Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Hỏi đáp

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{2y^2}{x^2}+8\ge6\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{y^2}+2+\dfrac{y^2}{x^2}\right)-4\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+4+\left(\dfrac{x^2}{y^2}-2.\dfrac{x}{y}+1\right)+\left(\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}+1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)^2+\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2\ge0\) (đúng)

À, dấu bằng khi a=b=c=1/3 :v

Đề sai, ngược dấu rồi.

Ta chứng minh BĐT phụ sau: \(\dfrac{x}{x+1}\le\dfrac{9}{16}x+\dfrac{1}{16}\left(\forall x\in0;1\right)\)

Thật vậy: \(\dfrac{x}{x+1}\le\dfrac{9}{16}x+\dfrac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow0\le\dfrac{9x+1}{16}-\dfrac{x}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow0\le\dfrac{\left(9x+1\right)\left(x+1\right)-16x}{16\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow0\le9x^2-6x+1=\left(3x-1\right)^2\)(Luôn đúng \(\forall x\in0;1\))

Áp dụng vào bài, ta được:

\(\dfrac{a}{a+1}\le\dfrac{9}{16}a+\dfrac{1}{16}\)

\(\dfrac{b}{b+1}\le\dfrac{9}{16}b+\dfrac{1}{16}\)

\(\dfrac{c}{c+1}\le\dfrac{9}{16}c+\dfrac{1}{16}\)

Cộng vế theo vế ta được đpcm

Lời giải:

Xét

\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2)+a^2b+b^2c+c^2a\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\left\{\begin{matrix} a^3+ab^2\geq 2a^2b\\ b^3+bc^2\geq 2b^2c\\ c^3+ca^2\geq 2c^2a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\)

\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (do \(a+b+c=1\))

Do đó, \(A\geq 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow A\geq 14[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]+\frac{3(ab+bc+ac)}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}\)

\(\Leftrightarrow A\geq 14-28(ab+bc+ac)+\frac{3(ab+bc+ac)}{1-2(ab+bc+ac)}\)

Đặt \(ab+bc+ac=t\)

Theo AM-GM thì \(ab+bc+ac\leq\frac{(a+b+c)^2}{3}\Leftrightarrow t\leq \frac{1}{3}\Rightarrow t\in (0,\frac{1}{3}]\)

Ta có: \(A\geq 14-28t+\frac{3t}{1-2t}\)

Ta sẽ cm rằng \(14-28t+\frac{3t}{1-2t}\geq \frac{23}{3}\Leftrightarrow \frac{14(1-2t)^2+3t}{1-2t}\geq \frac{23}{3}\)

\(\Leftrightarrow 168t^2-159t+42\geq 23-46t\)

\(\Leftrightarrow (3t-1)(56t-19)\geq 0\) \((\star)\)

Vì \(t\leq \frac{1}{3}\Rightarrow 3t-1,56t-19\leq 0\Rightarrow (3t-1)(56t-19)\geq 0\)

Do đó \((\star)\) đúng kéo theo \(14-28t+\frac{3t}{1-2t}\geq \frac{23}{3}\Rightarrow A\geq \frac{23}{3}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

1. Tập xác định của phương trình

   
2. 2

   Biến đổi vế trái của phương trình

   
3. 3

   Biến đổi vế phải của phương trình

   
4. 4

   Phương trình thu được sau khi biến đổi

   
5. 5

   Lời giải thu được

   

Lời giải:

1)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:

\(a^4+3=a^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{a^4}\)

\(\Leftrightarrow a^4+3\geq 4|a|\geq 4a\)

Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=1\)

2)

Ghi đầy đủ đề:

\(a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)\geq 6abc\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:

\(\text{VT}=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\geq 6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6|abc|\geq 6abc\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

biến đổi vế trái:

4x² -4x +3 = (2x)² - 2.2x +1 + 2 = (2x-1)² +2 >0 đpcm

sao mk biến đỗi tới 2(x-y)^2-x^2+1 nhỉ hình như mk làm lầm r

ĐKXĐ: \(x\ne1\)

Ta có: \(I=\dfrac{3x^2-8x+6}{x^2-2x+1}=\dfrac{2x^2-4x+2+x^2-4x+4}{x^2-2x+1}\) \(=\dfrac{2\left(x^2-2x+1\right)}{x^2-2x+1}+\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-2x+1}\) \(=2+\dfrac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}\)

mà \(\dfrac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}\ge0\) với mọi \(x\ne1\)

=> \(2+\dfrac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}\ge2\) với mọi \(x\ne1\)

dấu "=" xảy ra khi x =2 ( thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy GTNN của I = 2 khi x=2

Ta có: \(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)

\(=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}\)

Ta cần chứng minh: \(\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=0\) thật vậy:

\(\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{abc}=\dfrac{2.0}{abc}=0\)Tức là:\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\left(đpcm\right)\)

Bài 35. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

a) A = 3x + 2 + |5x| trong hai trường hợp: x ≥ 0 và x < 0;

b) B = |4x| -2x + 12 trong hai trường hợp: x ≤ 0 và x > 0;

c) C = |x - 4| - 2x + 12 khi x > 5;

d) D = 3x + 2 + |x + 5|

Hướng dẫn giải:

a) A = 3x + 2 + |5x|

=> A = 3x + 2 + 5x khi x ≥ 0

A = 3x + 2 - 5x khi x < 0

Vậy A = 8x + 2 khi x ≥ 0

A = -2x + 2 khi x < 0

b) B = 4x - 2x + 12 khi x ≥ 0

B = -4x -2x + 12 khi x < 0

Vậy B = 2x + 12 khi x ≥ 0

B = -6x khi x < 0

c) Với x > 5 => x - 4 > 1 hay x - 4 dương nên

C = x - 4 - 2x + 12 = -x + 8

Vậy với x > 5 thì C = -x + 8

d) D= 3x + 2 + x+ 5 khi x + 5 ≥ 0

D = 3x + 2 - (x + 5) khi x + 5 < 0

Vậy D = 4x + 7 khi x ≥ -5

D = 2x - 3 khi x < -5

a, Khi x>0 thì |5x| = 5x .Vậy A=3x+2+5x = 8x+2

Khi x<0 thì |5x|= -5x .Vậy A= 3x+2-5x =2-2x

b, Khi x<0 thì -4x >0 .Do đó |-4x|=-4x

Vậy B = -4x-2x+12=-6x+12

Khi x>0 thì -4x<0.Do đó |-4x|=4x

Vậy B= 4x-2x+12=2x-12

Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\) và BĐT \(xy\le\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\), ta có:

\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)\(=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{x+y}{xy}\right)^2\)

\(\ge\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}\right)^2=\dfrac{25}{2}\left(x+y=1\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 0,5

Giải:

Có:

\(P=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

Vì \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2\ge0,\forall x\) và \(\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge0,\forall y\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge0;\forall x,y\)

\(\Rightarrow Min_P=0\)

Chúc bạn học tốt!