Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Nguyễn Việt Lâm
29 tháng 7 lúc 15:00

\(\Leftrightarrow3^{x^2}.4^{x+1}=3^{-x}\)

Lấy logarit cơ số 3 hai vế:

\(\Rightarrow log_3\left(3^{x^2}.4^{x+1}\right)=log_3\left(3^{-x}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(x+1\right)log_34=-x\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+\left(x+1\right)log_34=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)log_34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+log_34\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-log_34=-2log_32\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 6 lúc 15:32

ĐKXĐ: \(-x^2+4x+m>0\)

\(log_2\left(-x^2+4x+m\right)-log_2\left(x^2+2\right)< log_23\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(\dfrac{-x^2+4x+m}{x^2+2}\right)< log_23\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-x^2+4x+m}{x^2+2}< 3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x^2+4x+m>0\\-x^2+4x+m< 3x^2+6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>x^2-4x\\m< 4x^2-4x+6\end{matrix}\right.\) ; \(\forall x\in\left[1;5\right]\)

Xét hai hàm \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=x^2-4x\\g\left(x\right)=4x^2-4x+6\end{matrix}\right.\) trên \(\left[1;5\right]\) ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)_{max}=f\left(5\right)=5\\g\left(x\right)_{min}=g\left(1\right)=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5\le m\le6\)

Có 2 giá trị nguyên của m

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
20 tháng 6 lúc 9:24

\(1\le1+\sqrt{1-x^2}\le2\Rightarrow3\le3^{1+\sqrt{1-x^2}}\le9\)

Đặt \(3^{1+\sqrt{1-x^2}}=t\Rightarrow t\in\left[3;9\right]\)

Phương trình trở thành: \(t^2-\left(m+2\right)t+2m+1=0\) 

\(\Leftrightarrow t^2-2t+1=m\left(t-2\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{t^2-2t+1}{t-2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\dfrac{t^2-2t+1}{t-2}\) trên \(\left[3;9\right]\)

\(f'\left(t\right)=\dfrac{t^2-4t+3}{\left(t-2\right)^2}\ge0\) ; \(\forall t\in\left[3;9\right]\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên khoảng đã cho

\(\Rightarrow f\left(3\right)\le f\left(t\right)\le f\left(9\right)\Rightarrow4\le m\le\dfrac{64}{7}\)

Có 6 giá trị nguyên của m 

Bình luận (2)
Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 4 lúc 18:11

a.

\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=27\Rightarrow x=log_{\dfrac{1}{3}}27=-3\)

b.

\(4^x=\dfrac{\sqrt{2}}{8}\Rightarrow x=log_4\left(\dfrac{\sqrt{2}}{8}\right)=-\dfrac{5}{4}\)

c.

\(\left(0.2\right)^x=10\Rightarrow x=log_{0,2}10=-log_510\)

Bình luận (0)
Trần Minh Hoàng
15 tháng 3 lúc 23:22

Không biết em có làm sai không:

ĐKXĐ: \(x,y\ge0\).

Đặt 2x = a; 3y = b. 

 HPT trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{5}\right)^a-\left(\sqrt{5}\right)^b+\left(a-b\right)\left(ab+12\right)=0\\a^2+b^2=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=16\\\left(\sqrt{5}\right)^a-\left(\sqrt{5}\right)^b+\left(b-a\right)\left(a^2+b^2\right)+a^3-b^3+12\left(a-b\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=16\\\left(\sqrt{5}\right)^a+a^3-4a=\left(\sqrt{5}\right)^b+b^3-4b=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\).

Giả sử \(a\ge b\Rightarrow\left(\sqrt{5}\right)^a\ge\left(\sqrt{5}\right)^b\). Mà \(\left(a^3-4a\right)-\left(b^3-4b\right)=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2-4\right)\ge0\) nên VT(1) \(\ge\) VP(1). 

Do đẳng thức xảy ra nên ta có a = b. Thay vào ta tìm được a = b = \(2\sqrt{2}\) nên \(x=\sqrt{2};y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).

 

Bình luận (2)
Hoàng Tử Hà
15 tháng 3 lúc 23:49

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=\left(3y-2x\right)\left(6xy+12\right)\left(1\right)\\4x^2+9y^2=16\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Rightarrow4x^2+9y^2-4=12\) the vo (1)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=\left(3y-2x\right)\left(6xy+4x^2+9y^2-4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=27y^3-8x^3-12y+8x\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}+\left(2x\right)^3-4.\left(2x\right)=\left(\sqrt{5}\right)^{3y}+\left(3y\right)^3-4.\left(3y\right)\left(3\right)\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\left(\sqrt{5}\right)^{2t}+\left(2t\right)^3-4.2t\)  đồng biến trên R

\(\Rightarrow\left(3\right):f\left(2x\right)=f\left(3y\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=3y\\4x^2+9y^2=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\end{matrix}\right.\)

 

 

 

Bình luận (2)
Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 1 lúc 19:31

ĐKXĐ: \(x>0;x\ne\left\{\dfrac{1}{2};2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{1-log_2x}+\dfrac{\dfrac{1}{2}log_2x}{1+log_2x}>\dfrac{log_2x}{1-log_2^2x}\)

Đặt \(log_2x=t\ne\pm1\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{1-t}+\dfrac{t}{2\left(1+t\right)}>\dfrac{t}{1-t^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(1+t\right)+t\left(1-t\right)-2t}{2\left(1-t\right)\left(1+t\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-t^2+3t+4}{2\left(1-t\right)\left(1+t\right)}>0\Leftrightarrow\dfrac{\left(t+1\right)\left(4-t\right)}{2\left(1-t\right)\left(1+t\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4-t}{1-t}>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t>4\\t< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}log_2x>4\\log_2x< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>16\\0< x< \dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}< x< 2\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 1 lúc 19:07

Đề bài là:

\(\dfrac{2}{1-log_2x}+\dfrac{log_4x}{1+log_2x}>\dfrac{log_2x}{1-log_2^2x}\) đúng ko bạn?

Bình luận (1)
Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 12 2020 lúc 1:39

ĐKXĐ: \(x>3\)

\(\log_2x-\dfrac{1}{2}log_2\left(x-3\right)=2\)

\(\Leftrightarrow2\log_2x-log_2\left(x-3\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\log_2\dfrac{x^2}{x-3}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{x-3}=16\)

\(\Leftrightarrow x^2-16x+48=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=12\\x=4\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 12 2020 lúc 21:47

ĐKXĐ: \(0< x\le1\)

\(\Leftrightarrow\log\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)=2\log\left(2+\sqrt{1-x^2}\right)-\log\left(\sqrt{\left(1+x\right)^3}-\sqrt{\left(1-x\right)^3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\log\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)=2\log\left(2+\sqrt{1-x^2}\right)-\log\left(6x^2+2-2\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}\right)\)

Đặt \(\sqrt{1-x^2}=t\Rightarrow0\le t< 1\)

\(\Rightarrow\log\left(1+t\right)=2\log\left(2+t\right)-\log\left(8-6t^2-2t^3\right)\)

\(\Leftrightarrow\log\left(1+t\right)=2\log\left(t+2\right)-\log\left[\left(2-2t\right)\left(t+2\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow\log\left(1+t\right)=2\log\left(t+2\right)-\log\left(2-2t\right)-2\log\left(t+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\log\left(1+t\right)+\log\left(2-2t\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1+t\right)\left(2-2t\right)=1\)

\(\Leftrightarrow t^2=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow1-x^2=\frac{1}{2}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 12 2020 lúc 21:15

1.

ĐKXĐ: ...

Đặt \(log_7\left(6x-5\right)=t\Rightarrow6x-5=7^t\)

Ta được hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}7^{x-1}=6t+1\\7^t=6\left(x-1\right)+1\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế: \(\Rightarrow7^{x-1}-7^t=6t-6\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow7^{x-1}+6\left(x-1\right)=7^t+6t\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=7^t+t\Rightarrow f'\left(t\right)>0\)

\(\Rightarrow x-1=t\Rightarrow7^t=6t+1\)

\(\Rightarrow7^t-6t-1=0\)

Nhận thấy \(t=\left\{0;1\right\}\) là 2 nghiệm của pt trên

Xét \(f\left(t\right)=7^t-6t-1\Rightarrow f'\left(t\right)=7^tln7-6=0\)

\(\Rightarrow7^t=\frac{6}{ln7}\Rightarrow t=log_7\left(\frac{6}{ln7}\right)\)

\(\Rightarrow f'\left(t\right)\) có đúng 1 nghiệm nên \(f\left(t\right)=0\) có tối đa 2 nghiệm

Vậy pt đã cho có đúng 2 nghiệm \(t=\left\{0;1\right\}\Rightarrow x=\left\{1;2\right\}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 12 2020 lúc 21:15

2,

ĐKXĐ: ...

Đặt \(log_6x=t\Rightarrow x=6^t\)

\(\Rightarrow log_2\left(6^t+3^t\right)=t\)

\(\Leftrightarrow6^t+3^t=2^t\)

\(\Leftrightarrow3^t+\left(\frac{3}{2}\right)^t-1=0\)

Nhận thấy pt trên có 1 nghiệm \(t=-1\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=3^t+\left(\frac{3}{2}\right)^t-1\)

\(f'\left(t\right)=3^tln3+\left(\frac{3}{2}\right)^t.ln\left(\frac{3}{2}\right)>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(t\right)=0\) có tối đa 1 nghiệm

\(\Rightarrow\) pt có nghiệm duy nhất \(t=-1\) hay \(x=\frac{1}{6}\)

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN