right)>3x-1\\ \Leftrightarrow x^2-x^2-2x>3x-1\\ \Leftrightarrow-2x-3x>-1\\ \Leftrightarrow-5x>-1\\ \Leftrightarrow x< \frac{-1}{-5}\\ \Leftrightarrow x< \frac{1}{5}\)
Vậy ...
a) Ta có: \(3\left(x-2\right)-\left(x-5\right)>21\)
\(\Leftrightarrow3x-6-x+5>21\)
\(\Leftrightarrow2x-1>21\)
\(\Leftrightarrow2x>22\)
hay x>11
Vậy: S={x|x>11}
b) Ta có: \(5\left(x+1\right)-7\left(x-3\right)< 10\)
\(\Leftrightarrow5x+5-7x+21-10< 0\)
\(\Leftrightarrow-2x+16< 0\)
\(\Leftrightarrow-2x< -16\)
hay x>8
Vậy: S={x|x>8}
Trần Lê Nguyên thế bạn rút gọn giúp mình nhé
\(TH1:x\le\frac{1}{3}\Rightarrow1-3x\ge0\Rightarrow\left|1-3x\right|=1-3x\).Khi đó,phương trình trên tương đương với
\(1-3x=x-8\Rightarrow1+8=x+3x\Rightarrow9=4x\Rightarrow x=\frac{9}{4}\left(L\right)\)
\(TH2:x>\frac{1}{3}\Rightarrow1-3x< 0\Rightarrow\left|1-3x\right|=3x-1\).Khi đó,phương trình trên tương đương với
\(3x-1=x-8\Rightarrow8-1=x-3x\Rightarrow7=-2x\Rightarrow x=\frac{-7}{2}\left(L\right)\)
Vậy phương trình vô nghiệm
Bài làm
| 1 - 3x | = x - 8
Nếu \(1-3x\ge0\Leftrightarrow x\le-\frac{1}{3}\)
Phương trình: 1 - 3x = x - 8
<=> -4x = 9
<=> x = -9/4 ( TM )
Nếu \(1-3x\le0\Leftrightarrow x\ge-\frac{1}{3}\)
Phương trình: 3x - 1 = x - 8
<=> 2x = 7
<=> x = 7/2 ( TM )
Vậy .....
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm, ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ( 1 )
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) nhân vế theo vế, ta có :
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\) đpcm
Lời giải:
Với $a,b>0$:
$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4$
$\Leftrightarrow (a+b).\frac{a+b}{ab}\geq 4$
$\Leftrightarrow (a+b)^2\geq 4ab$
$\Leftrightarrow (a+b)^2-4ab\geq 0$
$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Do đó BĐT trên được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
Ta có : \(a\left(a+2\right)< a\left(a+2\right)+1=a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\) \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\) đpcm
Ta có: \(a\left(a+2\right)< a\left(a+2\right)+1=a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2\)
\(\Rightarrow a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT ban đầu đúng