Bài 5c.: Tương giao hai đồ thị. Biện luận số nghiệm phương trình.

Nguyễn Hồ Kim Trang
Xem chi tiết
Thiên An
19 tháng 4 2016 lúc 13:48

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right);y_0=\frac{2x_0-1}{x_0-1}\)

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) tại M là :

\(y=\frac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0+\frac{2x_0-1}{x_0-1}\right)\)

\(\Delta\) cắt tiệm cận đứng x = 1 tại A có tọa độ là nghiệm của hệ

\(\begin{cases}x=1\\y=\frac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0+\frac{2x_0-1}{x_0-1}\right)\end{cases}\)

Do đó \(A\left(1;\frac{2x_0}{x_0-1}\right)\)

 \(\Delta\) cắt tiệm cận đứng y = 2 tại B có tọa độ là nghiệm của hệ\(\begin{cases}y=2\\2=\frac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0+\frac{2x_0-1}{x_0-1}\right)\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=2\\x=2x_0-1\end{cases}\)Do đó \(B\left(2x_0-1;2\right)\)Vì \(x_A+x_B=2x_0-1+1=2x_0\) suy ra M là trung điểm đoạn ABTa có \(IA=\frac{2}{\left|x_0-1\right|};IB=2\left|x_0-1\right|\)Do tam giác AIB vuông tại I nên diện tích tam giác AIB là :\(S=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}.\frac{2}{\left|x_0-1\right|}.2\left|x_0-1\right|=2\)
Bình luận (0)
Nguyễn Hữu Tín
Xem chi tiết
Thiên An
19 tháng 4 2016 lúc 13:03

a) Ta có \(\left(C\right):y=\frac{-x+2}{x+1}=-1+\frac{3}{x+1}\)

Dời hệ trục Oxy về hệ trục XIY với công thức dời trục \(\begin{cases}x=X-1\\y=Y-1\end{cases}\)

Ta có phương trình hệ trục tọa độ mới \(Y=\frac{3}{X}\)

Trong hệ trục tọa độ mới, ta giả sử \(M\left(m;\frac{3}{m}\right);N\left(n;\frac{3}{n}\right);P\left(p;\frac{3}{p}\right)\)

Gọi \(H\left(x;y\right)\) là trực tâm của tam giác MNP, ta có : \(\begin{cases}\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{NP}=0\\\overrightarrow{NH}.\overrightarrow{MP}=0\end{cases}\) (a)

Mà \(\overrightarrow{MH}=\left(x-m;y-\frac{3}{m}\right);\overrightarrow{NP}=\left(p-n;\frac{3}{p}-\frac{3}{n}\right);\overrightarrow{NH}=\left(x-n;y-\frac{3}{n}\right);\overrightarrow{MP}=\left(p-m;\frac{3}{p}-\frac{3}{m}\right)\)

Nên (a) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-m-\frac{3}{np}\left(y-\frac{3}{m}\right)=0\\x-n-\frac{3}{mp}\left(y-\frac{3}{n}\right)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-\frac{3}{np}y-m+\frac{9}{mnp}=0\\x-\frac{3}{mp}y-n+\frac{9}{mnp}=0\end{cases}\)

             \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\frac{9}{mnp}\\y=-\frac{mnp}{3}\end{cases}\)

Suy ra \(H\left(-\frac{9}{mnp};-\frac{mnp}{3}\right)\)

Vì \(y_H=\frac{3}{x_H}\) nên \(H\in\left(C\right)\)\(\Rightarrow\) điều phải chứng minh

Bình luận (0)
Thiên An
19 tháng 4 2016 lúc 13:40

b) \(B\left(b;\frac{2m-b}{b+m}\right)\in\left(C_m\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(b;\frac{m-2b}{m+b}\right)\)

Ta có : \(I\left(-m;-1\right)\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(-m;-2\right)\)

Tam giác ABI vuông cân tại A \(\Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{AB.}\overrightarrow{AI}=0\\AB^2=AI^2\end{cases}\)

\(\begin{cases}mb+2\frac{m-2b}{m+b}=0\\m^2+4=b^2+\left(\frac{m-2b}{m+b}\right)^2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{m-2b}{m+b}=-\frac{bm}{2}\left(1\right)\\m^2+4=b^2+\frac{m^2b^2}{4}\left(2\right)\end{cases}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow m^2\left(b^2-4\right)+4\left(b^2-4\right)=0\Leftrightarrow\left(b^2-4\right)\left(m^2+4\right)=0\)

     \(\Leftrightarrow b^2=4\Leftrightarrow b=\pm2\)

* b = 2 thay vào (1) ta được \(\frac{m-4}{m+2}=-m\Leftrightarrow m^2+3m-4=0\Leftrightarrow m=1;m=-4\)

 b = - 2 thay vào (1) ta được \(\frac{m+4}{m-2}=m\Leftrightarrow m^2-3m-4=0\Leftrightarrow m=-1;m=4\)

Vậy \(m=\pm1;m=\pm4\) là những giá trị cần tìm

 

 
Bình luận (0)
Tạ Tương Thái Tài
Xem chi tiết
Nguyễn Bình Nguyên
19 tháng 4 2016 lúc 11:35

Lấy \(M\left(m;m^4-5m^2+4\right)\in\left(C\right)\)

Suy ra phương trình (C) tại M : \(y=\left(4m^3-10m\right)\left(x-m\right)+m^4-5m^2+4\left(d\right)\)

Hoành độ của (d) và (C) là nghiệm của phương trình :

\(x^4-5x^2+4=\left(4m^3-10m\right)\left(x-m\right)+m^4-5m^2+4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2\left(x^2+2mx+3m^2-5\right)=0\left(1\right)\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow x^2+2mx+3m^2-5=0\) có 2 nghiệm phân biệt khác m :

                         \(\Leftrightarrow\begin{cases}5-2m^2>0\\6m^2-5\ne0\end{cases}\)

Vậy \(m\in\left(-\frac{\sqrt{10}}{2};\frac{\sqrt{10}}{2}\right)\)\(\left\{\pm\frac{\sqrt{30}}{6}\right\}\)

Bình luận (0)
Đặng Thị Phương Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Bình Nguyên
19 tháng 4 2016 lúc 11:28

Giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục tung là điểm N(0;1)

Ta có : \(f'\left(x\right)=\frac{3}{\left(1-x\right)^2}\) suy ra tiếp tuyến  tại điểm N là \(\left(\Delta\right):y=3x+1\Leftrightarrow\left(\Delta\right):3x-y+1=0\)

Xét điểm \(M\left(a+1;\frac{2a+3}{-a}\right)\in\left(C\right),a>0\)

Ta có : \(d_{M\\Delta }=\frac{\left|3\left(a+1\right)+\frac{2a+3}{a}+1\right|}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.\frac{3a^2+6a}{+3a}=\frac{3}{\sqrt{10}}\left(a+\frac{2}{a}+1\right)\ge\frac{3}{\sqrt{10}}\left(2\sqrt{2}+1\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=\frac{2}{a}\Leftrightarrow a=\sqrt{2}\Rightarrow M\left(\sqrt{2}+1;\frac{2\sqrt{2}+5}{-\sqrt{2}}\right)\)

Bình luận (0)
Nguyễn Huỳnh Đông Anh
Xem chi tiết
Võ Thị Thùy Dung
21 tháng 4 2016 lúc 15:56

Hoành độ giao điểm của đường thẳng  y = m và (C) là nghiệm của phương trình :

\(x^4-2x^2=m\Leftrightarrow x^4-2x^2-m=0\) (*)

Đặt \(t=x^2,t\ge0\), phương trình (*) trở thành : \(t^2-2t-m=0\) (**)

Đường thẳng y = m và (C) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow\) phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt;  \(\Leftrightarrow\) có 2 nghiệm phân biệt

\(t2 > t1 > 0\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}1+m>0\\2>0\\-m>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(-1 < m < 0\)

Khi đó phương trình (*) có 4 nghiệm là 

\(x_1=-\sqrt{t_2};x_2=-\sqrt{t_1};x_3=\sqrt{t_1};x_4=\sqrt{t_2};\)

\(\Rightarrow x_1=-x_4;x_2=-x_3\)

Ta có \(y'=4x^3-4x\) do đó tổng các hệ số của tiếp tuyến tại cá điểm E, F, M, N là 

\(k_1+k_2+k_3+k_4=\left(4x_1^3-4x_1\right)+\left(4x_2^3-4x_2\right)+\left(4x_3^3-4x_3\right)+\left(4x_4^3-4x_4\right)\)

                           \(=4\left(x_1^3+x^3_4\right)+4\left(x_2^3+x^3_3\right)-4\left(x_1+x_4\right)-4\left(x_2+x_3\right)=0\)

Bình luận (0)
Nguyễn Thị Quỳnh Như
Xem chi tiết
Lại Thị Hồng Liên
21 tháng 4 2016 lúc 16:42

Phương trình hoành độ giao điểm : \(-x^4+2\left(2+m\right)x^2-3-2m=0\left(1\right)\)

Đặt \(t=x^2,\left(t\ge0\right)\), phương trình (1) trở thành : \(t^2-1\left(m+2\right)t+3+2m=0\left(2\right)\)

(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Điều kiện là : \(\begin{cases}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+2m+1>0\\m+2>0\\3+2>0\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne-1\\m>-\frac{3}{2}\end{cases}\) (*)

Với điều kiện (*), giả sử \(t_1;t_2\) (\(0 < t 1 < t2 \)  là 2 nghiệm phân biệt của (2), khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt là \(x_1=-\sqrt{t_2};x_2=-\sqrt{t_1};x_3=\sqrt{t_1};x_4=\sqrt{t_2};\)

\(x_1;x_2;x_3;x_4\) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi :

\(x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3\)

\(\Leftrightarrow t_2=9t_1\left(a\right)\)

Áp dụng định lí Viet ta có : \(t_1+t_2=2\left(m+2\right);t_1.t_2=3+2m\left(b\right)\)

Từ (a) và (b) ta có : \(9m^2-14m-39=0\)

Đối chiếu điều kiện (*) ta có \(m=3\) hoặc \(m=-\frac{13}{9}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Quốc Toàn
24 tháng 4 2017 lúc 4:42

D

Bình luận (0)
Phan Trần Quốc Bảo
Xem chi tiết
Thu Hiền
21 tháng 4 2016 lúc 22:00

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(C_1\)  và \(C_2\)

\(x^3-4mx+2=3x^2-4m\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-2x-4m-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-2x-4m-2=0\left(2\right)\)(\(\Delta'=4m+3\)

Số giao điểm của  \(C_1\)  và \(C_2\) bằng số nghiệm của phương trình (1). Do đó 

\(\Delta'< 0\Leftrightarrow m< -\frac{3}{4}:\left(2\right)\)vô nghiệm \(\Rightarrow\left(1\right)\) có nghiệm duy nhất (x = 1)

                                                            \(\Rightarrow\)  \(C_1\)  và \(C_2\) có một giao điểm

\(\Delta'=0\Leftrightarrow m=-\frac{3}{4}:\left(2\right)\)trở thành \(x^2-2x+1=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\), trong trường hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất (x = 1) \(\Rightarrow\) \(C_1\)  và \(C_2\) có một giao điểm

\(\Delta'>0\Leftrightarrow m>-\frac{3}{4}:\left(2\right)\) có 2 nghiệm phân biệt. Ta thấy \(t\left(1\right)=-4m-3\ne0\) với mọi \(m>-\frac{3}{4}\Rightarrow1\) không phải là nghiệm của (2) \(\Rightarrow\left(1\right)\) có 3 nghiệm phân biệt 

                                      \(\Rightarrow\) \(C_1\)  và \(C_2\) có ba giao điểm

Kết luận : 

- Với \(m\le-\frac{3}{4}\)  \(C_1\)  và \(C_2\) có một giao điểm

- Với \(m>-\frac{3}{4}\)  \(C_1\)  và \(C_2\) có 3 giao điểm

 

 

 

 

  
Bình luận (0)
Nguyễn Lê Đức Nhân
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Nghĩa
21 tháng 4 2016 lúc 21:24

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(C_m\right)\) và đường thẳng y = -1 là :

\(x^4-\left(3m+2\right)x^2+3m=-1\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-3m-1\right)=0\)

Đường thẳng y = -1 cắt  \(\left(C_m\right)\) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi :

\(0 < 3m+1 < 4\) và \(3m+1\ne1\)

\(\Leftrightarrow\)\(-\frac{1}{3}< m\)< 1 và \(m\ne0\)

 
Bình luận (0)
Lê An Bình
Xem chi tiết
Thu Hiền
21 tháng 4 2016 lúc 21:48

Xét phương trình hoành độ giao đ\(\Leftrightarrow m< 1\)iểm (C) với \(d_m:\frac{x^2-2x+4}{x-2}=mx+2-2m\)

                                       \(\Leftrightarrow x^2-2x+4=\left(x-2\right)\left(mx+2-2m\right)\)

                              \(\left(x\ne2\right)\Leftrightarrow\left(m-1\right)x^2-4\left(m-1\right)x+4\left(m+2\right)=0\)(\(x\ne2\)) (*)

\(d_m\) có 2 giao điểm với (C) khi và chỉ khi (*) có 2 điểm phân biệt, tức là : 

\(\begin{cases}m-1\ne0\\\Delta'=-12\left(m-1\right)>0\end{cases}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Thành Nguyên
Xem chi tiết
Thu Hiền
21 tháng 4 2016 lúc 21:43

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là :

\(x^3-2x^2+\left(1-m\right)x+m=0\left(1\right)\)

Biến đổi tương đương phương trình này :

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3-2x^2+x-mx+m=0\)

      \(\Leftrightarrow x\left(x^2-2x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)

       \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-x-m\right)=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-x-m=0\left(2\right)\)

Gọi \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình (2) thì :

\(t^2+x_1^2+x_2^2< 4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 3\Leftrightarrow m< 1\) (*)

Yêu cầu bài toán tương đương với (2) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\ne1\) thỏa mãn điều kiện (*)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=1+4m>0\\1^2-1-m\ne0\\m< 1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\frac{1}{4}< m< 1\\m\ne0\end{cases}\)

 

Bình luận (0)