cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c\le\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
tìm \(MinS=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c\le\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
tìm \(MinS=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
Lâu rồi không lên Hoc24
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, Schwarz và AM - GM ta có:
\(S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}\right]+\dfrac{81.15}{16\left(a+b+c\right)^2}}\ge\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{135}{4}}=\sqrt{\dfrac{153}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\).
Sau khi chọn đc hệ số điểm rơi là 16 thì cơ sở nào tách tiếp ra 16 số rồi áp dụng cosi nữa vậy ạ??
Cho các số thực dương a,b, c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a^3+3b}\) + \(\sqrt{b^3+3c}\) + \(\sqrt{c^3+3a}\) ≥ 6
Bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\) \(\left(\forall a,b,c>0\right)\)
chứng minh bổ đề: \(\Sigma_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right)+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{\left(\Pi_{cyc}\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right).\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}}\)
hoán vị theo a,b,c
ta được: \(3\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{9.\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)
mũ 3 hai vế ta có được bất đẳng thức bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\)
Áp dụng bất C-S:
\(\sqrt{a^3+3b}+\sqrt{b^3+3c}+\sqrt{c^3+3a}\ge\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3+3a+3b+3c\right)}\)
\(\ge\sqrt{3.\left[3+3\left(a+b+c\right)\right]}=\sqrt{36}=6\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1
Cho a, b là hai số nguyên dương thỏa mãn \(\dfrac{a+b^3}{a^2+3ab+3b^2-1}\) là một số nguyên. Chứng minh rằng a2 + 3ab + 3b2 - 1 chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1
Chứng minh: √ a − 1 + √ b − 1 + √ c − 1 <= √ c ( a b + 1 )
Lời giải:Bổ sung ĐK: $a,b,c\geq 1$
Trước tiên ta sẽ bổ đề sau: Với $X,Y\geq 1$ thì:
$\sqrt{X-1}+\sqrt{Y-1}\leq \sqrt{XY}$
BĐT này có thể chứng minh dễ dàng bằng cách bình phương và biến đổi tương đương.
------------
Áp dụng BĐT trên vô bài toán ta có:
$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{ab}+\sqrt{c-1}$
$=\sqrt{(ab+1)-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{c(ab+1)}$
Ta có đpcm.
Cho các số thực a, b, c, d không âm và có tổng là 3. Chứng minh rằng:
\(a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{d^3+1}+d\sqrt{a^3+1}\le5\)
Cho \(\tan x+\cot x=m\). Tính theo m biểu thức sau:
\(A=\tan^3x+\cot^3x\)
Ta có : \(tanx+cotx=m\)
\(\Rightarrow tan^2x+2tanx.cotx+cot^2x=m^2\)
\(\Rightarrow tan^2x+cot^2x=m^2-2tanx.cotx=m^2-2.1=m^2-2\)
Ta lại có : \(A=\left(tanx+cotx\right)\left(tan^2x-tanx.cotx+cot^2x\right)\)
\(=m\left(m^2-2-1\right)=m\left(m^2-3\right)=m^3-3m\)
Vậy ...
Cho \(\sin x+\cos x=m\). Tính theo m các biểu thức sau:
1) \(A=\sin^2x+\cos^2x\)
2) \(B=\sin^3x+\cos^3x\)
3) \(C=\sin^4x+\cos^4x\)
4) \(D=\sin^6x+\cos^6x\)
\(sinx+cosx=m\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)^2=m^2\)
\(\Leftrightarrow1+2sinx.cosx=m^2\Rightarrow sinx.cosx=\dfrac{m^2-1}{2}\)
\(A=sin^2x+cos^2x=1\)
\(B=sin^3x+cos^3x=\left(sinx+cosx\right)^3-3sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)\)
\(=m^3-\dfrac{3m\left(m^2-1\right)}{2}=\dfrac{2m^3-3m^3+3m}{2}=\dfrac{3m-m^3}{2}\)
\(C=\left(sin^2+cos^2x\right)^2-2\left(sinx.cosx\right)^2=1-2\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)^2\)
\(D=\left(sin^2x\right)^3+\left(cos^2x\right)^3=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sinx.cosx\right)^2\)
\(=1-3\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)^2\)
Cho a>0,b>0,c>0. Chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge2\)
*Cách khác
Khá căn bản thôi áp dụng BĐt cosi với 2 số dương
`=>a+(b+c)>=2sqrt{a(b+c)}`
`=>a/(2sqrt{a(b+c)})>=a/(a+b+c)`
`<=>sqrt{a/(b+c)}>=(2a)/(a+b+c)`
CMTT:
`sqrt{b/(c+a)}>=(2b)/(a+b+c)`
`sqrt{c/(a+b)}>=(2c)/(a+b+c)`
`=>sqrt{a/(b+c)}+sqrt{b/(c+a)}+sqrt{c/(a+b)}>=2`
Dấu "=" `<=>a=b=c=0` vô lý vì `a,b,c>0`
Tìm GTLN của các biểu thức sau:
\(A=2x\left(6-x\right),0\le x\le6\)
2A = 2x (12 - 2x)
Áp dụng bất đẳng thức cosi
2x (12 - 2x) ≤ \(\dfrac{\left(2x+12-2x\right)^2}{4}\)
⇔ 2A ≤ 36
⇔ A ≤ 18
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le6\\2x=12-2x\end{matrix}\right.\)⇔ x = 3
Vậy Amax = 18 khi x = 3
\(A=2x\left(6-x\right)\)
\(=-2x^2+12x+18\)
\(=-2\left(x^2-6x+9\right)+18\)
\(=-2\left(x-3\right)^2+18\le18\)
\(maxA=18\Leftrightarrow x-3=0\Leftrightarrow x=3\)