Bài 5b: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Xét \(M\left(0;m\right)\in Oy\). Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=kx+m\)

d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^4-2x^2-1=kx+m\\4x^3-4x=k\end{cases}\) có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :

\(-x^4-2x^2-1=4x^4-4x^2+m\)

\(\Leftrightarrow5x^4-2x^2+1+m=0\) (*)

Để từ M ta có thể kẻ đến đồ thị đúng 3 tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\) (*) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)

Khi đó (*) có 3 nghiệm \(x=0;x=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\) và 3 tiếp tuyến đó là :

\(y=-1;y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}x-1\)

Vậy \(M\left(0;-1\right)\) là điểm cần tìm

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) tại \(M\left(x_0;-x^3_0+3x_0-2\right)\) là :

\(y=\left(-3x^2_0+3\right)\left(x-x_0\right)-x_0^3+3x_0-2\)

Gọi N (a;0) thuộc trục hoành. Vì \(N\in\Delta\) nên \(0=\left(-3x^2_0+3\right)\left(a-x_0\right)-x_0^3+3x_0-2\)

                           \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=1\\g\left(x_0\right)=2x_0^2+\left(2-3a\right)x_0+2-3a=0\end{array}\right.\) (*)

Để từ N kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì phương trình \(f\left(x_0\right)=0\) phải có hệ nghiệm phân biệt khác 1

Điều này tương đương với :

\(\begin{cases}\Delta=\left(2-3a\right)^2-8\left(2-3a\right)>0\\g\left(1\right)6-6a\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a\in\left(-\infty;-2\right)\cup\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\backslash\left\{1\right\}\)

Giả sử \(x_3=1\) thì \(x_1;x_2\) là nghiệm phương trình (*) nên theo Viet ta có :

\(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{3a-2}{2}\\x_1.x_2=\frac{2-3a}{2}\end{cases}\)

Ta có \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=21\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=20\)

                                      \(\Leftrightarrow\left(3a-2\right)^3+6\left(3a-2\right)^2-160=0\)

                                      \(\Leftrightarrow3a-2=4\Leftrightarrow a=2\) (thỏa mãn)

Vậy ta có \(N\left(2;0\right)\)

câu này trình bày như thế nào

Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=kx+m\)

d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x+2}{x-1}=kx+m\\\frac{-3}{\left(x-1\right)^2}=k\end{cases}\) có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :

\(\frac{x+2}{x-1}=\frac{-3x}{\left(x-1\right)^2}+m\Leftrightarrow\left(m-1\right)x^2-2\left(m+2\right)x+m+2=0\) (*)

Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'=3\left(m+2\right)>0\\m\ne1\\m-1-2\left(m+2\right)+m+2\ne0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m>-2\\m\ne1\end{cases}\) (i)

Khi đó tọa độ 2 tiếp điểm là \(M_1\left(x_1;y_1\right);M_2\left(x_2;y_2\right)\) với \(x_1;x_2\) là nghiệm của (*) và \(y_1=\frac{x_1+2}{x_1-1};y_2=\frac{x_2+2}{x_2-1}\)

Để \(M_1;M_2\) nằm về 2 phía của Ox thì \(y_1.y_2< 0\Leftrightarrow\frac{x_1x_2+2\left(x+_1x_2\right)+4}{x_1x_2-\left(x+_1x_2\right)+1}< 0\left(1\right)\)

Áp dụng định lý Viet :

\(x_1+x_2=\frac{2\left(m+2\right)}{m+1};x_1x_2=\frac{m+2}{m-1}\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{9m+6}{-3}< 0\Leftrightarrow m>-\frac{2}{3}\)

Kết hợp với (i), ta có \(\begin{cases}m>-\frac{2}{3}\\m\ne1\end{cases}\) là những giá trị cần tìm

nhưng điểm M là điểm mà tiếp tuyến đi qua chứ đâu phải là tiếp điểm

e không hiểu

mọi người giúp em với

Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với \(Ox\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^3-3mx^2-x+3m\left(1\right)\\3x^2-6mx-1=0\left(2\right)\end{cases}\) có nghiệm

Ta có (1) \(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x-3m\right)=0\Leftrightarrow x=\pm1;x=3m\)

* \(x=1\) thay vào (2) ta có \(m=\frac{1}{3}\)

* \(x=-1\) thay vào (2) ta có \(m=\frac{-1}{3}\)

* \(x=3m\) thay vào (2) ta có \(m=\pm\frac{1}{3}\)

Vậy \(m=\pm\frac{1}{3}\) là những giá trị cần tìm

Ta có : \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) tiếp xúc nhau <=> hệ phương trình sau có nghiệm :

    \(\begin{cases}mx^3+\left(1-2m\right)x^2+2mx=3mx^3+3\left(1-2m\right)x+4m-2\\3mx^2+2\left(1-2m\right)x+2m=9mx^2+3\left(1-2m\right)\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}2mx^3-\left(1-2m\right)x^2+\left(3-8m\right)x+4m-2=0\left(1\right)\\6mx^2-2\left(1-2m\right)x+3-8m=0\left(2\right)\end{cases}\)

Ta có : \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2mx^2-\left(1-4m\right)x+4m+2\right)=0\)

                \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\2mx^2-\left(1-4m\right)x-4m+2=0\end{array}\right.\)

* Với \(x=1\) thay vào (2), ta có \(m=\frac{1}{2}\)

* Với \(2mx^2-\left(1-4m\right)x-4m+2=0\) (*) ta có :

