Bài 5c.: Tương giao hai đồ thị. Biện luận số nghiệm phương trình.

Lời giải:

Kẻ \(SH\perp BC\). Ta thấy:

\(\left\{\begin{matrix} (SBC)\perp (ABC)\\ (SBC)\cap (ABC)\equiv BC\\ SH\perp BC\end{matrix}\right.\Rightarrow SH\perp (ABC)\)

Ta thấy giác $SBC$ và $ABC$ đều là tam giác vuông cân có cạnh huyền chung $BC$ nên $SB=SC=AB=a$

Bằng cách tính toán đơn giản, \(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{a^2}{2}\)

\(SH=\sqrt{\frac{SB^2.SC^2}{SB^2+SC^2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{S_{ABC}.SH}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}(\text{đvtt})\)

số giao điểm chính là nghiệm hai pt bằng nhau

vẽ đồ thị của hàm số ra, đường thẳng y=m là một đường thẳng song song với ox, để cho chúng không có điểm chung thì đường thẳng này phải không cắt đồ thị. Cụ thể trong bài này thì m>4 nhé

hi

Ai có đáp án k

Gửi link vào nick này nhs

ta tính \(y'=cosx+sinx=\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\Pi}{4}\right)\)

giải pt y'=0 ta có

\(\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\Pi}{4}\right)=0\Rightarrow x-\frac{\Pi}{4}=\frac{\Pi}{2}+k\Pi\Rightarrow x=\frac{3\Pi}{4}+k\Pi\)

ta tình \(y''=-sinx+cosx\)

ta có \(y''\left(\frac{-\Pi}{4}\right)=\sqrt{2}>0\)hàm số đạt cực tiểu tại x\(\frac{-\Pi}{4}+2k\Pi\)

ta có \(y''\left(\frac{3\Pi}{4}\right)=-\sqrt{2}

ta tính \(y'=\frac{x^2+1-2x^2}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}\)

ta giải phương trình y'=0

suy x=1;x=-1

ta tính \(y''=\frac{-2x\left(x^2+1\right)^2-4x\left(x^2+1\right)\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^4}=\frac{-2x\left(x^2+1\right)-4x\left(1-x^2\right)}{\left(1+x^2\right)^3}=\frac{2x^3-6x}{\left(1+x^2\right)^3}=\frac{-2x\left(x^2+2\right)}{\left(1+x^2\right)^3}\)

ta có \(y''\left(1\right)=-30\)hàm số đạt cực tiểu tại x=-1

ta tính \(y'=3\left(m+2\right)x^2+6x-3m\)

ta giải pt

y'=0 suy ra x=-1; x=\(\frac{m}{m+2}\)

ta tính \(y''=6\left(m+2\right)x+6\)

để hàm số có cực đại khi và chỉ khi y(-1)=-6m-6<0 suy ra m>-1

\(y\left(\frac{m}{m+2}\right)=6m+6

phương trình hoành độ giao điểm

 \(-x^3+3x^2-2=m(2-x)+2\Leftrightarrow (x-2)(x^2-x-2-m)=0\)

Vậy \(x_B, x_C\) là nghiệm của phương trình $x^2-x-2-m=0$.

Điều kiện có nghiệm: $\Delta=4m+9>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{9}{4}$

Mặt khác, theo Định lý Viet thì \(\begin{cases} x_B+x_C=1\\ x_Bx_C=-2-m \end{cases}\)

Lại có \(y'=-3x^2+6x=3x(2-x)\) nên tích hệ số góc của tiếp tuyến tại B và C là

\(y'(x_B)y'(x_C)=9x_Bx_C(2-x_B)(2-x_C)=9x_Bx_C[4-2(x_B+x_C)+x_Bx_C]\)

Do đó \(y'(x_B)y'(x_C)=9(-2-m)(4-2-2-m)=9(m^2+2m)=9[(m+1)^2-1]\geq -9\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của tích hai hệ số góc của tiếp tuyến tại B và C là -9 khi m=-1

=9

Tại sao X_{B +} X_C =1

Phương trình có hoành độ giao điểm \(\frac{-x+m}{x+2}=-x+\frac{1}{2}\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne-2\\2x^2+x+2m-2=0\left(1\right)\end{cases}\)

Đường thẳng (d) cắt \(\left(C_m\right)\) tại 2 điểm A, B <=> (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x\ne-2\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=1-8\left(2m-2\right)>0\\2\left(-2\right)^2+\left(-2\right)+2m-2\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}17-16m>0\\m\ne-2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m<\frac{17}{16}\\m\ne-2\end{cases}\)

\(A\left(x_1;-x_1+\frac{1}{2}\right);B\left(x_2;-x_2+\frac{1}{2}\right);\) trong đó x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (1)

Theo Viet ta có \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{1}{2}\\x_1x_2=m-1\end{cases}\)

\(AB=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(x_1-x_2\right)^2}=\sqrt{2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\right]}=\frac{\sqrt{2\left(17-16m\right)}}{2}\)

\(d\left(O,d\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}};S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}AB.d\left(O,d\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2\left(17-16m\right)}}{2}=1\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{-47}{16}\)

Vậy \(m=\frac{-47}{16}\)

Khoảng cách từ O đến d tính ntn v bn? @Hoàng Thị Tâm