Bài 5: Khoảng cách

Gọi H là hình chiếu của S lên đáy (nhu hình vẽ) thì H là trung điểm AB \(\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(AB=2HB\Rightarrow d\left(A;\left(SBC\right)\right)=2d\left(H;\left(SBC\right)\right)\)

\(\widehat{A}=120^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM\perp BC\\AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\) (trung tuyến tam giác đều)

Gọi N là trung điểm BM \(\Rightarrow HN\) là đường trung bình tam giác ABM

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}HN\perp BC\\HN=\dfrac{1}{2}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SHN\right)\)

Trong tam giác vuông SHN, từ H kẻ \(HK\perp SN\Rightarrow HK\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SBC\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{HN^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2}=\dfrac{20}{3a^2}\)

\(\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}\)

\(d\left(A;\left(SBC\right)\right)=2HK=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}\)

Lời giải:

Kẻ $OT\perp AD$ và $OH\perp ST$

Vì $S.ABCD$ là chóp tứ giác đều nên $SO\perp (ABCD)$. Do đó:
$\angle (SB, (ABCD))=\angle (SB, BO)=\angle SBO=30^0$

$\frac{SO}{BO}=\tan \angle SBO=\tan 30^0$

$\Rightarrow SO=BO.\tan 30^0=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

Lại có:

$OT\perp AD, SO\perp AD\Rightarrow (SOT)\perp AD$

$\Rightarrow OH\perp AD$

Mà $OH\perp ST$

$\Rightarrow OH\perp (SAD)$

Nên $OH=d(O, (SAD))$. Theo hệ thức lượng giác vuông:

$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OT^2}=\frac{6}{a^2}+\frac{4}{a^2}$

$\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{10}}{10}$ 

Bạn coi lại đề xem có thiếu dữ kiện gì không?