\(\left(2\right)\Leftrightarrow4mx^2-x+1-4m=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=\frac{1-4m}{4m}\end{array}\right.\) (\(m\ne0\) vì m = 0 hệ vô nghiệm)

Thay \(x=\frac{1-4m}{4m}\) vào (*) ta được : 

                     \(\frac{\left(1-4m\right)^2}{8m}-\frac{\left(1-4m\right)^2}{4m}+2-4m=0\)

                 \(\Leftrightarrow48m^2-24m+1=0\)

                 \(\Leftrightarrow m=\frac{3\pm\sqrt{6}}{12}\)

Vậy \(m=\frac{3\pm\sqrt{6}}{12};m=\frac{1}{2}\)

Giả sử \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường thẳng \(y=ax+b\), khi đó phương trình sau có nghiệm với mọi m :

    \(\begin{cases}\frac{\left(3m+1\right)x+m-m^2}{x+m}=ax+b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\begin{cases}3m+1-\frac{4m^2}{x+m}=a\left(x+m\right)am+b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{8m^2}{x+m}=am+3m+1-b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(am+3m+1-b\right)^2}{16m^2}=a\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\left(a^2-10a+9\right)m^2+2\left(a+3\right)\left(1-b\right)m+\left(1-b\right)^2=0\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-10a+9=0\\\left(a+3\right)\left(1-b\right)=0\\\left(1-b\right)^2=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=1;a=9\\b=1\end{cases}\)

Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng \(y=x+1;y=9x+1\)

Điều kiện cần : \(y'=\frac{9}{\left(x-m\right)^2}\)

Nếu có một tiếp tuyến cố định chung cho mọi đồ thị của họ \(\left(C_m\right)\) thì hiển nhiên hệ số góc của tiếp tuyến ấy không đổi

Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì ắt tồn tại điểm x sao cho y' có góc không phụ thuộc m. Nếu có điều đó xảy ra thì ắt phải xảy ra tại các điểm mà

\(x-m=a\Leftrightarrow x=a+m\) (Với a là hằng số)

Tại \(x=a+m\), ta có \(y'=\frac{-9}{a^2};y=\frac{ma+3a-9}{a}\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) là \(y=\frac{9}{a^2}\left(x-a-m\right)+\frac{ma+3a-9}{a}\)

                                                    \(\Leftrightarrow y=\frac{9}{a^2}\left[\left(9x-18a+3a^2+m\left(a^2-9\right)\right)\right]\) (1)

* Điều kiện đủ : Với \(a^2-9=0\Leftrightarrow a=\pm3\)

Ta có (1) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=9\left(x-3\right)\\y=9\left(x+9\right)\end{array}\right.\)

Rõ ràng \(y=9x-27\) và \(y=9x+81\) là các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị khi m thay đổi

a. Ta có : \(y'=3x^2-6x+2\)

\(x_0=1\Leftrightarrow y_0=-6\) và \(y'\left(x_0\right)=y'\left(-1\right)=11\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến là \(y=y'\left(-1\right)\left(x+1\right)-6=11x+5\)

b. Gọi \(M\left(x_0;6\right)\) là tiếp điểm, ta có :

\(x_0^3-3x_0^2+2x_0=6\Leftrightarrow\left(x_0-3\right)\left(x_0^2+2\right)=0\Leftrightarrow x_0=3\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là :

 \(y=y'\left(3\right)\left(x-3\right)+6=11x-27\)

c. PTHD giao điểm của (C) với Ox :

\(x^3-3x^2+2x=0\Leftrightarrow x=0;x=1;x=2\)

* \(x=0\) ta có tiếp tuyến : \(y=y'\left(0\right)\left(x-0\right)+0=2x\)

* \(x=1\) ta có tiếp tuyến : \(y=y'\left(1\right)\left(x-1\right)+0=-x+1\)

* \(x=2\) ta có tiếp tuyến : \(y=y'\left(2\right)\left(x-2\right)+0=2x-4\)

Gọi \(M\left(x_0;\frac{2x_0-1}{x_0-1}\right);x_0\ne-1\) là tiếp điểm.

Theo đề bài ta có MA = 2

hay \(x^2_0+\left(\frac{2x_0-1}{x_0+1}-1\right)^2=4\Leftrightarrow x^2_0+\left(\frac{x_0-2}{x_0+1}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow x_0\left(x_0-2\right)\left(x^2_0+4x_0+6\right)=0;\left(x_0\ne-1\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=0\\x_0=2\end{array}\right.\)

* Với \(x_0=0\), phương trình tiếp tuyến là \(y=y'\left(0\right)\left(x-0\right)+y\left(0\right)\) hay \(y=3x-1\)

* Với \(x_0=2\), phương trình tiếp tuyến là \(y=y'\left(2\right)\left(x-2\right)+y\left(2\right)\) hay \(y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\)

Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn bài toán \(y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\) và \(y=3x-1\)

a. Tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình :

\(y=\left(m-2\right)\left(x-1\right)+3m-2=\left(m-2\right)x+3m\)

Yêu cầu của bài toán khi và chỉ khi \(\begin{cases}m-2=3\\2m\ne10\end{cases}\) vô nghiệm

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán

b. Ta có \(y'=3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}\right)+m-\frac{7}{3}=3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+m-\frac{7}{3}\)

Suy ra \(y'\ge m-\frac{7}{3}\)

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=\frac{2}{3}\) có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị \(k=m-\frac{7}{3}\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow k.2=-1\Leftrightarrow\left(m-\frac{7}{3}\right).2=-1\Leftrightarrow m=\frac{11}{6}\)