Bài 5: Phép quay

Gọi \(M_1\) là ảnh của M qua phép quay

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{M1}=1.cos90^0-\left(-2\right).sin90^0=2\\y_{M1}=1.sin90^0+\left(-2\right).cos90^0=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M_1\left(2;1\right)\)

\(M_2\) là ảnh của \(M_1\) qua phép tịnh tiến \(\Rightarrow M_2\left(4;5\right)\)

Công thức đây, sau gặp mấy bài kiểu này bạn cứ áp dụng vô là được, cần thì mình chứng minh cho :)

Với mỗi điểm M(x;y) ua phép uay góc alpha tâm I(a;b), ta được ảnh M'(x';y') sao cho:

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=a+\left(x-a\right)\cos\alpha-\left(y-b\right)\sin\alpha\\y'=b+\left(x-a\right)\sin\alpha+\left(y-b\right)\cos\alpha\end{matrix}\right.\)

\(M\left(x;y\right)\in\left(d\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=-y\\y'=x\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(d\right):y'+2x'-4=0\)

\(\Rightarrow\left(d_1\right):2x'+y'-4=0\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là 1 điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow x-2y-4=0\) (1)

Gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép quay \(\Rightarrow M'\in d_1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x.cos\left(-90^0\right)-y.sin\left(-90^0\right)=y\\y'=x.sin\left(-90^0\right)+y.cos\left(-90^0\right)=-x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-y'\\y=x'\end{matrix}\right.\) thế vào (1): \(-y'-2x'-4=0\Leftrightarrow2x'+y'+4=0\)

Vậy pt ảnh là: \(2x+y+4=0\)

Đường tròn tâm \(I\left(-1;4\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Gọi (C') là ảnh của (C) thì (C') có bán kính R và tâm I' là ảnh của I qua phép quay

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{I'}=x_I.cos90^0-y_I.sin90^0=-4\\y_{I'}=x_I.sin90^0+y_I.cos90^0=-1\end{matrix}\right.\)

Phương trình (C'): \(\left(x+4\right)^2+\left(y+1\right)^2=5\)

Gọi M' là ảnh của M qua phép quay

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=x_M.cos\frac{\pi}{2}-y_Msin\frac{\pi}{2}\\y_{M'}=x_M.sin\frac{\pi}{2}+y_M.cos\frac{\pi}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=1\\y_{M'}=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(1;5\right)\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow2x+3y+4=0\)

Gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép quay Q \(\Rightarrow M'\in d'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=2+\left(x-2\right)cos45^0-\left(y-1\right)sin45^0\\y'=1+\left(x-2\right)sin45^0+\left(y-1\right)cos45^0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}\left(x'-2\right)=x-2-\left(y-1\right)\\\sqrt{2}\left(y'-1\right)=x-2+y-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=\sqrt{2}x'-2\sqrt{2}+1\\x+y=\sqrt{2}y'-\sqrt{2}+3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x'+y'\right)-\frac{3\sqrt{2}}{2}+2\\y=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(y'-x'\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}+1\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1):

\(\sqrt{2}\left(x'+y'\right)-3\sqrt{2}+4+\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(y'-x'\right)+\frac{3\sqrt{2}}{2}+3+4=0\)

\(\Leftrightarrow-x'+5y'-3+11\sqrt{2}=0\)

Vậy pt ảnh của d là: \(x-5y+3-11\sqrt{2}=0\)