§1. Bất đẳng thức

Xem chi tiết
Trần Minh Hoàng
14 tháng 2 2021 lúc 9:43

Lâu rồi không lên Hoc24

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, Schwarz và AM - GM ta có:

\(S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}\right]+\dfrac{81.15}{16\left(a+b+c\right)^2}}\ge\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{135}{4}}=\sqrt{\dfrac{153}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\).

Bình luận (1)
acc lập ra để hỏi bất đẳ...
14 tháng 2 2021 lúc 8:49

undefined

Sau khi chọn đc hệ số điểm rơi là 16 thì cơ sở nào tách tiếp ra 16 số rồi áp dụng cosi nữa vậy ạ??

 

 

Bình luận (1)
Nalumi Lilika
Xem chi tiết
Hồng Quang
15 tháng 2 2021 lúc 10:44

Bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\) \(\left(\forall a,b,c>0\right)\)

chứng minh bổ đề: \(\Sigma_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right)+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{\left(\Pi_{cyc}\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right).\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}}\)

hoán vị theo a,b,c

ta được: \(3\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{9.\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)

mũ 3 hai vế ta có được bất đẳng thức bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\)

Áp dụng bất C-S: 

\(\sqrt{a^3+3b}+\sqrt{b^3+3c}+\sqrt{c^3+3a}\ge\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3+3a+3b+3c\right)}\)

\(\ge\sqrt{3.\left[3+3\left(a+b+c\right)\right]}=\sqrt{36}=6\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1

Bình luận (0)
Nalumi Lilika
Xem chi tiết
Nguyễn Trần Hạnh Nguyên
Xem chi tiết
Akai Haruma
16 tháng 2 2021 lúc 1:35

Lời giải:Bổ sung ĐK: $a,b,c\geq 1$

Trước tiên ta sẽ bổ đề sau: Với $X,Y\geq 1$ thì:

$\sqrt{X-1}+\sqrt{Y-1}\leq \sqrt{XY}$

BĐT này có thể chứng minh dễ dàng bằng cách bình phương và biến đổi tương đương.

------------

Áp dụng BĐT trên vô bài toán ta có:

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{ab}+\sqrt{c-1}$

$=\sqrt{(ab+1)-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{c(ab+1)}$

Ta có đpcm.

Bình luận (0)
Thảo Phương
Xem chi tiết
Absolute
5 tháng 2 2021 lúc 20:13

Phân tích đa thức thành phân tử hả bạn

Bình luận (0)
Absolute
5 tháng 2 2021 lúc 20:18

|\(x^2-x-6\)|

=|\(x^2-3x+2x-6\)|

=|\(x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)\)|

=|\(\left(x-3\right)\left(x+2\right)\)|

Bình luận (0)
Quỳnh Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Lộc
5 tháng 2 2021 lúc 10:55

Ta có : \(tanx+cotx=m\)

\(\Rightarrow tan^2x+2tanx.cotx+cot^2x=m^2\)

\(\Rightarrow tan^2x+cot^2x=m^2-2tanx.cotx=m^2-2.1=m^2-2\)

Ta lại có : \(A=\left(tanx+cotx\right)\left(tan^2x-tanx.cotx+cot^2x\right)\)

\(=m\left(m^2-2-1\right)=m\left(m^2-3\right)=m^3-3m\)

Vậy ...

Bình luận (0)
Quỳnh Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 2 2021 lúc 23:42

\(sinx+cosx=m\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)^2=m^2\)

\(\Leftrightarrow1+2sinx.cosx=m^2\Rightarrow sinx.cosx=\dfrac{m^2-1}{2}\)

\(A=sin^2x+cos^2x=1\)

\(B=sin^3x+cos^3x=\left(sinx+cosx\right)^3-3sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)\)

\(=m^3-\dfrac{3m\left(m^2-1\right)}{2}=\dfrac{2m^3-3m^3+3m}{2}=\dfrac{3m-m^3}{2}\)

\(C=\left(sin^2+cos^2x\right)^2-2\left(sinx.cosx\right)^2=1-2\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)^2\)

\(D=\left(sin^2x\right)^3+\left(cos^2x\right)^3=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sinx.cosx\right)^2\)

\(=1-3\left(\dfrac{m^2-1}{2}\right)^2\)

Bình luận (0)
Trần Minh Hiển
Xem chi tiết
Trần Minh Hiển
4 tháng 2 2021 lúc 16:53

Chỗ kia là có thêm dấu + nữa nha

Bình luận (0)
Nguyễn Phương Anh
4 tháng 2 2021 lúc 17:00

undefined

Bình luận (1)
Yeutoanhoc
5 tháng 6 2021 lúc 23:30

*Cách khác

Khá căn bản thôi áp dụng BĐt cosi với 2 số dương

`=>a+(b+c)>=2sqrt{a(b+c)}`

`=>a/(2sqrt{a(b+c)})>=a/(a+b+c)`

`<=>sqrt{a/(b+c)}>=(2a)/(a+b+c)`

CMTT:

`sqrt{b/(c+a)}>=(2b)/(a+b+c)`

`sqrt{c/(a+b)}>=(2c)/(a+b+c)`

`=>sqrt{a/(b+c)}+sqrt{b/(c+a)}+sqrt{c/(a+b)}>=2`

Dấu "=" `<=>a=b=c=0` vô lý vì `a,b,c>0`

Bình luận (0)
Quỳnh Anh
Xem chi tiết
Ngô Thành Chung
4 tháng 2 2021 lúc 9:24

2A = 2x (12 - 2x)

Áp dụng bất đẳng thức cosi

2x (12 - 2x) ≤ \(\dfrac{\left(2x+12-2x\right)^2}{4}\)

⇔ 2A ≤ 36

⇔ A ≤ 18

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le6\\2x=12-2x\end{matrix}\right.\)⇔ x = 3

Vậy Amax = 18 khi x = 3

Bình luận (0)
Hồng Phúc
4 tháng 2 2021 lúc 13:30

\(A=2x\left(6-x\right)\)

\(=-2x^2+12x+18\)

\(=-2\left(x^2-6x+9\right)+18\)

\(=-2\left(x-3\right)^2+18\le18\)

\(maxA=18\Leftrightarrow x-3=0\Leftrightarrow x=3\)

Bình luận (0)