Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

\(A=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a+b}{c}\)

\(A=\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)+\left(\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}\right)\)

\(A\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}\) (bất đẳng thức Nesbit)

\(A\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\)

\(A\ge\dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có:

\(A\ge\dfrac{3}{2}+2\sqrt{\dfrac{ab}{ab}}+2\sqrt{\dfrac{ac}{ac}}+2\sqrt{\dfrac{bc}{bc}}\)

\(A\ge\dfrac{3}{2}+2+2+2=\dfrac{15}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu"=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(ab+1\ge2\sqrt{ab\cdot1}=2\sqrt{ab}\)

Nhân theo vế 2 BĐT ta có:

\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{ab}=4\sqrt{a^2b^2}=4ab\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)

\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(ab+1\right)}{ab}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)\left(ab+1\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(ab+1\right)\ge4\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\\ab+1\ge2\sqrt{ab}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}.2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(ab+1\right)\ge4\) ( đpcm )

Áp dụng bđt AM-GM:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(z+x\ge2\sqrt{xz}\)

Nhân theo vế:\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8xyz\)

\("="\) khi x=y=z

Khi đó hiển nhiên \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

hinh nhu sai de

áp dụng bất đẳng thức mincopxki :

ta có : \(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\ge\sqrt{\left(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}\right)^2+\left(1+1\right)^2}\ge2\)

dấu bằng xảy ra khi \(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}=0\Leftrightarrow x=0\)

Xét hàm \(y=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}\) . Ta có:

\(y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}+\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}=0\Leftrightarrow x=0\) ( bạn có thể giải PT này bằng cách quy đồng kết hợp với liên hợp)

Ta thấy rằng \(x\mapsto \infty \Rightarrow y\mapsto +\infty \) nên hàm không tồn tại max. Do đó hàm $y$ đạt min tại $x=0$, tức là \(y_{min}=2\)

Suy ra BPT trên luôn đúng với mọi $x$ thuộc tập xác định, tức là với mọi $x\in\mathbb{R}$

Mong mọi người giúp mình với, lâu không dùng bất đẳng thức nên quên. Cám ơn mọi người nhiều!

1) Bất đẳng thức cần chứng minh

\(\Leftrightarrow\) a² + b² + c² + d² + \(2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(ac+bd\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\left(1\right)\)

Nếu : ac + bd < 0 : BĐT luôn đúng

Nếu : ac + bd \(\ge\) 0 : Thì (1) tương đương

( ac + bd )² \(\le\) ( a² + b² )( c² + d² )

\(\Leftrightarrow\) \(\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+2abcd\le\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2-2abcd\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad-bc\right)^2\ge0\) , luôn đúng , vậy bài toán được chứng minh

2) Chọn :\(\left\{{}\begin{matrix}a=2\cos x.\cos y\\c=2\sin x.\sin y\\b=d=\sin\left(x-y\right)\end{matrix}\right.\)

Từ câu 1) ta có :

\(\sqrt{4\cos^2x.\cos^2y+\sin^2\left(x-y\right)}+\sqrt{4\sin^2x.\sin^2y+\sin^2\left(x-y\right)}\)

\(\ge\sqrt{\left(2\cos x.\cos y+2\sin x.\sin y\right)^2+\left(2\sin\left(x-y\right)\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{4\cos^2\left(x-y\right)+4\sin^2\left(x-y\right)}=2\)

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:

\(A=\dfrac{x^2}{x-1}+\dfrac{y^2}{y-1}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)

Đặt \(x+y=a\left(a>0\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{a^2}{a-2}\)

\(=\dfrac{8\left(a-2\right)+\left(a^2-8a+16\right)}{a-2}\)

\(=8+\dfrac{\left(a-4\right)^2}{a-2}\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:

\(A=\dfrac{x}{\sqrt{y}-1}+\dfrac{y}{\sqrt{z}-1}+\dfrac{z}{\sqrt{x}-1}\)

\(\ge\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-3}\)

Đặt \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=a\left(a>0\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{a^2}{a-3}\)

\(=\dfrac{12\left(a-3\right)+\left(a^2-12a+36\right)}{a-3}\)

\(=12+\dfrac{\left(a-6\right)^2}{a-3}\ge12\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 2