Bài 4: Ôn tập chương nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 27 tháng 7 2020 lúc 13:00

Lời giải:

Bổ sung điều kiện $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$

Ta có:

ĐKĐB $\Rightarrow \int ^1_04f(x)dx+\int ^1_03f(1-x)dx=\int ^1_0\sqrt{1-x}dx$

$\Leftrightarrow 4\int ^1_0f(x)dx+3\int ^1_0f(1-x)dx=\frac{2}{3}$

Mà:

$\int ^1_0f(1-x)dx=-\int ^1_0f(1-x)d(1-x)=-\int ^0_1f(x)dx=\int ^1_0f(x)dx$

Do đó:

$7\int ^1_0f(x)dx=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \int ^1_0f(x)dx=\frac{2}{21}$

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 30 tháng 5 2020 lúc 0:06
Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 9 tháng 5 2019 lúc 11:12

\(\int\limits^2_0x.f'\left(2x\right)dx\) thì tính được, còn \(\int\limits^4_0x.f'\left(2x\right)dx\) thì mình nghĩ thế này chưa đủ dữ liệu để tính

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 9 tháng 5 2019 lúc 11:29

Có 2 cách làm, tính đạo hàm của \(F'\left(x\right)\) và đồng nhất hệ số với \(f\left(x\right)\), hoặc tính nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) và đồng nhất hệ số với \(F\left(x\right)\), nhưng rõ ràng là tính đạo hàm dễ hơn tính nguyên hàm nhiều lần

\(F'\left(x\right)=\left(2ax+b\right)\sqrt{2x-3}+\frac{\left(ax^2+bx+c\right)}{\sqrt{2x-3}}\)

\(=\frac{\left(2ax+b\right)\left(2x-3\right)+ax^2+bx+c}{\sqrt{2x-3}}=\frac{5ax^2+\left(3b-6a\right)x+c-3b}{\sqrt{2x-3}}\)

Đồng nhất hệ số với \(f\left(x\right)\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}5a=20\\3b-6a=-30\\c-3b=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=-2\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=3\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 16 tháng 4 2019 lúc 15:18

Ủa đây là bài toán chuyển động bình thường mà, đâu cần phức tạp đến tích phân gì đâu nhỉ?

B đuổi kịp A sau 8s nên A đã đi được 20s, vậy A chuyển động 10s đầu nhanh dần đều và 10s thẳng đều

\(v=at\Rightarrow a=\frac{v}{t}=0,8\left(m/s^2\right)\)

\(\Rightarrow S=\frac{1}{2}at^2+vt'=\frac{1}{2}.0,8.10^2+10.8=120m\)

Bình luận (1)
Nguyễn Đình Huy
Nguyễn Đình Huy 29 tháng 3 2019 lúc 11:55

14.png

Bình luận (0)
Nguyễn Đình Huy
Nguyễn Đình Huy 29 tháng 3 2019 lúc 11:56

tick mk cái

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 29 tháng 3 2019 lúc 16:44

10. Đặt hệ trục tọa độ Oxy vào mặt cắt dọc của bánh sau cho Oy trùng với trục chính giữa bánh và Ox đi qua mặt cắt đáy bánh. Do bánh cao 36cm và bán kính đáy là 6cm nên parabol có đỉnh \(I\left(0;36\right)\) và giao Ox tại \(A\left(6;0\right);B\left(-6;0\right)\) \(\Rightarrow\) phương trình parabol có dạng \(y=-x^2+36\)

Thể tích bánh:

\(V=\pi\int\limits^{36}_0\left(36-y\right)dy=648\pi\left(cm^3\right)\)

Thể tích của phần dưới khi bị cắt một đường qua độ cao \(h\): (\(0< h< 36\))

\(V=\pi\int\limits^h_0\left(36-y\right)dy=\left(36h-\frac{h^2}{2}\right)\pi\)

\(\Rightarrow\left(36h-\frac{h^2}{2}\right)\pi=\frac{648\pi}{2}\Leftrightarrow\frac{-1}{2}h^2+36h-324=0\)

\(\Rightarrow h=36-18\sqrt{2}=18\left(2-\sqrt{2}\right)\) (cm)

Câu 11:

