Bài 7: Ôn tập chương Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

\(log_7\left(4x^2-4x+1\right)-log_72x+4x^2+1=6x\)

\(\Leftrightarrow log_7\left(4x^2-4x+1\right)+4x^2-4x+1=log_72x+2x\)

\(\Rightarrow4x^2-4x+1=2x\)

\(\Rightarrow...\)

Bài này e rằng quá khó để tự luận do vấn đề cơ số

Nhưng tinh ý 1 chút thì giải trắc nghiệm đơn giản:

\(\dfrac{\sqrt{x}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}\)

Để ý rằng \(x-1-2\sqrt{x}=x-\left(2\sqrt{x}+1\right)\)

Do đó pt luôn có nghiệm thỏa mãn: \(x-2\sqrt{x}-1=0\Rightarrow x=3+2\sqrt{2}\)

ĐKXĐ: \(x>-1\)

Bước quan trọng nhất là tách hàm

\(\Leftrightarrow log_2\sqrt{x+3}-2\sqrt{x+3}+\left(x+3\right)=log_2\left(x+1\right)-2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2\)

Đến đây coi như xong \(\Rightarrow\sqrt{x+3}=x+1\Rightarrow x=1\)

\(log_2x\left(log_3x-1\right)+x\left(log_3x-1\right)-3\left(log_3x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(log_3x-1\right)\left(log_2x+x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\log_2x+x-3=0\end{matrix}\right.\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=log_2x+x-3\) có \(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{xln2}+1>0;\forall x>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có tối đa 1 nghiệm

Nhận thấy \(x=2\) là nghiệm nên x=2 là nghiệm duy nhất

Tổng =2+3

Trắc nghiệm rất lẹ (chắc vài giây), còn tự luận hơi lâu:

Hiển nhiên chỉ cần xét với \(x>2\) (vì vế trái luôn dương). Chú ý rằng \(a^{logx}=x^{loga}\)

Với \(a=10\Rightarrow x+2=x-2\) vô nghiệm (ktm)

- Trắc nghiệm: với \(a>10\Rightarrow\left(x^{loga}+2\right)^{loga}>x+2>x-2\) pt vô nghiệm

Với \(a< 10\) chọn 2 giá trị a=2 và a=9 để kiểm tra hàm \(\left(x^{loga}+2\right)^{loga}-x+2\) thấy đều đổi dấu ở chế độ table \(\Rightarrow a=\left\{2;3;...;9\right\}\) có 8 giá trị nguyên

- Tự luận: xét với \(x>2\), đặt \(loga=m>0\) pt trở thành: \(\left(x^m+2\right)^m=x-2\)

Đặt \(x^m+2=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^m=t-2\\t^m=x-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^m-t^m=t-x\Rightarrow x^m+x=t^m+t\) (1)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^m+x\Rightarrow f'\left(x\right)=mx^{m-1}+1>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

Do đó \(\left(1\right)\Rightarrow x=t\Rightarrow x^m=x-2\Rightarrow x^m-x+2=0\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^m-x+2\)

- Với \(m>1\Rightarrow f'\left(x\right)=m.x^{m-1}-1>1-1\ge0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(2\right)=2^m-2+2=2^m>0\Rightarrow f\left(x\right)\) vô nghiệm (ktm)

- Với \(0< m< 1\) ta có:

\(f\left(2\right)=2^m>0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^m-x+2\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x\left(x^{m-1}-1+\dfrac{2}{x}\right)\)

Chú ý rằng \(m< 1\Rightarrow x^{m-1}=\dfrac{1}{x^{1-m}}\rightarrow0\) khi \(x\rightarrow+\infty\Rightarrow x^{m-1}-1+\dfrac{2}{x}\rightarrow-1\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^m-x+2\right)=-\infty\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thỏa mãn \(x>2\)

Vậy \(0< m< 1\) hay \(0< loga< 1\Rightarrow2\le a< 10\Rightarrow a=\left\{2;3;...;9\right\}\)

Với lưu ý: \(log_36y=log_33.2y=1+log_32y\) và \(log_32xy=log_3x+log_32y\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=log_3x>0\\b=log_32y>log_32\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a\left(b+1\right)+2ab\left(3-a-b\right)=\dfrac{9}{2}\)

\(\Rightarrow7ab+a=\dfrac{9}{2}+2ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow7b+1=\dfrac{9}{2a}+2ab+2b^2\)

\(\Rightarrow-2b^2+7b+1=\dfrac{9}{2a}+2ab\ge2\sqrt{\dfrac{18ab}{2a}}=6\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow-2b^2+7b-6\sqrt{b}+1\ge0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{b}-1\right)^2\left(1-4\sqrt{b}-2b\right)\ge0\) (1)

Do \(b>log_32>log_3\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow1-4\sqrt{b}-2b< 0\)

Do đó (1) đúng khi và chỉ khi:

