Bài 5b: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Ta có : \(y'=\frac{-m-3}{\left(x-1\right)^2}\)

a) Vì \(x_0=0\Rightarrow y_0=-m-1;y'\left(x_0\right)=-m-3\)

Phương trình tiếp tuyến d của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=0\) là :

\(y=\left(-m-3\right)x-m-1\)

Tiếp tuyến đi qua \(A\) khi và chỉ khi \(3=\left(-m-3\right)4-m-1\Leftrightarrow m=-\frac{16}{5}\)

b) Ta có : \(x_0=2\Rightarrow y_0=m+5;y'\left(x_0\right)=-m-3\)

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=2\) là :

\(y=\left(-m-3\right)\left(x-2\right)+m+5=\left(-m-3\right)x+3m+11\)

* \(\Delta\cap Ox=A\Rightarrow A\left(\frac{3m+11}{m+3};0\right)\) với \(m+3\ne0\)

* \(\Delta\cap Oy=B\Rightarrow B\left(0;3m+11\right)\)

Suy ra diện tích tam giác OAB là : \(S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\frac{\left(3m+11\right)^2}{\left|m+3\right|}\)

Theo giả thiết bài toán suy ra \(\frac{1}{2}\frac{\left(3m+11\right)^2}{\left|m+3\right|}=\frac{25}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(3m+11\right)^2=25\left|m+3\right|\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}9m^2+66m+121=25m+75\\9m^2+66m+121=-25m-75\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}9m^2+41m+46=0\\9m^2+91m+196=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=-2;m=-\frac{23}{9}\\m=-7;m=-\frac{28}{9}\end{array}\right.\)

  

 

Ta có \(y'=4x^3-16x\)

Vì \(x_0=1\Rightarrow y_0=m-6;y'\left(x_0\right)=-12\)

Phương trình tiếp tuyến d của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) là :

\(y=-12\left(x-1\right)+m-6=-12x+m+6\)

Phương trình hoành độ giao điểm của  \(\left(C_m\right)\) với d :

\(x^4-8x^2+m+1=-12x+m+6\Leftrightarrow x^4-8x^2+12-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x-5\right)=0\Leftrightarrow x=1,x=-1\pm\sqrt{6}\)

Vậy d và  \(\left(C_m\right)\) luôn cắt nhay tại 3 điểm 

\(A\left(1;m-6\right);B\left(-1\pm\sqrt{6};m+18\ne\sqrt{6}\right)\)

 

Hàm số xác định với mọi \(x\ne1\). Ta có : \(y'=\frac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right);\left(x_0\ne1\right)\) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) :

\(\Delta:y=\frac{-4}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\frac{2x_0+2}{x_0-1}\)

a) Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng -4 nên ta có :

\(\frac{4}{\left(x_0-1\right)^2}=-16\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=\frac{3}{2}\\x_0=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)

* \(x_0=\frac{3}{2}\Rightarrow y_0=10\Rightarrow\Delta=-16\left(x-\frac{3}{2}\right)+10\) hay \(y=-16x+22\)

* \(x_0=\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=-6\Rightarrow\Delta=-16\left(x-\frac{1}{2}\right)-6\) hay \(y=-16x+2\)

 b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d : \(y=-4x+1\) nên ta có :\(y'\left(x_0\right)=-4\Leftrightarrow\frac{-4}{\left(x_0-1\right)^2}=-4\Leftrightarrow x_0=0;x_0=2\)* \(x_0=0\Rightarrow y_0=2\Rightarrow\Delta:y=-4x+2\)* \(x_0=2\Rightarrow y_0=6\Rightarrow\Delta:y=-4x+14\) c) Vì tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ 1 tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác \(y=\pm x\), do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(\pm1\) hay \(y'\left(x_0\right)=\pm1\) mà \(y'>0\), mọi \(x\ne1\) nên ta có :\(y'\left(x_0\right)=-1\Leftrightarrow\frac{-4}{\left(x_0-1\right)^2}=-1\Leftrightarrow x_0=-1;x_0=3\)* \(x_0=-1\Rightarrow y_0=0\Rightarrow\Delta:y=-x-1\)* \(x_0=3\Rightarrow y_0=4\Rightarrow\Delta:y=-x+7\)  

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\)là tiếp điểm. Ta có : \(y'=-3x^2+3\)

a) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+y-1=0\Rightarrow y=-x+1\) nên ta có :

\(y'\left(x_0\right)=1\Leftrightarrow-3x^2_0+3=1\Leftrightarrow x_0=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}\)

* \(x_0=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow y_0=\frac{18+7\sqrt{6}}{9}\) nên ta có phương trình tiếp tuyến 

                                       \(y=\left(x-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)+\frac{18+7\sqrt{6}}{9}=x+\frac{18+7\sqrt{6}}{9}\)

* \(x_0=-\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow y_0=\frac{18-7\sqrt{6}}{9}\) nên ta có phương trình tiếp tuyến 

                                       \(y=\left(x+\frac{\sqrt{6}}{3}\right)+\frac{18-7\sqrt{6}}{9}=x+\frac{18-7\sqrt{6}}{9}\)

 b) Ta có \(y'=-3x^2_0+3\le3\) với mọi \(x_0\Rightarrow maxy'=3\) đạt được khi \(x_0=0\)Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất có tiếp điểm là \(M\left(0;2\right)\) và \(y'\left(x_0\right)=3\) nên ta có phương trình : \(y=3x+2\) c) Gọi hệ số góc của tiếp tuyến là k thì \(\overrightarrow{n}\left(k;-1\right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta\)

Vì \(\Delta\) tạo với \(\Delta'\) một góc bằng \(45^0\) nên \(\frac{\left|k-1\right|}{\sqrt{k^2+1}.\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow k=0\)

Ta có \(f'\left(x_0\right)=k\Leftrightarrow-3x^2_0+3=0\Leftrightarrow x_0=\pm1\)

* \(x_0=1\Rightarrow y_0=4\Rightarrow\Delta:y-4=0\)

* \(x_0=-1\Rightarrow y_0=-2\Rightarrow\Delta:y+2=0\)

   

 

Tập xác định : \(D=R\)

Gọi tiếp điểm là \(M\left(x_0;y_0\right);y'=-4x^3-x\)

Hệ số gọc của \(\Delta\) là \(k=y'\left(x_0\right)\)

a) Vì  \(\Delta\perp d\)  nên \(\frac{1}{5}.k=-1\Leftrightarrow k=-5\Leftrightarrow-4x^3_0-x_0=-5\Leftrightarrow x_0=1\)

\(x_0=1\Rightarrow y\left(x_0\right)=\frac{9}{2}\Rightarrow\Delta:y=-5\left(x-1\right)+\frac{9}{2}\Leftrightarrow\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)

Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của (C) là \(\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)

b) Phân giác của 2 đường \(d_1;d_2\) là :

\(\frac{\left|2x-y+2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left|x-2y+3\right|}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=-x+1\\y=x+\frac{5}{3}\end{array}\right.\)

Từ giả thiết suy ra \(\Delta\)  vuông góc với các đường phân giác của  \(d_1;d_2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(\pm1\) ( \(\Delta\)  không đi qua giao điểm của   \(d_1;d_2\))

* Trường hợp 1: Với k = 1 ta có \(-4x_0^3-x_0=1\Leftrightarrow x_0=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=\frac{93}{16}\)

                        Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x+\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{101}{16}\)

* Trường hợp 2: Với k = -1 ta có \(-4x_0^3-4x_0=-1\Leftrightarrow x_0=\frac{1}{2}\)

                        Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x-\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{85}{16}\)

 

 

   

Ta có : \(y'\left(x\right)=4mx^3+\left(6m+\frac{1}{12}\right)x\)

Ta có hệ số góc các tiếp tuyến \(\left(C_m\right)\) tại A và B lần lượt là :

\(y'\left(-1\right)=-10m-\frac{1}{12}\) và \(y'\left(2\right)=44m+\frac{1}{6}\)

Do đó các tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại A và B vuông góc với nhau khi và chỉ khi :

\(y'\left(-1\right).y'\left(2\right)=-1\Leftrightarrow\left(-10m-\frac{1}{12}\right)\left(44m+\frac{1}{6}\right)=-1\)

                            \(\Leftrightarrow440m^2+\frac{16}{3}m-\frac{71}{72}=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=\frac{1}{24}\\m=-\frac{71}{1320}\end{array}\right.\)

Vậy giá trị cần tìm là \(\begin{cases}m=\frac{1}{24}\\m=-\frac{71}{1320}\end{cases}\)

Ta có \(\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của đường thẳng d

\(y'=3x^2-2\left(m+2\right)x+m-1\Rightarrow y'\left(1\right)=3-2m-4+m-1=-m-2\)

Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ bằng 1. Suy ra phương trình của  \(\Delta\) có dạng \(y=y'\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)\)

Do đó \(\overrightarrow{n}=\left(m+2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của  \(\Delta\)

Theo đề bài ta có : \(\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\cos30^0\Rightarrow\frac{\left|\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

                         \(\Leftrightarrow\frac{\left|2\left(m+2\right)+1\right|}{\sqrt{5}\sqrt{\left(m+2\right)^2+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

                         \(\Leftrightarrow m^2+20m+25=0\)

                         \(\Leftrightarrow m=-10\pm5\sqrt{3}\)

  

Tập xác định \(D=R\backslash\left\{2-m\right\}\)

Ta có : \(y'=\frac{m^2-2m-1}{\left(x+m-2\right)^2}\)

a) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường thẳng :

\(y=x+1\) khi \(y'\left(1\right)=-1\Leftrightarrow\frac{m^2-2m-1}{\left(x+m-2\right)^2}=-1\Leftrightarrow m=0;m=2\)

* Với m = 0 ta có phương trình tiếp tuyến \(y=-\left(x-1\right)-1=-x\)

* Với m = 2 ta có phương trình tiếp tuyến \(y=-\left(x-2\right)+3=-x+5\)

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

 

b) G\(m\ge1+\sqrt{2};m\le1-\sqrt{2}\)ọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm. Ta có \(y'\left(x_0\right)=-\frac{1}{2}\)

\(\frac{m^2-2m-1}{\left(x_0+m-2\right)^2}=-\frac{1}{2}\) (*)

Yêu cầu bài toán suy ra (*) vô nghiệm, điều đó xảy ra khi :

\(m^2-2m-1\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m\ge1+\sqrt{2}\\m\le1-\sqrt{2}\end{array}\right.\)

Vậy giá trị cần tìm là \(m\le1-\sqrt{2};m\ge1+\sqrt{2}\)

Đặt \(A\left(a;a^3-3a^2+2\right);B\left(b;b^3-3b^2+2\right);a\ne b\)

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A, B là :

\(k_A=y'\left(x_A\right)=3a^2-6a;k_B=y'\left(x_B\right)=3b^2-6b\)

Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau khi và chỉ khi \(k_A=k_B\)

\(\Leftrightarrow3a^2-6a=3b^2-6b\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-2\right)=0\)

                                    \(\Leftrightarrow b=2-a\)

Độ dài đoạn AB là :

\(AB=\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left[a^3-b^3-3\left(a^2-b^2\right)\right]^2}\)

      \(=\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left(a-b\right)^2.\left[a^2+ab+b^2-3\left(a+b\right)\right]^2}\)

      \(=\sqrt{4\left(a-1\right)^2+4\left(a-1\right)^2\left[\left(a-1\right)^2-3\right]^2}\)

Đăth \(\left(a-1\right)^2=t\) mà \(AB=4\sqrt{2}\Leftrightarrow t+t\left(1-3\right)^2=8\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(t^2-2t+2\right)=0\)

                                                  \(\Leftrightarrow t=4\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a-1=2\\a-1=-2\end{array}\right.\)

                                                              \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=3\\a=-1\end{array}\right.\)

* Với \(a=3\Rightarrow b=-1\Rightarrow A\left(3;2\right);B\left(-1;-2\right)\)

* Với \(a=1\Rightarrow b=3\Rightarrow A\left(-1;-2\right);B\left(3;2\right)\)

Vậy \(A\left(-1;-2\right);B\left(3;2\right)\) hoặc \(A\left(3;2\right);B\left(-1;-2\right)\)

 

Gọi \(A\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);B\left(b;\frac{2b}{b-1}\right);\left(a,b\ne0;a,b\ne1;a\ne b\right)\) thuộc đồ thị (C)

Khi đó hệ số góc của các đường tiếp tuyếb rại A; B lần lượt là :

\(k_1=-\frac{2}{\left(a-1\right)^2};k_2=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2};\)

Do các đường tiếp tuyến song song nên :

\(-\frac{2}{\left(a-1\right)^2}=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2};\)

\(\Leftrightarrow a+b=2\)

Mặt khác, ta có : \(\overrightarrow{OA}=\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);\overrightarrow{OB}=\left(b;\frac{2b}{b-1}\right)\)

Do OAB là tam giác vuông tại O nên \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\)

Ta có hệ : \(\begin{cases}a+b=2\\ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\end{cases}\)

Giải hệ ta được : \(\begin{cases}a=-1\\b=3\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=3\\b=-1\end{cases}\)

Vậy 2 điểm cần tìm có tọa độ là : (-1;1) và (3;3)