\(I=\int\frac{dx}{cosx}=\int\frac{cosxdx}{cos^2x}=\int\frac{d\left(sinx\right)}{1-sin^2x}=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1+sinx}+\frac{1}{1-sinx}\right)d\left(sinx\right)=\frac{1}{2}ln\left|\frac{1+sinx}{1-sinx}\right|+C\)

Biến đổi biểu thức phía trong hàm logarit:

\(\frac{1+sinx}{1-sinx}=\frac{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}=\frac{\left(sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}\right)^2}{\left(sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}\right)^2}=\left(\frac{\sqrt{2}sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2}cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}\right)^2\)

\(=tan^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\)

Vậy \(I=\frac{1}{2}ln\left|tan^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C=ln\left|tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2^2}\right)\right|+C\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-b=2\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 28 tháng 3 2019 lúc 21:47

Câu 6:

Hoành độ giao điểm: \(\sqrt{1-x^2}=0\Leftrightarrow x=\pm1\)

\(\Rightarrow V=\pi\int\limits^1_{-1}\left(1-x^2\right)dx=\frac{4}{3}\pi\)

// Hoặc là tư duy theo 1 cách khác, biến đổi pt ban đầu ta có:

\(y=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow y^2=1-x^2\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)

Đây là pt đường tròn tâm O bán kính \(R=1\Rightarrow\) khi quay quanh Ox ta sẽ được một mặt cầu bán kính \(R=1\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\)

Câu 7: Về bản chất, đây là 1 con tích phân sai, không thể tính được, do trên miền \(\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right]\) hàm dưới dấu tích phân không xác định tại \(x=\frac{\pi}{3}\)\(x=\frac{2\pi}{3}\), nhưng nhắm mắt làm ngơ với lỗi ra đề sai đó và ta cứ mặc kệ nó, không quan tâm cứ máy móc áp dụng thì tính như sau:

Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân 1 chút trước:

\(\frac{sin^2x}{sin3x}=\frac{sin^2x}{3sinx-4sin^3x}=\frac{sinx}{3-4sin^2x}=\frac{sinx}{3-4\left(1-cos^2x\right)}=\frac{sinx}{4cos^2x-1}\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{sinx.dx}{4cos^2x-1}\Rightarrow\) đặt \(cosx=t\Rightarrow sinx.dx=-dt\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^0_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{-dt}{4t^2-1}=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0\frac{dt}{\left(2t-1\right)\left(2t+1\right)}=\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0\left(\frac{1}{2t-1}-\frac{1}{2t+1}\right)dt\)

\(I=\frac{1}{4}ln\left|\frac{2t-1}{2t+1}\right|^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0=\frac{1}{4}ln\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\right)=\frac{1}{4}ln\left(2-\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+2b+3c=5\)

Câu 8:

\(f\left(x\right)=\int\frac{1}{2x-1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(2x-1\right)}{2x-1}=\frac{1}{2}ln\left|2x-1\right|+C\)

\(f\left(1\right)=1\Leftrightarrow\frac{1}{2}ln1+C=1\Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}ln\left|2x-1\right|+1\Rightarrow f\left(5\right)=\frac{1}{2}ln9+1=ln3+1\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 28 tháng 3 2019 lúc 21:24

Câu 4:

\(I=\int\limits^1_{-1}f\left(x\right)dx=\int\limits^0_{-1}f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

Do \(f\left(x\right)\) là hàm chẵn \(\Rightarrow f\left(x\right)=f\left(-x\right)\) \(\forall x\)

Đặt \(x=-t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=-1\Rightarrow t=1\\x=0\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\int\limits^0_{-1}f\left(x\right)dx=\int\limits^0_1f\left(t\right).\left(-dt\right)=\int\limits^1_0f\left(t\right)dt=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=2\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=2\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=1\)

Câu 5: Theo tính chất tích phân ta có:

\(\int\limits^{10}_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx+\int\limits^6_2f\left(x\right)dx+\int\limits^{10}_6f\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow\int\limits^2_0f\left(x\right)dx+\int\limits^{10}_6f\left(x\right)dx=\int\limits^{10}_0f\left(x\right)dx-\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=7-3=4\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 28 tháng 3 2019 lúc 14:09

Câu 1: Xét trên miền [1;4]

Do \(f\left(x\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f'\left(x\right)\ge0\)

\(x\left(1+2f\left(x\right)\right)=\left[f'\left(x\right)\right]^2\Leftrightarrow x=\frac{\left[f'\left(x\right)\right]^2}{1+2f\left(x\right)}\Leftrightarrow\frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}=\sqrt{x}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\frac{f'\left(x\right)dx}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}=\int\sqrt{x}dx\Leftrightarrow\int\left(1+2f\left(x\right)\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(f\left(x\right)\right)=\int x^{\frac{1}{2}}dx\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+2f\left(x\right)}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\)

Do \(f\left(1\right)=\frac{3}{2}\Rightarrow\sqrt{1+2.\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}.1\sqrt{1}+C\Rightarrow C=\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+2f\left(x\right)}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\frac{4}{3}\)

Đến đây có thể bình phương chuyển vế tìm hàm \(f\left(x\right)\) chính xác, nhưng dài, thay luôn \(x=4\) vào ta được:

\(\sqrt{1+2f\left(4\right)}=\frac{2}{3}4.\sqrt{4}+\frac{4}{3}=\frac{20}{3}\Rightarrow f\left(4\right)=\frac{\left(\frac{20}{3}\right)^2-1}{2}=\frac{391}{18}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 28 tháng 3 2019 lúc 14:19

Câu 2:

Diện tích hình phẳng cần tìm là hai miền đối xứng qua Oy nên ta chỉ cần tính trên miền \(x\ge0\)

Hoành độ giao điểm: \(sinx=x-\pi\Rightarrow x=\pi\)

\(S=2\int\limits^{\pi}_0\left(sinx-x+\pi\right)dx=4+\pi^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a+b^3=9\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 28 tháng 3 2019 lúc 14:22

Câu 3:

\(F\left(x\right)=\int\left(2x+\frac{1}{sin^2x}\right)dx=x^2-cotx+C\)

\(F\left(\frac{\pi}{4}\right)=-1\Leftrightarrow\left(\frac{\pi}{4}\right)^2-cot\left(\frac{\pi}{4}\right)+C=-1\)

\(\Rightarrow C=-\frac{\pi^2}{16}\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=x^2-cotx-\frac{\pi^2}{16}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 2 2019 lúc 22:28

Pt tọa độ giao điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y^2=0\\x+2y^2-12=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2=x\\x+2x-12=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\pm2\end{matrix}\right.\)

Cũng từ 2 pt ta được \(\left\{{}\begin{matrix}x=y^2\\x=12-2y^2\end{matrix}\right.\)

Trên đoạn \(\left[-2;2\right]\), ta thấy \(12-2y^2\ge y^2\)

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm:

\(S=\int\limits^2_{-2}\left(12-2y^2-y^2\right)dy=\left(12y-y^3\right)|^2_{-2}=32\) (đvdt)

Bình luận (1)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 30 tháng 1 2019 lúc 16:34

Phương trình đường tròn: \(x^2+y^2=5\)

Phương trình tọa độ giao điểm: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=y-1\Rightarrow y\ge1\\x^2+y^2-5=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y^2+y-6=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\Rightarrow x=\pm1\\y=-3< 1\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Gọi \(S_1\) là phần diện tích phía trên, \(S_2\) là phần diện tích phía dưới và S là diện tích hình tròn

\(S=\pi R^2=5\pi\)

\(S_1=\int\limits^1_{-1}\left(\sqrt{5-x^2}-\left(x^2+1\right)\right)dx=\int\limits^1_{-1}\sqrt{5-x^2}dx-\dfrac{8}{3}=I-\dfrac{8}{3}\)

Đặt \(x=\sqrt{5}sint\Rightarrow dx=\sqrt{5}cost.dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\Rightarrow t=arcsin\dfrac{-1}{\sqrt{5}}\\x=1\Rightarrow t=arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)

\(I=\int\limits^{arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}}_{arcsin\dfrac{-1}{\sqrt{5}}}5.cos^2t.dt=\dfrac{5}{2}\int\limits^{arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}}_{arcsin\dfrac{-1}{\sqrt{5}}}\left(1+cos2t\right)dt=2+5arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow S_1=I-\dfrac{8}{3}=-\dfrac{2}{3}+5arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow S_2=S-S_1=5\pi+\dfrac{2}{3}-5arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{5\pi+\dfrac{2}{3}-5arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}}{-\dfrac{2}{3}+5arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}}\approx8.51\)

Bình luận (0)
Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN