Bài 6: Ôn tập chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

- Với \(m=0\) thỏa mãn

- Với \(-2\left(4m-1\right)\ge0\Rightarrow m\le\dfrac{1}{4}\) hàm đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\) thỏa mãn

- Xét với \(m>\dfrac{1}{4}\)

\(y'=4m^2x^3-4x\left(4m-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{\sqrt{4m-1}}{m}\\x=-\dfrac{\sqrt{4m-1}}{m}\end{matrix}\right.\)

Do \(a=m^2>0\) nên hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\dfrac{\sqrt{4m-1}}{m};0\right)\) và \(\left(\dfrac{\sqrt{4m-1}}{m};+\infty\right)\)

\(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi:

\(\dfrac{\sqrt{4m-1}}{m}\ge1\Rightarrow4m-1\ge m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+1\le0\Rightarrow2-\sqrt{3}\le m\le2+\sqrt{3}\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m\le\dfrac{1}{4}\\2-\sqrt{3}\le m\le2+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Minh Nguyệt
Minh Nguyệt Hôm qua lúc 22:39

undefined

Bình luận (0)
Yehudim
Yehudim 15 tháng 1 lúc 23:00

\(y'=-3.\dfrac{1}{3}.\cos^2x.\sin x+\dfrac{4}{\sin^2x}+\left(m+1\right)\sin x=\left(\sin^2-1\right)\sin x+\dfrac{4}{\sin^2x}+m.\sin x+\sin x\)

\(=\sin^3x+\dfrac{4}{\sin^2x}+m.\sin x\)

y đồng biến trên khoảng \(\left(0;\pi\right)\)  \(\Leftrightarrow y'\ge0,\forall x\in\left(0;\pi\right)\)

\(\Leftrightarrow\sin^3x+\dfrac{4}{\sin^2x}+m.\sin x\ge0\Leftrightarrow\sin^2x+\dfrac{4}{\sin^3x}\ge-m\)

\(f\left(x\right)=\sin^2x+\dfrac{4}{\sin^3x}\Rightarrow f'\left(x\right)=2.\sin x.\cos x-\dfrac{12\cos x}{\sin^4x}=2\cos x.\left(\sin x-\dfrac{6}{\sin^4x}\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow2\cos x\left(\sin x-\dfrac{6}{\sin^4x}\right)=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\in\left[0;\pi\right]\)

\(\Rightarrow\sin^2x+\dfrac{4}{\sin^3x}\ge-m\Leftrightarrow-m\le min_{x\in\left(0;\pi\right)}f\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow m\ge-5\Rightarrow m\in\left\{-5;-4;-3;-2;-1\right\}\)

Có 5 giá trị m t/m

P/s: Mới học đạo hàm nên thử sức xí :v

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 15 tháng 1 lúc 21:46

Đặt \(2^{cotx}=t\Rightarrow t\in(-\infty;1]\)

Để ý rằng \(cotx\) nghịch biến trên khoảng đã cho nên \(f\left(x\right)\) đồng biến \(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^3+\left(m-3\right)t+3m-2\) nghịch biến trên \((-\infty;1]\)

Quy về 1 bài toán đồng biến - nghịch biến bình thường của hàm bậc 3

Ủa, ngáo rồi, đặt \(2^{cotx}=t\) chứ có phải \(cotx=t\) đâu, vậy \(t\in(0;2]\) mới đúng (cách làm vẫn y như trên, chỉ khác khoảng của t)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 10 tháng 11 2020 lúc 20:58

Pt hoành độ giao điểm:

\(3-x=\frac{5-2x}{x+3}\Leftrightarrow x^2-2x-4=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=1+\sqrt{5}\\x_2=1-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Tung độ trung điểm MN: \(\frac{3-x_1+3-x_2}{2}=2\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 15 tháng 10 2020 lúc 20:08

Đặt \(\sqrt{4x-m}=t\ge0\Rightarrow m=4x-t^2\)

Pt trở thành:

\(4x\left(t-2\right)=x^3+\left(4x-t^2-8\right)t\)

\(\Leftrightarrow4tx-8x=x^3+4tx-t^3-8t\)

\(\Leftrightarrow x^3-t^3+8x-8t=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-t\right)\left(x^2+xt+t^2+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=t\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x-m}=x\) (\(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow m=-x^2+4x\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=-x^2+4x\) với \(x\ge0\)

Từ BBT ta thấy để \(y=m\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 2 điểm pb

\(\Leftrightarrow0\le m< 4\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 20 tháng 9 2020 lúc 23:15

Câu 2:

$y'=-3x^2+6x+(m-2)=0$

Để hàm số có 2 điểm cực trị $x_1,x_2$ đồng nghĩa với PT $-3x^2+6x+(m-2)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ $\Leftrightarrow \Delta'=9+3(m-2)>0\Leftrightarrow m>-1(1)$

Hai điểm cực trị cùng dương khi:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2>0\\ x_1x_2=\frac{m-2}{-3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow -1< m< 2$

Đáp án C.

Bình luận (0)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 20 tháng 9 2020 lúc 23:19

Câu 2:

Để đths có 2 điểm cực trị thì trước tiên:

$y'=x^2-2mx+m^2-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Điều này xảy ra khi $\Delta'=m^2-(m^2-4)>0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$

Để 2 điểm cực trị của đồ thị $y$ nằm về hai phía của trục tung thì: $x_1x_2< 0$

$\Leftrightarrow m^2-4< 0$

$\Leftrightarrow -2< m< 2$

Đáp án A.

Bình luận (0)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 20 tháng 9 2020 lúc 23:23

Câu 3: Sửa thành đạt cực đại và cực tiểu tại tại 2 điểm $x_1,x_2$

Để hàm số $y$ đạt cực trị tại 2 điểm $x_1,x_2$ thì $y'=x^2-4x+m=0$ cần có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Điều này xảy ra khi $\Delta'=4-m>0\Leftrightarrow m< 4(1)$

Để $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_1^2< 14$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2< 14$

$\Leftrightarrow 4^2-2.m< 14$

$\Leftrightarrow m> 1(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow 1< m< 4$

Vì $m$ nguyên nên $m\in\left\{2;3\right\}$. Vậy có 2 giá trị $m$ thỏa mãn.

Đáp án A.

Bình luận (0)
Phụng Nguyễn Thị
Phụng Nguyễn Thị 24 tháng 9 2020 lúc 14:44

Mọi người giải nhanh giúp mình mấy câu này với ạ

Bình luận (0)
Phụng Nguyễn Thị
Phụng Nguyễn Thị 25 tháng 9 2020 lúc 21:30

Mọi người giúp mình giải mấy câu này với ạ

Bình luận (0)
Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 5 tháng 9 2020 lúc 13:34

Lời giải: PT hoành độ giao điểm:

$\frac{2mx-3}{x-1}=x+1$

$\Leftrightarrow x^2-2mx+2=0(*)$

Để 2 ĐTHS cắt nhau tại 2 điểm $A,B$ thì PT $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_A,x_B$

$\Leftrightarrow \Delta'=m^2-2>0$

Áp dụng định lý Viet: $x_A+x_B=2m$

$A,B$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $d_1$ thì $d_1$ đi qua trung điểm của $AB$

$\Leftrightarrow (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})\in d_1$

$\Leftrightarrow \frac{y_A+y_B}{2}=-\frac{x_A+x_B}{2}+7$

$\Leftrightarrow \frac{x_A+1+x_B+1}{2}=-\frac{x_A+x_B}{2}+7$

$\Leftrightarrow x_A+x_B=6$

$\Leftrightarrow 2m=6\Leftrightarrow m=3$ (thỏa mãn)

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN