Bài 5. ÔN TẬP CHƯƠNG I - Hỏi đáp

a/ \(VT=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}\)

\(=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\right)+\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\overrightarrow{0}+\frac{1}{2}.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}=VP\)

b/ Câu này áp dụng luôn kq câu a

\(\overrightarrow{MF}-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MG}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MH}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\)

chuyển mấy cái vecto kia sang vế phải là có ngay đpcm câu b

c/\(VT=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{ID}=3\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}\)

Để ý tới G là TĐ CD, F là TĐ BC

Theo quy tắc trung điểm

\(\Rightarrow\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IF}=2\overrightarrow{HI}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{HI}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{HI}+\overrightarrow{HD}\)

Mà \(\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{AH}\Rightarrow\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{HI}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AI}\)

Thay vào cái trên sẽ có đpcm

Dựng hình bình hành ABDC \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{DC}\) ; \(\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{DB}\)

a/

\(\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}\right|\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MD}\right|=\left|\overrightarrow{MA}\right|\)

\(\Rightarrow\) Tập hợp M là trung trực của đoạn thẳng AD

b/ \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AC}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AC}\right|\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MD}\right|\)

Tập hợp M là trung trực đoạn CD

c/Dựng hình bình hành AEBC \(\Rightarrow\overrightarrow{EB}=-\overrightarrow{CA}\)

\(\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CA}\right|=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BM}\right|\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{ME}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\)

Tập hợp M là đường tròn tâm E bán kính BC

a) Mình nghĩ tam giác ABC nhọn?

Gọi M là trung điểm của BC.

Theo định lý về khoảng cách từ trực tâm đến một điểm và khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện, ta có AH = 2OM.

Mà AH // OM (Do cùng vuông góc với BC)

Nên \(\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}\).

Ta có: \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB};\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}\Rightarrow\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AH}\).

\(\Rightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}\left(đpcm\right)\)

b) Ở câu a ta đã chứng minh:

\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).

Tương tự: \(\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA};\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\).

Cộng vế với vế ta có: \(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CH}=2\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}\right)=2\overrightarrow{OH}\) (câu a).

Đổi dấu hai vế ta có đpcm.

a) Chữa đề: \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{NM}\)

\(Ta\text{ }có:\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\\ =\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}+\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}\)

\(\)\(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}\\ =2\overrightarrow{CM}+2\overrightarrow{NC}=2\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CM}\right)=2\overrightarrow{NM}\)

Vậy \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{NM}\)

\(\text{b) }\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=-\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\\ =-\left[\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\right]\\ =-\left(2\overrightarrow{DM}+2\overrightarrow{CM}\right)=2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC}\right)=4\left(\overrightarrow{MN}\right)\)

\(\text{c) }2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{DA}\right)\\ =2\left[\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}\right)+\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{NA}\right)\right]\\ =2\left[\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DB}\right)+\overrightarrow{NI}\right]=2\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{NI}\right)\)

Mà IN là dường trung bình \(\Delta BCD\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IN//BD\\IN=\frac{1}{2}BD\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{IN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\\ \Rightarrow2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{DA}\right)\\ =2\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{NI}\right)=2\left(\overrightarrow{DB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}\right)=2\cdot\frac{3}{2}\overrightarrow{DB}=3\overrightarrow{DB}\)

\(M\left(0;y\right)\)

Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của IB\(\Rightarrow I\left(\dfrac{13}{2};\dfrac{7}{2}\right),K\left(\dfrac{19}{4};\dfrac{11}{4}\right)\)

\(Q=\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MB}\right|=4MK\)

Q nhỏ nhất khi MK ngắn nhất hay M là hình chiếu của K trên Oy, tức là \(y_M=y_K=\dfrac{11}{4}\)

\(E\left(x;0\right)\)

\(EB^2=\left(3-x\right)^2+4,EC^2=\left(6-x\right)^2+25\)

tam giác EBC cân tại E\(\Rightarrow EB^2=EC^2\Leftrightarrow\left(3-x\right)^2+4=\left(6-x\right)^2+25\Leftrightarrow x=8\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=1\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=1\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MG}\right|=1\)

\(\Leftrightarrow MG=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\) Tập hợp M là đường tròn tâm G bán kính \(\frac{1}{3}\) đơn vị

\(\overrightarrow{AB}=\left(-a;b\right)\) ; \(\overrightarrow{MA}=\left(a-2;-1\right)\)

ABM thẳng hàng \(\Rightarrow b\left(a-2\right)=a\Rightarrow b=\frac{a}{a-2}\)

Do \(b>0\Rightarrow a>2\)

a/ \(S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}.\frac{a^2}{a-2}=\frac{1}{2}\left(a-2+\frac{4}{a-2}+4\right)\ge\frac{1}{2}\left(2\sqrt{\frac{4\left(a-2\right)}{a-2}}+2\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a-2\right)^2=4\Rightarrow a=4\Rightarrow b=2\)

\(\Rightarrow A\left(4;0\right);B\left(0;2\right)\)

b/ \(OA+OB=a+b=a+\frac{a}{a-2}=a+1+\frac{2}{a-2}\)

\(=a-2+\frac{2}{a-2}+3\ge2\sqrt{\frac{2\left(a-2\right)}{a-2}}+3=3+2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a-2\right)^2=2\Leftrightarrow a=2+\sqrt{2}\Rightarrow b=1+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\left(2+\sqrt{2};0\right);B\left(0;1+\sqrt{2}\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(4;-3\right)\) ; \(\overrightarrow{CE}=\left(m-10;6\right)\)

Do ABCE là hình thang có CE là 1 đáy

\(\Rightarrow AB//CE\)

\(\Rightarrow\frac{m-10}{4}=\frac{6}{-3}\)

\(\Rightarrow m=2\) \(\Rightarrow E\left(2;1\right)\)

Akai Haruma Hồng Phúc giúp em với ạ

a, Ta có \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{2}a\left(\text{định lí Pytago}\right)\)

Gọi M là trung điểm AB

\(\Rightarrow CM=\sqrt{AM^2+AC^2}=\sqrt{a^2-\frac{1}{4}a^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\left(\text{định lí Pytago}\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|2\overrightarrow{CM}\right|=2CM=2.\frac{\sqrt{3}}{2}a=\sqrt{3}a\)

b, \(\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AK}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)

\(=\frac{1}{2}.2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{5}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)

c, \(\overrightarrow{AJ}=-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BJ}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{8}\overrightarrow{BE}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{8}\left(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{8}\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{8}\overrightarrow{AC}-\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}=\frac{5}{8}\text{​​}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{8}\text{​​}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{8}\left(5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

Theo câu b lại có

\(\overrightarrow{AI}=\frac{5}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\Rightarrow\text{​​}\text{​​}\text{​​}\overrightarrow{AI}=2\text{​​}\overrightarrow{AJ}\)

\(\Rightarrow A;I;J\) thẳng hàng