\(\sqrt{b}-1=0\Leftrightarrow b=1\)  \(\Rightarrow a=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}log_3x=\dfrac{3}{2}\\log_32y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+2y=\left(\dfrac{3}{2}\right)^3+3=\dfrac{51}{8}\) (chắc gần 7 nhất)

A

Chọn A

\(\dfrac{1}{2}log_2f\left(x\right)=log_2\left(2^x\right)-\dfrac{1}{2}log_2\left(4^x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}log_2f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}log_2\left(4^x\right)-\dfrac{1}{2}log_2\left(4^x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow log_2f\left(x\right)=log_2\left(\dfrac{4^x}{4^x+1}\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{4^x}{4^x+1}\)

\(f\left(0\right)=\dfrac{1}{2}\) ; \(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=\dfrac{4^x}{4^x+1}+\dfrac{4^{-x}}{4^{-x}+1}=\dfrac{4^x}{4^x+1}+\dfrac{1}{4^x+4}=1\)

\(\Rightarrow S=f\left(-99\right)+f\left(99\right)+f\left(-98\right)+f\left(98\right)+...+f\left(-1\right)+f\left(1\right)+f\left(0\right)\)

\(=99+\dfrac{1}{2}=\dfrac{199}{2}\)

\(2^x=t\Rightarrow t\in\left(1;4\right)\)

\(t^2-2m.t+9=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{t^2+9}{2t}\)

Xét \(f\left(t\right)=\dfrac{t^2+9}{2t}\) trên (1;4),

 \(f\left(1\right)=5\) ; \(f\left(4\right)=\dfrac{25}{8}\) ; \(f\left(t\right)=\dfrac{t^2+9}{2t}\ge\dfrac{6t}{2t}=3\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) có 2 nghiệm khi \(3< m< \dfrac{25}{8}\) và có 1 nghiệm khi \(\dfrac{25}{8}\le m< 5\)

Có 1 giá trị m

Chà câu kia mỏi cổ quá:

Nhân 2 vế với \(3^{6\sqrt{x}-1}\) và rút gọn:

\(3^{\dfrac{3}{x}+6\sqrt{x}}-3.3^{\dfrac{2}{x}+2\sqrt{x}}+\left(m+2\right)3^{\dfrac{1}{x}+2\sqrt{x}}-m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3^{\dfrac{1}{x}+2\sqrt{x}}\right)^3-3.\left(3^{\dfrac{1}{x}+2\sqrt{x}}\right)^2+\left(m+2\right).3^{\dfrac{1}{x}+2\sqrt{x}}-m=0\)

\(\dfrac{1}{x}+2\sqrt{x}=\dfrac{1}{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x}{x}}=3\)

Do đó đặt \(3^{\dfrac{1}{x}+2\sqrt{x}}=t\Rightarrow t\ge3^3=27\)

\(\Rightarrow t^3-3t^2+\left(m+2\right)t-m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2-2t+m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-2t+m=0\)

\(\Leftrightarrow m=-t^2+2t\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2+2t\) với \(t\ge27\), từ BBT dễ dàng suy ra \(m\le f\left(27\right)=-675\)

ĐKXĐ: \(x>0\)

\(x^{log_25}=t\Rightarrow25^{log_2x}=\left(5^{log_2x}\right)^2=\left(x^{log_25}\right)^2=t^2\)

\(x_1x_2=4\Rightarrow t_1t_2=\left(x_1x_2\right)^{log_25}=4^{log_25}=25\)

\(\left(m+1\right)t^2+\left(m-2\right)t-2m+1=0\) (1)

Pt có 2 nghiệm pb \(\Rightarrow\) (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m-2\right)^2-4\left(m+1\right)\left(-2m+1\right)>0\\t_1+t_2=\dfrac{2-m}{m+1}>0\\t_1t_2=\dfrac{-2m+1}{m+1}>0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\-1< m< \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Ủa làm đến đây mới thấy kì kì, chỉ riêng hệ điều kiện này đã ko tồn tại m nguyên rồi, chưa cần điều kiện \(x_1x_2=4\)

\(t=1\) pt có nghiệm kép bạn ơi, ko phải 2 nghiệm pb như đề yêu cầu đâu

\(2021^x=t>0\Rightarrow t^2-22t+2021-m=0\)

Pt có 2 nghiệm nên (1) có 2 nghiệm dương \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=121-\left(2021-m\right)\ge0\\t_1+t_2=22>0\\t_1t_2=2021-m>0\end{matrix}\right.\) (1)

\(x=log_{2021}t\Rightarrow x_1+x_2=log_{2021}t_1+log_{2021}t_2=log_{2021}\left(t_1t_2\right)\)

\(\Rightarrow log_{2021}\left(t_1t_2\right)\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow t_1t_2\ge\sqrt{2021}\)

\(\Rightarrow2021-m\ge\sqrt{2021}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow m\)